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1、专题 46 数列 数列的通项 3（构造法）专题 46 数列 数列的通项 3（构造法） 【考点讲解】 【考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标： 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰 当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述：二、知识概述： 1.数列的通项公式： （1）如果数列 n a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通 项公式即 n af n,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列 n a的前n项和 n S和通项 n a的关系：. 2.求数列的
2、通项公式的注意事项： （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律， 可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用1 n 或 1 1 n 来调整 （2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由 不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. （3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项， 写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所 给数列的前几项，看看这几项的分解
3、中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序 号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法； （2）已知Sn，求通项，破解方法 ： 利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。 3. 已知数列 n a的前n项和 n S，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 11 aS求出 1 a； (2)用1n替换 n S中的n得到一个新的关系， 利用 n a 1nn SS
4、(2)n 便可求出当2n 时 n a的表达式 ； (3)对1n 时的结果进行检验， 看是否符合2n 时 n a的表达式， 如果符合， 则可以把数列的通项公式合写 ； 如果不符合，则应该分1n 与2n 两段来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 4. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法： 叠加法（或累加法） ： 已知，求数列通项公式常常用叠加法（或累加法） 即即 . （ 2） 累 乘 法 ： 已 知求 数 列 通 项 公 式 用 累 乘 法 . （3）待定系数法 ：（其中, p q均为常数，） 解法：把原递推公式转化为：，其中 p
5、 q t 1 ，再利用换元法转化 为等比数列求解. （ 4） 待 定 系 数 法 ：（ 其 中, p q均 为 常 数 ， ）. （或,其中, ,p q r均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以 1n q，得：，令 n n n q a b ，得： ，再按 第（3）种情况求解. （5）待定系数法： 解 法 ： 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 ， 即 令 ，与已知递推式比较， 解出yx,从而转化为是公比为p的等比数列. 3.数列 n a满足a1=1，an= 2 1 a 1n +1（n2） ，求数列an的通项公式。 4. 已知数列 n a满足a11，an2an1n2(
6、n2)，求 n a的通项公式。 【解析】法一：由已知可得：ann2(an1n1)(n2) . 令bnann，则b1a112，且bn2bn1(n2).于是bn22n12n，即ann2n 故an2nn(n 2)，因为a11 也适合上述式子，所以an2nn(n1). 法二：由an2an 1 n2(n2)可得 ， 整理得：，所以有，所以 1 0 k b ， 即有ann2(an1n1)(n2令bnann， 则b1a112， 且bn2bn1(n2).于是bn22n 12n，即ann2n 故an2nn(n2)，因为a11 也适合上述式子，所以an2nn(n1). 5.已知数列 n a中，求 n a的通项公式
7、. 【解析】 ， 可得 ， 所以可得 3t ， 3 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列32 n n a Nn. 6.数列 n a满足a1=1，,求数列an的通项公式。 7.已知数列 n a中， 1 a=2， 1n a =( 21)(2) n a ，nN 求 n a的通项公式. 【 解 析 】 构 造 新 数 列 n at， 使 之 成 为21q 的 等 比 数 列 整 理 得 ：.使 之 满 足 已 知 条 件 解 得2t .2 n a 是 首 项 为22， 公 比 21q 的等比数列， 由此得2 n a =(22) 1 ( 21)n n a= Nn . 8.在数列 n a中， 1 2a ， 1n a =431 n an，求数列的通项 n a 【解析】法一：构造新数列 n an，使之成为4q 的等比数列，则= 4() n an 整理得： 1n a =满足 1n a =431 n an， 即得1 新数列 n an的首项为 1 11a ，4q 的等比数列 1 4n n an Nn