《2020版数学人教A版必修3学案：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修3学案：第一章 1.3 第2课时 秦九韶算法与进位制 Word版含解析.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 秦九韶算法与进位制课时 秦九韶算法与进位制 学习目标 1.了解秦九韶算法.2.了解生活中的各种进位制，了解计算机内部运算为什么选择 二进制.3.会用除 k 取余法把十进制转换为各种进位制，并理解其中的数学规律 知识点一 秦九韶算法 1求 n 次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法 2秦九韶算法的一般步骤： 把一个 n 次多项式 f(x)anxnan1xn1a1xa0改写成如下形式： (anxan1)xan2)xa1)xa0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项 式的值， 即 v1anxan1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即 v2v1xan2， v
2、3v2x an3，vnvn1xa0，这样，求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值 知识点二 进位制 若 k 是一个大于 1 的整数，那么以 k 为基数的 k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形 式 anan1a1a0(k)(an，an1，a1，a0N,0ank,0an1，a1，a0k) 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如二进制数 10(2)，六进制数 341(6)，十 进制数一般不标注基数 思考 59 分 59 秒再过 1 秒是多少时间？ 答案 1 小时 上述计时法遵循的是满 60 进一， 称为六十进制 类比给出 k 进制的概念 “满 k 进一” 就是
3、 k 进制，k 进制的基数是 k. 知识点三 进制间的转化 1一般地，将 k 进制数 anan1a1a0(k)转化为十进制： anan1a1a0(k)anknan1kn1a1k1a0k0. 2把十进制的数化为 k 进制的数的方法是： 把十进制数除以 k，余数为 k 进制的右数第一位数把商再除以 k，余数为 k 进制右数第二位 数；依次除以 k，直至商为 0.这个方法称为除 k 取余法 1二进制数中可以出现数字 3.( ) 2把十进制数转化成其它进制数的方法是除 k 取余法( ) 3不同进制数之间可以相互转化( ) 题型一 秦九韶算法的应用 例 1 用秦九韶算法求多项式 f(x)x55x410x
4、310x25x1 当 x2 时的值 解 f(x)x55x410x310x25x1 (x5)x10)x10)x5)x1. 当 x2 时，有 v01； v1v0xa41(2)53； v2v1xa33(2)104； v3v2xa24(2)102； v4v3xa12(2)51； v5v4xa01(2)11. 故 f(2)1. 反思感悟 (1)先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法 和加法即可这样比直接将 x2 代入原式大大减少了计算量若用计算机计算，则可提高 运算效率 (2)注意：当多项式中 n 次项不存在时，可将第 n 次项看作 0xn. 跟踪训练 1 用秦九韶算法计算
5、多项式 f(x)x612x560x4160x3240x2192x64 当 x 2 时的值 解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)(x12)x60)x160)x240)x192)x64. 由内向外依次计算一次多项式当 x2 时的值： v01； v1121210； v21026040； v340216080； v480224080； v580219232； v6322640. 所以当 x2 时，多项式的值为 0. 题型二 k 进制化为十进制 例 2 二进制数 110 011(2)化为十进制数是什么数？ 解 110 011(2)12512402302212112032162151.
6、反思感悟 将 k 进制数 anan1a1a0(k)化为十进制数的方法：把 k 进制数 anan1a1a0(k)写成 各数位上的数字与基数 k 的幂的乘积之和的形式，然后计算出结果即为对应的十进制数 跟踪训练 2 (1)把二进制数 1 110 011(2)化为十进制数 (2)将 8 进制数 314 706(8)化为十进制数 解 (1)1 110 011(2)126125124023022121120115. (2)314 706(8)385184483782081680104 902. 所以，化为十进制数是 104 902. 题型三 十进制化 k 进制 例 3 将十进制数 458 分别转化为四进
7、制数和六进制数 解 算式如图， 则 45813 022(4)2 042(6) 反思感悟 十进制数化为 k 进制数的思路为 .除k取余倒序写出标明基数 跟踪训练 3 把 89 化为二进制数 解 算式如图， 则 891 011 001(2) 秦九韶算法求多项式的值 典例 用秦九韶算法求多项式 f(x)x50.11x30.15x0.04 当 x0.3 时的值 解 将 f(x)写为 f(x)(x0)x0.11)x0)x0.15)x0.04. 按从内到外的顺序，依次计算多项式的值： v01， v110.300.3， v20.30.30.110.2， v30.20.300.06， v40.060.30.1
8、50.132， v50.1320.30.040.079 6. 当 x0.3 时，f(x)的值为0.079 6. 素养评析 (1)当多项式中出现空项时，利用秦九韶算法求多项式的值，必须补上系数为 0 的相应项这是本题的易错点 (2)理解运算对象即求多项式的值，掌握运算法则即秦九韶算法，这些均是数学核心素养之数 学运算的具体体现. 1已知 175(r)125(10)，则 r 的值为( ) A1 B5 C3 D8 答案 D 解析 1r27r15r0125， r27r1200， r8 或 r15(舍去)， r8，故选 D. 2用秦九韶算法计算多项式 f(x)6x65x54x43x32x2x7 在 x0
9、.4 时的值时，需做 加法和乘法的次数的和为( ) A10 B9 C12 D8 答案 C 解析 f(x)(6x5)x4)x3)x2)x1)x7， 做加法 6 次，乘法 6 次，6612(次)，故选 C. 3 用秦九韶算法求多项式 f(x)x42x33x2x1 当 x2 时的值时， 第一次运算的是( ) A12 B24 C21 D122 答案 D 解析 因为 f(x)(x2)x3)x1)x1，据由内到外的运算规律可知先运算的是 122. 4下列各数中，最小的数是( ) A85(9) B210(6) C1 000(4) D111 111(2) 答案 D 解析 85(9)89577， 210(6)2
10、6216078， 1 000(4)14364， 111 111(2)12512412312212163. 故最小的是 63. 5(1)将二进制数转化成十进制数； 161 1111 个 (2)将 53(8)转化为二进制数 解 (1) (2)121512141211202161. 161 1111 个 (2)先将八进制数 53(8)转化为十进制数： 53(8)58138043； 再将十进制数 43 转化为二进制数的算法如图 所以 53(8)101 011(2) 1要把 k 进制数化为十进制数，首先把 k 进制数表示成不同位上数字与 k 的幂的乘积之和， 其次按照十进制的运算规则计算和 2十进制数化
11、为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤： 3用秦九韶算法求多项式 f(x)当 xx0时的值的思路为(1)改写；(2)计算Error! (3)结论 f(x0)vn. 一、选择题 1下列各数可能是五进制数的是( ) A55 B106 C732 D2 134 答案 D 解析 五进制数的基数是 5，在所构成的数中，只可能用 0,1,2,3,4 这 5 个数字 2把五进制数 123(5)改写成十进制数为( ) A83 B64 C38 D44 答案 C 解析 五进制数 123(5)改写成十进制数应为 15225135038. 3 用秦九韶算法计算多项式 f(x)2x65x56x423x38x210x3 当
12、 x4 时的值时， v3 的值为( ) A742 B49 C18 D188 答案 B 解析 f(x)2x65x56x423x38x210x3(2x5)x6)x23)x8)x10)x3， v02，v1v0x52(4)53，v2v1x63(4)618， v3v2x2318(4)2349，故选 B. 4两个二进制数 101(2)与 110(2)的和用十进制数表示为( ) A12 B11 C10 D9 答案 B 解析 101(2)1220211205,110(2)1221210206.即和为 5611. 5四位二进制数能表示的最大十进制数是( ) A4 B64 C255 D15 答案 D 解析 由二进
13、制数化为十进制数的过程可知，当四位二进制数为 1 111 时表示的十进制数最 大， 此时，1 111(2)15. 6已知 44(k)36，把 67(k)转化为十进制数为( ) A8 B55 C56 D62 答案 B 解析 由题意得，364k14k0，所以 k8. 则 67(k)67(8)68178055. 7用秦九韶算法求多项式 f(x)12xx23x32x4当 x1 时的值时，v2的结果是( ) A4 B1 C5 D6 答案 D 解析 此题的 n4，a42，a33，a21，a12，a01，由秦九韶算法的递推关系式 Error! 得 v1v0xa32(1)35，v2v1xa25(1)16，故选
14、 D. 8已知一个 k 进制的数 132 与十进制的数 30 相等，那么 k 等于( ) A7 或 4 B7 C4 D4 答案 C 解析 132(k)1k23k2k23k2， k23k230， 即 k23k280， 解得 k4 或 k7(舍去) 9下列四个数最大的是( ) A322(7) B402(6) C342(7) D355(6) 答案 C 解析 342(7)372472177， 402(6)462062146. 所以 342(7)402(6) 而 342(7)322(7)，402(6)355(6)， 所以最大的数是 342(7) 二、填空题 10若 146(x)66，则 x 的值为_ 答
15、案 6 解析 146(x)1x24x6x066. 可得 x6(负值舍去) 11用秦九韶算法求多项式 f(x)20.35x1.8x23x36x45x5x6当 x1 时的值时， 令 v0a6，v1v0xa5，v6v5xa0，则 v3的值是_ 答案 15 解析 f(x)x65x56x43x31.8x20.35x2(x5)x6)x3)x1.8)x0.35)x2， 所以 v01，v11(1)56， v2(6)(1)612，v312(1)315. 三、解答题 12利用秦九韶算法求多项式 f(x)3x612x58x43.5x37.2x25x13 当 x6 时的值， 写出详细步骤 解 f(x)(3x12)x8
16、)x3.5)x7.2)x5)x13， v03， v1v061230， v2v16 8188， v3v263.51 124.5， v4v367.26 754.2， v5v46540 530.2， v6 v5613243 168.2， f(6)243 168.2. 13十六进制数与十进制数的对应如表： 十六进制 数 012345678910ABCDE 十进制数0123456789101112131415 例如 ： AB1112167116717(16)， 所以 AB 的值用十六进制表示就等于 17(16) 试计算：ABD_.(用十六进制表示) 答案 92(16) 解析 ABD111214146， 1469162， 用十六进制表示 146 为 92(16) 14秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例， 若输入 n， x 的值分别为 3,2， 则输出 v 的值为( ) A9 B18 C20 D35 答案 B 解析 初始值 n3，x2， 程序运行过程如下： v1 i2 v1224 i1 v4219 i0 v92018 i1 跳出循环，输出 v18，故选 B.