《2020版导与练一轮复习理科数学习题：第八篇 平面解析几何（必修2、选修1-1） 第7节 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析(数理化网).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版导与练一轮复习理科数学习题：第八篇 平面解析几何（必修2、选修1-1） 第7节 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析(数理化网).pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 7 节 圆锥曲线的综合问题 【选题明细表】 知识点、方法题号 直线与圆锥曲线的位置关系2,3,4,8 弦长和中点弦问题1,5,7 定点、定值问题11,12 最值、范围、存在性问题6,9,10,13 基础巩固(时间:30 分钟) 1.设 AB 为过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( C ) (A)(B)p (C)2p (D)无法确定 解 析 :当 弦 AB 垂 直 于 对 称 轴 时 |AB|最 短 ,这 时 x= ,所 以 y=p,|AB|min=2p.选 C. 2.(2018兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线 于 A,B 两点(点 A
2、在第一象限),若=3,则直线 l 的斜率为( A ) (A)(B)(C)(D)2 解析:设过抛物线 y2=4x 焦点 F 的直线 l:x=ty+1 交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点, 因为点 A 在第一象限且=3, 所以 y1=-3y20, 联立得 y2-4ty-4=0, 则解得 即直线 l 的斜率为.故选 A. 3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值 范围是( D ) (A)(-,)(B)(0,) (C)(-,0) (D)(-,-1) 解析:由得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同 的两点 A(x
3、1,y1),B(x2,y2), 则 解得-b0)的右焦点为 F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( D ) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直 线 AB 的斜率 k= , 两式相减得+=0, 即+=0+ () =0,即a2=2b2,又 c2=9,a2=b2+c2, 解得 a2=18,b2=9,方程是+=1,故选 D. 6.(2018昆明一中模拟)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p0)上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|=2|M
4、F|,则直线 OM 的斜率的最大值为( A ) (A)(B)(C)(D)1 解析:由题意可得 F( ,0),设 P(,y0),(y00), 则=+=+=+ (-) =+= (+ ,) , 可 得 kOM=.当且仅当=时取得等号,选 A. 7.(2018山西省六校第四次联考)已知抛物线 C:x2=8y,直线 l:y=x+2 与 C 交于 M,N 两点,则|MN|= . 解析:所以(y-2)2=8y, 所以 y2-12y+4=0, 所以 y1+y2=12,y1y2=4. 因为直线 l:y=x+2,过抛物线的焦点 F(0,2), 所以|MN|=(y1+2)+(y2+2)=y1+y2+4=16. 答案
5、:16 8.(2018大庆一模)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点F作一条斜率大于0 的直线 l,l 与抛物线交于 M,N 两点,且|MF|=3|NF|,则直线 l 的斜率 为 . 解析:抛物线 C:y2=4x,焦点 F(1,0),准线为 x=-1, 分别过 M 和 N 作准线的垂线,垂足分别为 C 和 D,作 NHCM,垂足为 H, 设|NF|=x,则|MF|=3x, 由抛物线的定义可知:|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x, 所以|HM|=2x,由|MN|=4x, 所以HMF=60, 则直线 MN 的倾斜角为 60, 则直线 l 的斜率 k=tan 60=. 答案: 能力提升(
6、时间:15 分钟) 9.(2018云南玉溪模拟)已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是( C ) (A)0(B)1(C)2(D)2 解析:因为 O 为 F1F2的中点, 所以+=2,可得|+|=2|, 当点 P 到原点的距离最小时,|达到最小值, |+|同时达到最小值. 因为椭圆 x2+2y2=2 化成标准形式,得 +y2=1, 所以 a2=2 且 b2=1,可得 a=,b=1, 因此点 P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离, 即|最小值为 b=1, 所以|+|=2|的最小值为 2, 故选 C. 10.(2015江苏卷)在平面
7、直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支 上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 . 解析:双曲线 x2-y2=1 的一条渐近线为直线 y=x,显然直线 y=x 与直线 x- y+1=0 平行,且两直线之间的距离为=.因为点 P 为双曲线 x2-y2=1 的右支上一点,所以点 P 到直线 y=x 的距离恒大于 0,结合图形 可知点 P 到直线 x-y+1=0 的距离恒大于,即 c,可得 c 的最大值为 . 答案: 11.(2018海淀区校级三模)如图,已知椭圆 C:+=1(ab0)的上顶 点为 A(0,1),离心率为.
8、(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 A 作圆 M:(x+1)2+y2=r2(圆 M 在椭圆 C 内)的两条切线分别与 椭圆 C 相交于 B,D 两点(B,D 不同于点 A),当 r 变化时,试问直线 BD 是 否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 解:(1)因为 e= =, 由题设知 故所求椭圆 C 的方程是 +y2=1. (2)设切线方程为 y=kx+1,则得=r, 即(1-r2)k2-2k+1-r2=0, 设两条切线的斜率分别为 k1,k2,于是 k1,k2是方程(1-r2)k2-2k+1-r2=0 的两实根, 故 k1k2=1. 设直线 BD 的方程为 y=mx+t
9、, 由 得(1+2m2)x2+4tmx+2t2-2=0, 所以 x1+x2=,x1x2=, 又 k1k2=1, 即(mx1+t-1)(mx2+t-1)=x1x2 (m2-1)x1x2+m(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0 (m2-1)+m(t-1)+(t-1)2=0 t=-3. 所以直线 BD 过定点(0,-3). 12.(2018广东省海珠区一模)已知椭圆 C:+=1(ab0)的焦距为 2 ,且过点 A(2,1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若不经过点 A 的直线 l:y=kx+m 与 C 交于 P,Q 两点,且直线 AP 与直 线 AQ 的斜率之和为 0,证明:直线 PQ
10、的斜率为定值. (1)解:因为椭圆 C 的焦距为 2,且过点 A(2,1), 所以+ =1,2c=2. 因为 a2=b2+c2,解得 a2=8,b2=2, 所以椭圆 C 的方程为 +=1. (2)证明:设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),y1=kx1+m,y2=kx2+m, 由 消去 y 得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*) 则 x1+x2=-,x1x2=, 因为 kPA+kAQ=0, 即=-, 化简得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0. 即 2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0(*). 代入得-4m+4=0,整理得(2
11、k-1)(m+2k-1)=0, 所以 k= 或 m=1-2k.若 m=1-2k,可得方程(*)的一个根为 2,不合题意,所 以直线 PQ 的斜率为定值,该值为 . 13.(2018西城区一模)已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,以 椭圆 C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A 是椭圆 C 的右顶点,点 B 在 x 轴上,若椭圆 C 上存在点 P,使得 APB=90,求点 B 横坐标的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c. 依题意,得 =,ab=2,且 a2=b2+c2. 解得 a=2,b=. 所以椭圆 C 的方程为 +=1. (2)“椭圆 C 上存在点 P,使得APB=90”等价于“存在不是椭圆左、 右顶点的点 P,使得=0 成立”, 依题意,A(2,0), 设 B(t,0),P(m,n),则 m2+2n2=4, 且(2-m,-n)(t-m,-n)=0, 即(2-m)(t-m)+n2=0. 将 n2=代入上式,得(2-m)(t-m)+=0. 因为-2m2, 所以 t-m+=0,即 m=2t+2. 所以-22t+22, 解得-2t0, 所以点 B 横坐标的取值范围是(-2,0).