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1、专题 17 导数及其应用 导数的应用 1（函专题 17 导数及其应用 导数的应用 1（函数的单调性、极值、最值）数的单调性、极值、最值） 一、具本目标：一、具本目标： 1. 导数在研究函数中的应用： 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一 般不超过三次）。 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一 般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。 考点透析： 1.1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等
2、问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合 ； 2.2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； 3.3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础； (2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思 想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述：二、知识概述： 一）函数的单调性： 1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果0)( x f，则函数y=f(x)为增函数 ； 如果f (x)0 非必要条件)(xf为增函数，一定可以推出
3、0)( x f，但反之不一定 4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(xf的定义域； （2）求)(x f ，令0)( x f，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间； （4）判断)(x f 在每个开区间内的符号，即可确定)(xf的单调性. 5.我们也可利用导数来证明一些不等式如f(x)、g(x)均在a、b上连续，(a，b)上可导，那么令 h(x)f(x)g(x)，则h(x)也在a，b上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x(a，b)有h (x)0 且 h(a)0，则当x(a，b)时 h(x)h(a)=0，从而f(x)g(x)对所有x(a，b)成立 二）函数的极、最值
4、： 1函数的极值1函数的极值 (1)函数的极小值： 函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0， 而且在点xa 附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的 极小值 (2)函数的极大值： 函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0， 而且在点xb 附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的 极大值 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 2函数的最值2函数的最值 (1)在闭区
5、间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值 ； 若函数f(x)在a，b 上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 【真题分析】【真题分析】 1.【2017鸡西模拟】函数的单调递增区间是( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 【答案】D 【变式】 （1）函数的单调递增区间是 【解析】 函数的导函数为， 令 0 x f，则有，解得 e x 1 ，所以函数的单调递增区间为 , 1 e 【答案】 , 1 e 2.【优选题】已知函数在1,)上是减函数，则实数
6、a的取 值范围为（ ） A1a B2a C2a D3a 【解析】本题考点是利用函数的单调递减性求待定参数问题. ， 因为函数在1,)上是减函数，所以 0fx在1,)上 恒成立， 即在1,)上恒成立，即 在1,)上恒成立， 又因为，当且仅当1x 是取等号，所以2a ，故 选 C 【答案】C 【变式】若在(1，)上是减函数，则b的取值 范围是( ) A1，) B(1，) C(，1 D(，1) 【答案】C 3.【2016 高考四川文科】已知a函数的极小值点，则a=( ) A.-4 B. -2 C.4 D.2 【解析】本题考点是函数导数与极值. ， 令 0fx得2x 或2x ， 易得 fx在2, 2上
7、单调递减，在2, 上单调递增，故 fx极小值为 2f，由已知得2a ， 故选 D. 【答案】D 4.【2017 课标 II，理 11】若2x 是函数的极值点，则 ( )f x的极小值为（ ） A.1 B. 3 2e C. 3 5e D.1 【解析】本题的考点是函数的极值与单调性问题的考查. 对函数求导可得 ， 整理得：，因为2x 是 函数的极值点， 所以有， 可得 1a， 有， 导 函 数 为 . 令 0 x f， 解 得， 所 以 xf在 单调递增，令 0 x f，解得12x，所以 xf在12，单调递减， 所以 xf的极小值为. 【答案】A 5.【优选题】已知等比数列 n a的前n项的和为，
8、则 的极大值为（ ） A2 B3 C 7 2 D 5 2 所以函数为，求得导函数为 . 令 0 x f可得 xf的单调递增区间为1，和 ， 3 2 ， 令 0 x f可得 xf的单调递减 区 间 为 3 2 1， ， 所 以 函 数 在1x处 取 得 极 大 值 . 【答案】D 6. 【优选题】若函数在 2 ( ,6)aa上有最小值，则实数a的取值范围是 （ ） A(5,1)B5,1)C2,1D( 2,1) 【解析】本题利用函数的求导与最值、二次函数的性质求待定参数的问题. 由题意可得 ：，令 0 x f，可得1x，所以函数 xf在 上单调递增，在11，上单调递减，所以函数在1x取得 最小值为
9、 21f，又因为函数在 2 ( ,6)aa有最小值，所以有 和解得 ，所以a的取值范围为12，. 【答案】C 5.设函数，则( )f x是( ) A.奇函数，且在（0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 【解析】函数，函数的定义域为（-1，1） ， 函数所以函数是奇函数 ，在（0,1）上 0fx ， 所以( )f x在(0,1)上单调递增，故选 A. 【答案】A 6.若函数在区间1,单调递增，则k的取值范围是（ ） A., 2 B., 1 C.2, D.1, 【答案】D 7.已知函数有两个极值点,则实
10、数a a的取值范围是 ( ） A( (, , 0 0) ) B 1 1 ( (0 0, ,) ) 2 2 C( (0 0, , 1 1) )D( (0 0, ,) ) 【解析】因为函数有两个极值点，由 .所 以( )0fx 有两个不同的正实数根，令，所以 . 令( )0g x 所以 1 0 2 x a （小于零不成立）.所以可得 ，解得 1 2 a .综上所以 1 (0, ) 2 a.故选 B. 【答案】B 8.已知函数,若0x 是 f x的 一个极大值点,则实数a的取值范围为 【解析】因 , 即 , 由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根 21,x x在0的两边, 即0 21 xx,也即
11、02 a,所以2a. 【答案】,2 9.设函数，其中aR.讨论函数 f x极值点 的个数，并说明理由； 1当0a 时， 0fx 在 1, 恒成立，所以函数 f x在1, 上单调递增无极值； 20a 时， 当 8 0 9 a时，0 ， 0g x ，所以 0fx，函数 f x在1, 上单调递增无极值； 当 8 9 a 时 ，0 .设 方 程 的 两 根 为 因为，所以， . 由可得： 所以，当 1 1,xx 时， ，函数 f x单调递增； 当 12 ,xx x时， ，函数 f x单调递减； 当时， ，函数 f x单调递增； 因此函数 f x有两个极值点 3当0a 时，0 ，由可得： 1 1x ； 当 2 1,xx 时，函数单调递增； 当时，函数单调递减； 因此函数 f x有一个极值点. 综上：当0a 时，函数 f x在1, 上有唯一极值点； 当 8 0 9 a时，函数 f x在1, 上无极值点； 当 8 9 a 时，函数 f x在1, 上有两个极值点