第3章 量子力学初步.pdf

《第3章 量子力学初步.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章 量子力学初步.pdf（72页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、 第第 3 章章 量子力学引论量子力学引论 微观体系的基本理论 波粒二象性 不确定关系 量子态 薛定谔方程 氢原子的量子力学解 在文明发展的过程中，无论是东方的中国，还是西方的希腊，都积累了许多物理方面的 知识和经验， 但是， 直到文艺复兴时期， 才有了建立在实验基础上的物理学。 伽利略 （Galileo Galilei，15641642，意大利）是第一个采用专门设计的实验来研究物理学普遍规律的科学 家，而牛顿（Isaac Newton，16421727，英国）则不仅进行了大量的物理实验，更是首先将 数学逻辑引入到物理学的研究领域，他发表于 1686 年的著作自然哲学的数学原理标志 着物理学科

2、学体系和研究方法的建立。自牛顿之后，物理学获得了蓬勃的发展，取得了一系 列伟大的成就。在牛顿之后的 100 多年的时间里，力学、热力学、电磁学都总结出了最基本 的定律，有了完整的逻辑体系。而麦克斯韦（James Clerk Maxwell，18311879，英国）1873 年出版的论电和磁则使电磁学理论达到了完美的境界，赫兹（Heinrich Rudolf Hertz， 18571894， 德国） 在 1888 年的实验， 不仅验证了麦克斯韦的理论， 也证实了光就是电磁波。 图3.0.1 开尔文 图3.0.2 物理学上空的两朵乌云 在那个年代里，人们意识里的物理学是那样的完美、和谐，大家都认为

3、物理学的大厦已 经建成，今后的物理学家只需要在一些细节上进行修修补补就可以了。然而，在20世纪曙光 初现的时候，物理学却遇到了困难。正如1900年英国著名科学家开尔文男爵（Lord Kelvin， 原名William Thomson, 18241907）在一篇名为在热和光的动力理论上空的19世纪乌云 （Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light）的演讲中所指出 的： “一直以来坚信热和光都是运动方式的动力学理论，正被两朵乌云两朵乌云所遮蔽，而失去了其 优美和清晰” （ “The beauty and

4、 clearness of the dynamical theory, which asserts heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds.” ） 。 开尔文男爵所说的第一朵乌云，指的是迈克尔孙-莫雷实验迈克尔孙-莫雷实验的结果与以太说法的矛盾 （The first came into existence with the undulatory theory of light, and was dealt with by Fresnel and Dr. Thomas Young; it

5、 involved the question, how could the earth move through an elastic solid, such as essentially is the luminiferous ether?） 。有很长一个时期，人们都认为 光是在以太以太中传播的， 而以太是充满整个空间的， 静止不动的。 日光和地球都在以太中运动， 则日光和地球之间就有相对速度。迈克尔孙-莫雷实验本来是希望测量出地球向着日光运动 1 与垂直于日光运动时两者相对速度的差别。迈克尔孙(Albert A. Michelson，18521931，美 国)在 1881 年利用自己发明的

6、干涉仪进行了第一次实验， 1886 年又与莫雷 （Edward Williams Morley，18381928，美国）合作进行了第二次实验，但都得到了否定的结果。迈克尔孙由 于“发明精密的光学仪器并利用该仪器进行了分光测量”而获得 1907 年诺贝尔物理奖。 图 3.0.3 迈克尔孙（左）与莫雷（右） 第二朵乌云，指的是在解释黑体辐射黑体辐射实验规律时所遇到的困难（The second is the MaxwellBoltzmann doctrine regarding the partition of energy.） 。按照麦克斯韦-玻尔兹曼的 能均分统计定理所得到的结论， 与黑体辐射的

7、实验定律出现了偏差。 偏差出现在短波辐射区 域，因而这一偏差被称作“紫外灾难紫外灾难” 。 后来，正是这两朵乌云，引起了 20 世纪物理学的革命。第一朵乌云，导致了相对论相对论的 建立，而第二朵乌云，导致了量子论量子论建立。 其实，在当时，还有一朵未被开尔文男爵提到的乌云，那就是赫兹在 1887 年所发现的 光电效应光电效应，同样遮蔽了经典电磁学理论的光芒。 3.1 量子论的实验依据 当时用经典物理无法解释的实验现象：一、黑体辐射的实验规律；二、光电效应。 3.1.1 黑体辐射 1辐射场的物理参数 辐射场辐射场就是电磁波场，任何发出电磁波（光波）的物体都在其周围形成一个辐射场，辐 射场是一个矢

8、量场。 描述辐射场的物理参数很多，本书重点介绍以下几个。 一辐射通量：温度为T时，辐射场单位体积中，频率附近频率间隔d内的辐射能 量，表示为 d( , )( , )dTET=（3.1.1） 其中),(TE就是单位体积中， 频率附近单位频率间隔的辐射通量辐射通量， 称作辐射谱密度辐射谱密度、 或辐射本领辐射本领，也称单色辐出度单色辐出度。 二吸收本领：将照射到物体上的电磁波的通量记为d( , )T，其中被物体吸收的通 2 量记为d( , )T，则比例 d( , ) ( , ) d( , ) T AT T = （3.1.2） 称为物体的吸收本领吸收本领或吸收比吸收比。 2热辐射 一物体间的热交换

9、如图 3.1.1，与外界隔绝的几个物体，起初温度各不相同。假设相互间只能以热辐射的 形式交换能量，则每一个物体都向外辐射能量，同时也吸收其它物体辐射到其表面的能量。 温度低的物体，辐射较小，吸收较大；而温度高的，辐射较大，吸收较小。经过一个过程后， 所有物体的温度相同，达到了热平衡热平衡状态。 图 3.1.1 物体间通过辐射交换能量 图 3.1.2 基尔霍夫 热平衡时，每一个物体辐射的能量等于其吸收的能量，即热平衡状态下，吸收本领大的 物体，其辐射本领也大。 二基尔霍夫基尔霍夫（Gustav Kirchhoff，18241887，德国，图 3.1.2）热辐射定律热辐射定律：热平衡状 态下物体的

10、辐射本领与吸收本领成正比，比值只与T,有关。即 ),( ),( ),( Tf TA TE =（3.1.2） ),(Tf是普适函数普适函数，与物质无关。如果知道了),(Tf的规律，则可以对物体的热辐 射性质进行全面深入的研究。 应当通过实验来测量上述普适函数),(Tf，则必须同时测量( , )ET和( , )AT，但 是这样会使研究变得比较复杂，因为吸收本领是 d( , ) ( , ) d( , ) T AT T = ，并不容易测量。如 果设法使( , )1AT，则( , )( , )fTET=，只需要测量单色辐出度，就可以得到普适函 数),(Tf。 3 ( , )1AT，表明物体对辐照到它上面

11、的能量全部吸收，没有反射，用通俗的语言说， 由于它不反光，可以认为它是黑的。因而( , )1AT的物体，称作绝对黑体绝对黑体。 但实际上并不存在表面不反光的绝对黑体， 实验中用的绝对黑体都是专门制作的。 一个 开有小孔的空腔，对射入其中的光几乎可以全部吸收，如图 3.1.3，等效于绝对黑体。这时， 只要测量空腔开口处的辐射本领，即可以得到( , )( , )fTET=。黑体辐射的测量装置如 图 3.1.4。 图 3.1.3 绝对黑体 图 3.1.4 黑体辐射的测量装置 3黑体辐射的实验规律 实验测量得到的黑体辐射的光谱如图 3.1.5 所示，表明在不同的温度下，黑体的辐射本 领不同；同时，在不

12、同的波长（频率）处，辐射本领也不同。 02004006008001000 1200 1400 1600 1800 2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 E(,T), mW/cm 2nm , nm 6000K 5500K 5000K 4000K 3000K 图 3.1.5 黑体辐射的测量结果 在 19 世纪末到 20 世纪初的一段时间内，许多人对黑体辐射进行了较深入的研究，从实 验和理论上总结出了黑体辐射的规律。 一斯忒藩-玻尔兹曼定律 斯忒藩 （J Stefan， 18351893， 奥地利， 图 3.1.6） 和玻尔兹曼 （L.E. Boltzmann， 1844

13、1906， 奥地利，图 3.1.7）分别于 1879 年和 1884 年发表了对黑体辐射的研究结果。 4 黑体辐射光谱中每一条曲线下的面积，表示黑体的辐射通量，即某一温度下总的辐射本 领，该辐射本领与温度的四次方成正比，即 4 0 ( )( , )dTETT = （3.1.3） 其中，为斯忒藩-玻尔兹曼常数斯忒藩-玻尔兹曼常数。 1824 5.67032 10W/m K = 这就是斯忒藩-玻尔兹曼定律斯忒藩-玻尔兹曼定律。 图 3.1.6 斯忒藩 图 3.1.7 玻尔兹曼 二维恩位移定律 1983 年，维恩(Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien，1

14、8641928，德国，图 3.1.8) 从热力学导出了黑体辐射谱应当具有下述形式 5 3 5 ( , )v()() cc ETcff TT =（3.1.4） 或者进一步写成 3 / 2 v ( , )e T ET c =， 2 / 5 ( )e cT c E = 其中 v 为分子的运动速度， 、 为常量， 这就是维恩公式维恩公式。 虽然其中函数()f T 或() c f T 的表达式无法得到，但可以求出辐射本领极大值的关系式，表示为 m Tb= （3.1.5） 其中 m 表示辐射本领最大的波长， 3 2.8978 10 mKb = 式（3.1.5）称作维恩位移定律维恩位移定律。维恩由于“发现了

15、热辐射的规律”而获得 1911 年诺贝 尔物理学奖。 5 图 3.1.8 维恩 图 3.1.9 瑞利 维恩位移定律在实际中有广泛的应用，在无法进行接触测温的情况下，通过观察物体的 辐射谱，可以得到物体的温度。例如在炼钢厂中，人们通过观察高炉中钢水的颜色，能够判 断出钢水的温度。 三 瑞利金斯定律 瑞利（Lord Rayleigh，18421919，图 3.1.9，英国）和金斯（J. H. Jeans，18771946， 英国）分别于 1900 年和 1905 年用经典的统计物理方法研究了黑体辐射的规律。瑞利“由于 对重要气体密度的研究，并因此而发现了氩”而获得 1904 年诺贝尔物理学奖。 如

16、果假设黑体空腔中的电磁波以驻波驻波的形式存在，则可以推导出从黑体中辐射出的能 量。 瑞利认为，空腔中的电磁波在腔的内壁不断地反射，则只有以驻波的形式存在，才能使 其不因叠加而湮灭。驻波要满足一定的条件，即其波节（振动为零处）必须在腔壁处，见图 3.1.10。将黑体的空腔看作是一个边长为、 x L y L、方匣子，因而得到 z L sin()0 sin()0 sin()0 xx yy zz k L k L k L = = = 所以必须有 / / / xx yy zzz knL knL knL = = = x y （3.1.6） 图 3.1.10 驻波的边界条件 图 3.1.11 整数组合(,的数

17、目 ,) xyz n nn 其中、都是整数。 x n y n z n 驻波的波矢为 222 ()()() y xz xxyyzz xyz n nn kkk LLL =+=+keee 2（3.1.7） 利用关系式 2 2 c kc = 6 则（3.1.7）式化为 22 1()()() / y xz xyz n nn 2 /LcLcL =+ c （3.1.8） 由于、都是整数，所以，对于一个确定的频率 x n y n z n，这三个整数的不同组合 是有限的个数。每一个组合，虽然所决定的波矢大小|都是相同的，但由于波 矢在空腔中的方向可以有多种取向，因而，代表了不同的驻波。整数(,的每一个 组合，称

18、作一个驻波模式驻波模式。 (,) xyz n nn|k ,) xyz n nn （3.1.8）式是椭球面的方程，可以看作是以三个整数、为直角坐标轴的椭球 面，如图 3.1.11。0 之间的驻波模式(,数就是第一象限球面内的所有整数点的数 目，这些点是其中所有单位体积方格的顶点，顶点数等于其中的单位体积的方格数，由于每 个方格的体积为 1，所以顶点的数目就是第一象限内所有方格的体积之和，这些体积的总和 与椭球在第一象限的体积相等。该体积为 x n y n z n ,) xyz n nn 3 23 1 41 8 36 y xz L LL V cccc = （3.1.9） 其中为黑体腔的体积。 xy

19、z VL L L= 由于每一个驻波都有两个自由度，因而驻波的模式数应当是式（3.1.9）的 2 倍，即 33 233 18 33 nV cc =V （3.1.10） 圆频率小于 的总的驻波模式数为上述椭球的体积，单位体积内、频率在 +d 间的 驻波数为 2 3 d8dn c = 也可表示为 2 3 8 d c d = （3.1.11） 而从小孔辐射出的驻波数（即分子运动论中的泄流数泄流数）为 1 4 c = （3.1.12） 每一个驻波模式，就是一个经典谐振子经典谐振子，按照能量均分定理能量均分定理，每个谐振子的能量为 kT= （3.1.13） 辐射出的能量，即辐射本领为 2 2 2 ( ,

20、)ETkTk c T = = （3.1.14） 或以波长表示为 7 4 2 ( , ) c ETkT = （3.1.15） 式（3.1.14）和（3.1.15）就是瑞利-金斯定律瑞利-金斯定律。 从经典物理学的角度看，瑞利-金斯定律是无懈可击的，它从辐射场的性质出发，得出了 黑体空间中单位体积驻波的谱密度， 进而求出从小孔辐射出的驻波 （谐振子） 的数目和能量。 图 3.1.12 画出了维恩定律、瑞利-金斯定律与实验结果的比较。容易看出，在波长较大的 波段，瑞利-金斯定律与实验结果一致，符合得较好；但是，在短波区域，当0， ),(TE，与实验结果严重偏离。由于这种偏离出现在波长较短的区域，所以

21、被称为 “紫外灾难” 。 “紫外灾难”说明，用经典物理学的理论，无法解释黑体辐射的规律。 虽然从图上看起来维恩公式与实验结果的符合比瑞利金斯定律还要好，但是，维恩公 式与实验的偏离却是系统的，即从物理的观点看，它的偏离比瑞利金斯定律还要严重。 05000100001500020000 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 E(,T), mJ/cm 3nm , nm 1000K Wein Rayleigh-Jeans Exp. Data 图 3.1.12 维恩曲线（虚线） 、瑞利金斯曲线（点）与实验曲线（实线）的比较 3.1.2 光量子假说 1. 普

22、朗克对黑体辐射的解释 1900 年，普朗克（Max Planck，18581947，德国）从黑体辐射曲线的形状， “猜”出 了辐射本领所应具有的数学表达式，为了从理论上推导出这样的表达式，他做了一个假设： 黑体空腔中谐振子的能量不能任意取值，而只能取一系列不连续的、分立的数值，可以设这 些能量值为 ? 0000 4 ,3 ,2 , 0= 而且能量与谐振子频率之间有以下关系 h= 0 （3.1.16） 其中为谐振子的频率。 由于不同频率的谐振子能量不同， 从统计的角度看， 一个谐振子处于不同能量状态的几 率也不相同，即一个谐振子处于能量 0 nEn=态的几率正比于 0 e n kT 。 则空腔内

23、每一个驻波，即每一个谐振子的平均能量可以根据上述几率分布计算，为 8 0 0 0e e n kT n n kT n n = 0 0 0e e n n n n n 0 0 0 1 lneln 1 e n n = = = 00 0 000 00 ee ln(1 e) 1 eee1 = 即每个普朗克谐振子的平均能量为 e1 h kT h = （3.1.17） 这与瑞利金斯的假设（3.1.13）不相同，即kT。 利用谐振子的谱密度公式（3.1.11）（3.1.12） ，可以算出黑体的辐射本领为 2 2 2 ),( c TE= e1 h kT h = 3 3 2 e1 h kT hh c （3.1.18

24、） 可以对公式（3.1.18）作进一步的分析。kT实际上是谐振子热运动的动能，在长波段， 谐振子的能量较小，即hkT，e h kT ?1， （3.1.18）式化为 3 2 2 ),( h c TE=e h kT （3.1.19） 即在短波区域（即所谓的“紫外”波段）随着频率的增加，即随着波长的减小，辐射本 领迅速减小，并趋近于 0，这与实验结果一致。 普朗克的分立能量谐振子假设虽然解释了黑体辐射的实验规律，解决了“紫外灾难” ， 但是，由于这一假设看起来没有什么依据，在当时并没有得到认可。 9 图 3.1.13 普朗克授予爱因斯坦“马克斯-普朗克奖章” ，1929 年 6 月 28 日，柏林

25、2. 爱因斯坦光量子与光的波粒二象性 一光电效应 虽然人们都将光电效应光电效应（Photoelectric effect）的发现归功于赫兹，但实际上，在 1839 年， 亚历山大 贝克勒耳 （Alexandre Edmond Becquerel， 18201891， 即发现放射性的亨利 贝 克勒耳的父亲，而亚历山大贝克勒耳的父亲安东尼贝克勒耳，Antoine Csar Becquerel， 17881878，也是法国著名的科学家，研究电致发光现象的先驱。 ）就注意到了在导电液体中 的电极，受到光的照射，会产生电流；而 1873 年，英国的电力工程师 Willoughby Smith （1828

26、1891）也发现硒在光照下会成为电的导体。 现代意义上的光电效应是赫兹在进行电磁波实验过程中发现的。1887 年，赫兹将一对 电火花隙（通过线圈连接的一对电极，置于空气中，当有电磁波通过线圈时，会在电极间产 生电场，从而将电极间的空气电离，发出电火花）放在一个带有玻璃观察窗的暗盒中，以便 更好地观察电火花。他注意到，放电时，两极间火花的长度变短了，而这正是由于那块作为 观察窗的玻璃板的影响。将玻璃板移开之后，电极间的火花又变长了。当他用不吸收紫外光 的石英代替普通玻璃板后，火花的长度则没有缩短。赫兹认为，这块处在电磁波源和接收线 圈之间玻璃板吸收了紫外辐射， 而紫外辐射会导致电荷在电火花隙间跳

27、跃。 他对这一现象研 究了数月之后写出了研究报告。 1899 年，J.J.汤姆孙采用克鲁克斯管研究光电效应，他用紫外光照射真空管中的金属电 极（阴极） ，发现回路中有电流出现，这就是光电流光电流（photocurrent） ，说明由于光的照射， 有电子被从金属中打出，这就是光电子光电子（photoelectron） 。改变入射光的波长和强度，会引起 电流强度的改变。他测量的结果是入射光的强度越强、频率越短，光电流就越大。1901 年， 特斯拉（Nikola Tesla， 18561943，克罗地亚）利用光电效应为电容器充电并获得发明专 利。图 3.1.14 是研究光电效应的实验装置。 图 3.

28、1.14 光电效应的实验研究装置 10 对光电效应进行深入仔细研究的是德国物理学家勒纳德。1902 年，他使用一个大功率 的电弧灯研究真空管中金属电极的光电效应，通过测量光电子的截止电压截止电压（stopping voltage） ，他得到结论，光电子的最大动能只与照射到金属上的光的频率有关，而与光的强 度无关；当照射到电极上的紫外光频率增大时，光电子动能相应增大；如果光的频率小于某 一数值，则没有光电子发射，这样的频率就是截止频率截止频率（cutoff frequency） ，对于各种金属 电极，有一个与材料有关的截止频率。 二爱因斯坦对光电效应的解释 受到普朗克分立能量谐振子假设的启发，

29、1905 年， 爱因斯坦 （Albert Einstein， 18791955） 更进一步提出了“能量子能量子”的概念，并成功地解释了光电效应。 按照爱因斯坦的“能量子”假说，光辐射中每一个能量子所携带的能量为 hE = （3.1.20） 即光辐射中，每一个“能量子”都是分立的，这就是光的粒子性，后来， “能量子”被 称作光子光子（photon） 。 金属中的电子， 由于受到束缚， 从表面逸出时需要克服一定的势能， 这就是逸出功逸出功 （work function） ，记为 W。则光电子的能量为 k EhW= （3.1.21） 如果在真空管的电极上加反向电压， 则光电子的动能要损失。 恰好使得

30、光电子不能到达 阳极的反向电压就是截止电压Vs，这时，eVs=Ek，于是 s hW V ee =，即 s eVW h + = （3.1.22） 密立根用了十年的时间， 从实验上验证了爱因斯坦的光量子假说， 并且测量了式 （3.1.20） 中 h 的数值，得到，h 称作普朗克常量普朗克常量(Plank constant)，是一个基本的物 理学常数。 34 6.63 10Jsh = 3. 康普顿效应 1921年，康普顿（Arthur Holly Compton，18921962，美国，图3.1.14）发现了x射线 在材料中的非相干散射非相干散射现象。 康普顿的实验结果如图 3.1.15 所示1，经

31、过单色化的x射线入射到不同的材料上，在散射 光中，一部分波长不变，是相干散射；另一部分波长变长，是非相干散射。康普顿还注意到， 对于同一种元素，在不同的角度上，非相干散射的波长改变不同；而在同一角度上，不同的 元素非相干散射所占的比例不同， 元素序数较小的轻原子非相干散射的成份较大， 而元素序 数较大的重原子，相干散射的成份较大。上述实验现象称作康普顿效应康普顿效应（Compton effect） 。 1 Compton, Arthur H. (May 1923). “A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements“

32、. The Physical Review 21 (5): 483 - 502. (the original 1923 paper on the AIP website) 11 图 3.1.15 康普顿 （a）及康普顿散射实验结果（b） 康普顿利用光子模型，成功地解释了这一现象。 从光子的观点看，入射的 x 射线光子，具有能量能量和动量动量。对于光子而言，由于能量 hE =，利用爱因斯坦质能关系，以及动量的表达式 2 mcE =mcp =，可以得到光子的 动量表达式为 h p c = （3.1.23） 入射的 X 射线光子与电子发生弹性碰撞弹性碰撞，在碰撞过程中，动量和能量是守恒的，如图 3.

33、1.16，即 图 3.1.16 光子与电子的弹性碰撞 22 0 hm chmc m +=+ =+ ppv （3.1.24） 将（3.1.24）中第一式变为 22 0 mchhm c=+（3.1.25） 而将（3.1.24）中第二式写作标量表达式，得到 222 ()()()2cos hhhh mv cccc =+（3.1.26） （3.1.25）式两端平方 2422222242 00 22(m chhhm cm c h)=+（3.1.27） （3.1.26）式作如下的数学变换 22222222 2cosm c vhhh=+（3.1.28） （3.1.27）式减（3.1.28）式 12 2 24

34、2 1 v mc c 2422 00 2(1 cos )2(m chm hc)=+（3.1.29） 按照相对论，由于 2 0 2 1 v mm c = （3.1.29）式变为 24 0 m c 2422 00 2(1 cos )2(m chm hc)=+ 整理后为 0 (1 cos ) hc m c c = 即 (1 cos ) C =（3.1.30） 其中 3 0 2.42631 10 nm0.0242631A C h m c = ? ，称作康普顿波长康普顿波长，对应于静止电 子的波长。 用（3.1.30）式可以解释对同一种元素，在不同的角度上非相干散射的波长不同的现象。 而对于不同元素的散

35、射，则可以这样理解：由于康普顿的散射模型中假设电子是自由电子， 但实际上，在材料中，还有一些成键的束缚电子，如每个原子的内壳层电子。这些束缚电子 由于受到原子核的束缚，其动量能量在碰撞（散射）前后变化很小，因而光子在与束缚电子 的散射过程中，动量和能量的变化也很小，可以认为是相干散射。在轻原子中，束缚电子的 数目相对较少，因而非相干散射的光子数目较多；而重的原子中，束缚电子数目较多，因而 相干散射的光子数目较多。 普朗克 1918 年由于“发现能量子，从而对物理学的发展做出了巨大的贡献”而获得了 诺贝尔物理奖；爱因斯坦因为“在理论物理方面的成就，尤其是发现了光电效应的规律”而 获得 1921

36、年诺贝尔物理奖；密立根则是“因为基本电荷及光电效应方面的工作” 而获得 1923 年诺贝尔物理奖，康普顿因为“发现了后来以其名字命名的效应”获得 1927 年诺贝尔 物理学奖。 3.1.3 粒子的波动性 1. 德布罗意波 黑体辐射、光电效应以及康普顿散射，都证明了光具有粒子的特性，而粒子性的运动特 征是可以用动量等物理量描述的。 光子具有动量，每个光子的动量为 h c h c E p=（3.1.31） 也可以将（3.1.31）式写作 13 h p = （3.1.32） （3.1.31）式和（3.1.32）式将反映粒子性的动量和反映波动性的波长结合起来，表明波 动性、粒子性是物质不可分割的两种基

37、本属性。这就是德布罗意（Louis Victor de Broglie, 18921987，法国）在 1925 年最先提出的“物质波物质波” （matter waves）的概念，物质波也被称 作德布罗意波德布罗意波。 作为粒子，光子具有质量 2 h m c =（3.1.33） 这是光子的运动质量，而光子的静止质量0 0 =m。 图 3.1.15 德布罗意 光的粒子性表现在光与物质的相互作用方面，波长越短，光子的能量越高，其粒子性越 显著，如电离气体、光电效应、康普顿效应、荧光效应、单光子记录，等等。 光的波动性表现在光的传播，干涉、衍射以及散射、反射、折射等方面，波长较长的光， 有着显著的波动

38、性。 德布罗意由于“发现了电子的波动本质”而获得 1929 年诺贝尔物理学奖。 2. 电子的波动性 1）电子的衍射 图 3.1.16 戴维孙（左）与革末（右） 一戴维孙-革末实验 1927年， 美国科学家戴维孙 （Clinton Joseph Davisson， 18811958） 和革末 （Lester Halbert Germer，18961971） （图3.1.16）将一束加速电子射向镍单晶的表面，结果发现被散射的电 14 子在某些角度上的分布出现了极大值2。这种情况类似于x射线在晶体中的衍射，而衍射是波 的特征，说明电子具有波动性。 图3.1.17和图3.1.18是实验所用的装置，G为

39、电子枪，T为镍单晶，探测器C在以T为中心 的圆形轨道上，可以测量被散射到不同角度处电子的强度（电子数） 。 图 3.1.17 图 3.1.18 电子经过电压 V 加速后，其动能为 2 e 1 2 m veV=， 为电子的速度。动量为v eee e 2 2 eV pm vmm eV m =，按照德布罗意物质波的假设，电子的波长为 e 2 hh pm eV =（3.1.34） 实验发现，当加速电压，在与入射电子束成 5054VV = o的方向上，出现了极大值。 按照布拉格方程，晶体中衍射发生的条件为 2 sindn=（3.1.35） 其中 d 为晶体中晶面的间距，即晶格常数，是入射光相对于晶面的掠

40、入射角，n 为衍 射的级数。则 e 2 sin 2 nh d m eV =， e 2 sin2 nh Vn dm e k=，即 e 2 sin2 h k dm = e 在入射角不变的情况下是一个常数。 图 3.1.19 为实验结果。 2 Clinton J. Davisson 1956 Zeitschrift fr Physik 145 377-397;G Mllenstedt and C Jnsson 1959 Zeitschrift fr Physik 155 472-474 4 Jnsson, Claus: Elektroneninterferenzen an mehreren knst

41、lich hergestellten Feinspalten. In: Zeitschrift fr Physik 161 (1961), S. 454-474，Jnsson, Claus: Electron diffraction at multiple slits. American Journal of Physics 42 (1974), S. 4-11 5 Demonstration of single-electron buildup of an interference pattern A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, T. Kawasaki,

42、and H. Ezawa Am. J. Phys. 57, 117 (1989) 6 The most beautiful experiment, Crease R, Physics world, 15,19(2002) 7 Quantum interference experiments with large molecules，Olaf Nairz, Markus Arndt, and Anton Zeilinger， American Journal of Physics - April 2003 - Volume 71, Issue 4, pp. 319-325 17 图 3.1.25

43、 C60分子及其衍射 3.2 物质的波粒二象性 3.2 物质的波粒二象性 3.2.1 物质的波动性与粒子性 3.2.1 物质的波动性与粒子性 上面一节中所列的各个实验，都证明了光具有粒子性，而电子、分子等具有波动性，即 物质都具有波粒二象性。 那么， 我们该如何理解这种波动性和粒子性呢？这里所说的波粒二 象性 波粒二 象性（wave-particle duality） ，是不是 300 多年前惠更斯和牛顿所说的波动性和粒子性呢？ 作为粒子的最基本的特征，就是颗粒性，即可以作为一个整体存在。对于光子来说，一 个光子是一个不可分割的主体，此外，从物理学的角度看，粒子具有能量和质量，运动的粒 子具有

44、动量。那么，光子就具有和电子、分子一样特性，可以作为粒子看待。 一个光子能量为=h；而光子的运动质量为 2 h m c =；光子动量为 E p c =。这就是光 的粒子性。 波动的最基本特征，首先应当是周期性，这种周期性用波长来表示。另外，波是可以线 性叠加的，即可叠加性是波的重要特征。 物质同时具有波动性和粒子性，如图 3.2.1，这种二象性就是通过德布罗意的基本关系 式 h p =体现的。在这个关系式中。表征粒子性的动量与表征波动性的波长通过普朗克常 数联系起来。 图 3.2.1 粒子与波 但是，根据我们的经验，一种物质往往无法同时表现出波动性和粒子性。例如，我们使 用实验仪器，可以比较容

45、易观察到可见光的干涉、衍射这些波动特征，而其粒子性，却不容 易表现出来。 波动性也好，粒子性也好，都只有通过与其他物质的相互作用才能体现出来。在光与物 质的相互作用中，能量是一个很关键的物理量，我们不妨计算一下一个光子所具有的能量。 例如，一个可见光子，比如氦氖激光的红光，其波长为 632.8 nm，其能量为 6 197fm MeV =0 632.8 10 fm hc .3eV = 即使处于紫外波段的准分子激光（KrF） ，其波长为 248 nm，单个这样的光子能量也不 过 0.8eV。而原子的电离能最小的也大于 6 eV，所以，所以单个这样的光子打在物质上，除 了能使其发光之外，不会引起其性

46、质的变化。因而，通常表现为波动性，即波的吸收、反射、 透射，等等。 而波长短得多的 x 射线，其光子能量则要大得多，例如铅的K线，波长为 0.0167nm， 其光子能量为 11.8keV，如此大的能量，不仅足以使原子电离，还会引起物质其它性质的改 18 变。这样的光子打在物质上，其效果用“炮弹”形容更为确切，所以，就表现出了较强的粒 子性。 我们再看一下宏观粒子的波动性。在我们周围，被认为是粒子的东西，往往不表现出波 动性。波动指的是物理量在空间呈周期性的分布，如果波长太大，在有限的空间尺度内无法 测量物理量的周期性变化，即在我们有限的观测范围内，无法感受到这种周期分布；相反， 如果波长太小，

47、用现有仪器也无法分辨物理量的周期性变化。 按照德布罗意关系， 波长与动量成反比， 那么我们不妨以一个动量很小的实物粒子进行 计算。 设一粒灰尘，其质量 1mg，速度为 1m/s，这样的微粒，其波长可以作如下估算： 由于动量，所以波长为 6612 1 10 kg 1 10 m/s1 10Js/mpmv = = 341222 /6.63 10Js/1 10Js/m10mh p = 。 图 3.2.2 宏观粒子的波长 如图 3.2.2，这样小的波长，这样小的空间周期性，我们根本无法测量，可见我们周围 的宏观物质，只是由于波长太小，而无法体现其波动性。 3.2.2 量子态波粒二象性的必然结果 3.2.2 量子态波粒二象性的必然结果 以下我们通过几个实例， 看一下具有波粒二象性的物质， 其状态与我们的经验有多大的 差距。 1、轨道角动量的量子化 原子中的电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则从波的角度看，电子波 必须以驻波的形式存在于电子的轨道上，否则，会由于波的相干叠加而消失（图 3.2.