《2020版数学人教A版必修3学案：第三章 3.1.1-3.1.2 随机事件的概率 概率的意义 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修3学案：第三章 3.1.1-3.1.2 随机事件的概率 概率的意义 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1 随机事件的概率 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义 概率的意义 学习目标 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性 和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别 知识点一 事件的有关概念 1事件的分类及三种事件 2对事件分类的两个关键点 (1)条件 ： 在条件 S 下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生 (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况 思考 随机事件概念中的“在条件 S 下”能否去掉？ 答案 不可以 知识点二 概率与频率 1频数与频率
2、 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次 数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频率 nA n 2概率 (1)含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量 (2)与频率联系：对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A) 知识点三 概率的意义 1概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的 规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性
3、 2实际问题中的几个实例 (1)游戏的公平性 裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为 ， 1 2 所以这个规则是公平的 在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则 (2)决策中的概率思想 如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最 大”可以作为决策的准则这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要 的统计思想方法之一 (3)天气预报的概率解释 天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性 的大小 (4)试验与发现 概率学的知识在科学发展中起着非
4、常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试 验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近 31，而对这一规律进行深入研究，得出了 遗传学中一条重要的统计规律 (5)遗传机理中的统计规律 孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规 律利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系 1不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1.( ) 2小概率事件就是不可能发生的事件( ) 3某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化( ) 4在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) 题型一 事件的分类 例 1 指出下列事件是必然事件、不可
5、能事件还是随机事件 (1)从分别标有 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张，得到 4 号签； (2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大； (3)函数 ylogax(a0 且 a1)在其定义域内是增函数； (4)平行于同一直线的两条直线平行； (5)某同学竞选学生会主席成功 解 (2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件 反思感悟 对事件分类的两个关键点 (1)条件 ： 在条件 S 下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生 (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况 跟踪训练 1 指出下列事件是必然事件、不可能事件
6、还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖 500 万元； (2)三角形的内角和为 180； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； (5)从分别标有 1,2,3,4 的四张标签中任取一张，抽到 1 号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现 解 (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件 (2)所有三角形的内角和均为 180，所以是必然事件 (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件 (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件 (5)任意
7、抽取，可能得到 1,2,3,4 号标签中的任一张，所以是随机事件 (6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件 题型二 试验结果分析 例 2 下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币； (2)从集合 Aa，b，c，d中任取 3 个元素组成集合 A 的子集 解 (1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次” ，试验的可能结果有 4 个：(正，反)， (正，正)，(反，反)，(反，正) (2)一次试验是指 “从集合 A 中一次选取 3 个元素组成集合 A 的一个子集” ， 试验的结果共有 4 个：a，b，c，a，b，d，
8、a，c，d，b，c，d 反思感悟 (1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指 出试验结果，这是求概率的基础 (2)在写试验结果时，一般采用列举法，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验， 按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏 跟踪训练 2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑 4 个球，分别写出以下随机试验的条件和 结果 (1)从中任取 1 球；(2)从中任取 2 球 解 (1)条件为：从袋中任取 1 球结果为：红、白、黄、黑 4 种 (2)条件为：从袋中任取 2 球若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为： (红，白)，(红，黄)，(红，黑
9、)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6 种 题型三 利用频率估计概率 例 3 下表中列出了 10 次抛掷硬币的试验结果n 为抛掷硬币的次数，m 为硬币正面朝上的 次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率. 试验序号抛掷的次数 n 正面朝上的次 “正面朝上”出 数 m现的频率 1500251 2500249 3500256 4500253 5500251 6500245 7500244 8500258 9500262 10500247 解 由 fn(A)可得出 这 10 次 试验 中 “正面 朝 上”这 一事 件 出现 的 频率 依次 为 m n 0.502,0.498,
10、0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在 0.5 左右摆动，由概率 的统计定义可得，“正面朝上”的概率为 0.5. 反思感悟 (1)频率是事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值， 利用此公式可求出它们的 频率频率本身是随机变量，当 n 很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就 是概率 (2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率 跟踪训练 3 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1 000 支， 该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示： 分组5
11、00,900)900,1 100)1 100,1 300) 频数48121208 频率 1 300,1 500)1 500,1 700)1 700,1 900)1 900，) 22319316542 (1)求各组的频率； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率 解 (1)频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足 1 500 小时的频数是 48121208223600， 所以样本中寿命不足 1 500 小时的频率是0.6. 600 1 000 即灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率约为
12、 0.6. 概率的应用 典例 (1)某转盘被平均分成 10 等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字 即为转出的数字游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜 出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜猜数方案从以下两 种方案中选一种： A猜“是奇数”或“是偶数” ； B猜“是 4 的整数倍数”或“不是 4 的整数倍数” 请回答下列问题： 如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？ 为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？ (2)为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如 2 000 尾，给
13、每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库中 其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如 500 尾，查看其中有记号的鱼，设 有 40 尾，试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数 解 (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案 B，猜“不是 4 的整数倍数” ，这是因为“不是 4 的整数倍数”的概率为0.8，超过了 0.5，故为了尽可能获胜，选择方案 B. 8 10 为了保证游戏的公平性，应当选择方案 A，这是因为方案 A 猜“是奇数”和“是偶数”的 概率均为 0.5，从而保证了该游戏的公平性 (2)设水库中鱼的尾数为 n，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，先从水库中任捕一
14、尾， 设事件 A带有记号的鱼，易知 P(A)， 2 000 n 第二次从水库中捕出 500 尾，观察其中带有记号的鱼有 40 尾，即事件 A 发生的频数 m40， 由概率的统计定义可知 P(A)， 40 500 由两式，得， 2 000 n 40 500 解得 n25 000. 所以估计水库中约有鱼 25 000 尾 素养评析 (1)由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随 机事件概率的大小去预测事件能否发生从而对某些事情作出决策当某随机事件的概率未 知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率 (2)应用概率解决问题，其关键是收集和整理数据，处理数据，根
15、据数据获得和解释结果，这 些都是核心素养数据分析的主要表现 1下列事件： 长度为 3,4,5 的三条线段可以构成一个直角三角形； 经过有信号灯的路口，遇上红灯； 从 10 个玻璃杯(其中 8 个正品，2 个次品)中，任取 3 个，3 个都是次品； 下周六是晴天 其中，是随机事件的是( ) A B C D 答案 D 解析 为必然事件；对于，次品总数为 2，故取到的 3 个不可能都是次品，所以是不 可能事件；为随机事件 2在 12 件同类产品中，有 10 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出 3 件，则下列事件为必 然事件的是( ) A3 件都是正品 B至少有一件是次品 C3 件都是次品 D至少有
16、一件是正品 答案 D 解析 12 件产品中，有 2 件次品，任取 3 件，必包含正品，因而事件“抽取的 3 件产品中， 至少有一件是正品”为必然事件，故选 D. 3某人将一枚硬币连掷 10 次，正面朝上的情况出现了 8 次，若用 A 表示“正面朝上”这一 事件，则 A 的( ) A概率为 B频率为 4 5 4 5 C频率为 8 D概率接近于 8 答案 B 解析 做 n 次随机试验，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的频率为 .如果多次进行试验， m n 事件 A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件 A 的概率故 为事 8 10 4 5 件 A 的频率 4在 10 个学
17、生中，男生有 x 人现从 10 个学生中任选 6 人去参加某项活动，有下列事件： 至少有一个女生 ； 5 个男生，1 个女生 ； 3 个男生，3 个女生若要使为必然事件， 为不可能事件，为随机事件，则 x 为_ 答案 3 或 4 解析 由题意知，10 个学生中，男生人数少于 5，但不少于 3，所以 x3 或 x4. 5某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表. 每批粒数2510701307001 5002 0003 000 发芽的粒数249601166371 3701 7862 709 发芽的频率 (1)请完成上述表格(保留 3 位小数)； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 解 (1)填入
18、题表中的数据依次为 1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903. 填表如下： 每批粒 数 2510701307001 5002 0003 000 发芽的 粒数 249601166371 3701 7862 709 发芽的 频率 1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903 (2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为 0.900. 1随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机 事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估
19、算 概率 2概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件 一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大 3利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和 应用，提升自己的数学素养. 一、选择题 1今天北京降雨的概率是 80%，上海降雨的概率是 20%，下列说法不正确的是( ) A北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B上海今天可能降雨，而北京可能不降雨 C北京和上海今天都可能不降雨 D北京今天降雨的可能性比上海大 答案 A 解析 北京降雨的概率大于上海降雨的概率，说明北京降雨的可能性比上海大，两个城市可 能都降雨，但是不能确定北京今天
20、一定降雨，上海一定不降雨 2 从 1,2,3， 10 这 10 个数中， 任取 3 个数， 那么 “这 3 个数的和大于 6” 这一事件是( ) A必然事件 B不可能事件 C随机事件 D以上选项均不正确 答案 C 解析 从所给的 10 个数中，任取 3 个数，其和最小为 6.故事件“这 3 个数的和大于 6”为随 机事件，故选 C. 3下列现象： 当 x 是实数时，x|x|2； 某班一次数学测试，及格率低于 75%； 从分别标有 0,1,2,3，9 这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数； 体育彩票某期的特等奖号码 其中是随机现象的是( ) A B C D 答案 C 解析 由随机事件的定
21、义知正确 4某地气象局预报说：明天本地降水的概率为 80%，则下列解释正确的是( ) A明天本地有 80%的区域降水，20%的区域不降水 B明天本地有 80%的时间降水，20%的时间不降水 C明天本地降水的可能性是 80% D以上说法均不正确 答案 C 解析 选项 A， B 显然不正确， 因为明天本地降水的概率为 80%而不是说有 80%的区域降水， 也不是说有 80%的时间降水，而是指降水的可能性是 80%，故选 C. 5下列说法中正确的有( ) 做 9 次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有 5 次出现正面，所以出现正面的概率是 ； 5 9 盒子中装有大小均匀的 3 个红球， 3 个黑球， 2
22、个白球， 每种颜色的球被摸到的可能性相同 ； 从4，3，2，1,0,1,2 中任取一个数，取得的数小于 0 和不小于 0 的可能性相同； 分别从 2 名男生，3 名女生中各选 1 名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 A 解析 中， 应为出现正面的频率是 ； 中， 摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率 ； 5 9 中，取得的数小于 0 的概率大于不小于 0 的概率 ； 中，男生被抽到的概率为 ，而女生被 1 2 抽到的概率为 ，故均不正确 1 3 6 每道选择题有 4 个选项， 其中只有 1 个选项是正确的， 某次考试共有 12 道选择题
23、， 某人说 ： “每个选项正确的概率是 ， 我每题都随机地选择其中一个选项， 则一定有 3 道选择题结果正 1 4 确”这句话( ) A正确 B错误 C不一定正确 D以上都不对 答案 B 解析 虽然答对一道题的概率为 ，但实际问题中，并不意味着一定答对 3 道，可能全对，可 1 4 能对 3 道，也可能全不对 7 某医院治疗一种疾病的治愈率为 ， 前 4 位病人都未治愈， 则第 5 位病人的治愈率为( ) 1 5 A1 B. C. D0 1 5 4 5 答案 B 解析 治愈率为 ，表明每位病人被治愈的概率均为 ，并不是 5 人中必有 1 人被治愈故选 B. 1 5 1 5 8下列结论正确的是(
24、 ) A设事件 A 的概率为 P(A)，则必有 0P(A)1 B事件 A 的概率 P(A)0.999，则事件 A 是必然事件 C用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人进行治疗，结果有 380 人有明显的疗效现在胃 溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 76% D某奖券的中奖率为 50%，则某人购买此奖券 10 张，一定有 5 张中奖 答案 C 解析 因为 0P(A)1，所以 A 项不正确若事件 A 是必然事件，则 P(A)1，故 B 项不正 确；奖券的中奖率为 50%，若某人购买此奖券 10 张，则可能会有 5 张中奖，所以 D 项不正 确故选 C. 9同时向上抛 100 个铜板，
25、结果落地时 100 个铜板朝上的面都相同，你认为这 100 个铜板更 可能是下面哪种情况( ) A这 100 个铜板两面是相同的 B这 100 个铜板两面是不相同的 C这 100 个铜板中有 50 个两面是相同的，另外 50 个两面是不相同的 D这 100 个铜板中有 20 个两面是相同的，另外 80 个两面是不相同的 答案 A 解析 落地时 100 个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这 100 个铜板两面是相同 的可能性较大 二、填空题 10将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概 率比为_ 答案 31 解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形
26、： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 至少出现一次正面向上有 3 种情形，两次均出现反面向上有 1 种情形，故答案为 31. 11一个总体分为 A，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本已知 B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为_ 1 12 答案 120 解析 分层抽样也是等比例抽样，所以总体个数为 10120. 1 12 12给出下列四个命题： 设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品； 做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； 51 100 随机事件发生的
27、频率就是这个随机事件发生的概率； 抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是. 9 50 其中正确的命题有_(填序号) 答案 解析 错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对 200 件产品来说的混淆了频率 与概率的区别正确 三、解答题 13街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是 2,3,4,10,11,12 这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是 5,6,7,8,9 时，白方胜，这种游 戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？ 解 两枚骰子点数之和如下表： 123456 1234567 2345678 3456789 4
28、5678910 567891011 6789101112 其中点数之和是 2,3,4,10,11,12 这六种情况的共 12 种，概率是 ， 12 36 1 3 两枚骰子点数之和是 5,6,7,8,9 的情况共 24 种，概率是 .所以这种游戏不公平，白方比较 24 36 2 3 占便宜 14 随着互联网的普及， 网上购物已逐渐成为消费时尚， 为了解消费者对网上购物的满意情况， 某公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)， 统计结果 如下表： 满意情况不满意比较满意满意非常满意 人数200n2 1001 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中
29、对网上购物“比较满意”或“满意”的概率 是( ) A. B. C. D. 7 15 2 5 11 15 13 15 答案 C 解析 由题意得，n4 5002002 1001 0001 200，所以随机调查的消费者中对网上购 物“比较满意”或“满意”的总人数为 1 2002 1003 300， 所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在 3 300 4 500 11 15 网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选 C. 11 15 15容量为 200 的样本的频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图计算样本数 据落在6,10)内的频数为_，估计数据落在2,10)内的概率约为_ 答案 64 0.4 解析 数据落在6,10)内的频数为 2000.08464，数据落在2,10)内的频率为(0.02 0.08)40.4， 由频率估计概率知，所求概率为 0.4.