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1、三角形,第2章,线段的垂直平分线,2.3,如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA有什么关系？,我发现AD=AD， lAA.,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图,已知点A与点关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点重合，AD=AD，1 =2 = 90，即直线l既平分线段AA，又垂直线段AA,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）.,线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴.,如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一 点P， 连接PA，PB，线
2、段PA, PB之间有什么关系？,作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.,已知：CDAB于O，AO=BO，点P在CD上，连结PA，PB. 求证：PA=PB.,证明： CDAB POA=POB 在POA和POB中 PO=PO POA=POB AO=BO POA POB（SAS） PA=PB,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,几何语言：,CDAB,AO=BO PA=PB,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在
3、线段AB的垂直平分线上吗？,(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.,（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以PAB是等腰三角形.过顶点P 作PCAB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即PCAB，且AC = BC.,因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,几何语言：,PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上,举 例,例1 已知：如图，在ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，O
4、B，OC. 求证： 点O在AC的垂直平分线上.,举 例,证明 点O在线段AB的垂直平分线上， OA = OB. 同理OB = OC. OA = OC. 点O在AC的垂直平分线上.,已知：如图，点C，D 是线段AB 外的两点， 且AC =BC，AD =BD， AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.,证明：AC=BC 点C在线段AB的垂直平分线上 AD=BD 点D在线段AB的垂直平分线上 CD是线段AB的垂直平分线 AO=BO,例2 ABC中,ABAC ，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F. 求证：BE=CF.,举 例,证明：连接BD和CD DM垂直平
5、分BC BD=CD D是BAC平分线上的点， 且DEAB，DFAC DE=DF ，BDE和CFD是Rt 在RtBDE和RtCFD中 BD=CD DE=DF RtBDERtCFD(HL) BE=CF,举 例,如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.,根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线， 关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.,作法,分别以点A，B 为圆心， 以大于 AB 的长 为半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；,过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB 的中点， 所以
6、可以用这种方法作出线段的中点.,如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？,(1)当点P在直线l上.,(2) 当点P在直线l外.,在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA， PB，使PA= PB；,(1)当点P在直线l上.,分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；,过点C， P作直线CP， 则直线CP为所求作的直线.,(2) 当点P在直线l外.,以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径画弧， 交直线l于点A，B；,分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点C；,过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.,1. 线段的垂直平分线的性质是什么？,2. 线段的垂直平分线的判定是什么？,例1 如图，已知AD是ABC的BC边上的高，且C 2B，求证：BDACCD.,证明：在BD上取DE=CD，连接AE， 则ACD ADE AC=AE， C=AED=B+EAB 又C=2B， B=EAB， 有AE=EB AC+CD=AE+DE=EB+DE=BD,E,结 束,