2020版数学人教A版必修3学案：第二章 2.1.2-2.1.3 系统抽样 分层抽样 Word版含解析.pdf

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1、2.1.2 系统抽样 系统抽样 2.1.3 分层抽样 分层抽样 学习目标 1.理解并掌握系统抽样、 分层抽样.2.会用系统抽样、 分层抽样从总体中抽取样本.3. 理解三种抽样的区别与联系 知识点一 系统抽样 1. 定义 ： 要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后 按照预先规定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法 2步骤 (1)先将总体的 N 个个体编号有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门 牌号等； (2)确定分段间隔 k， 对编号进行分段 当 (n 是样本容量)是整数时， 取 k ； 当 不是整数时， N n N

2、 n N n 先从总体中随机剔除几个个体，再重新编号， 然后分段； (3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk)； (4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(lk)，再加 k 得到 第 3 个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本 知识点二 分层抽样 1分层抽样的定义 当总体是由差异明显的几个部分组成时，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种 抽样方法叫做分层抽样 分层抽样尽量利用了调查者对调查对象(总体)事先所掌握的各种信息，并充分考虑了

3、保持样 本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性是非常重要的 2分层抽样的实施步骤 第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层) 第二步，计算抽样比抽样比. 样本容量 总体中的个体数 第三步，各层抽取的个体数各层总的个体数抽样比 第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本 第五步，综合每层抽样，组成样本 1系统抽样和分层抽样都是等可能抽样( ) 2系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数( ) 3分层抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样( ) 4系统抽样在第一段抽样时，采用简单随机抽样( ) 题型一 对系统抽样和分层抽样概念的理解 例 1

4、(1)老师从全班 50 名同学中抽取学号为 3,13,23,33,43 的五名同学了解学习情况， 其最可 能用到的抽样方法为( ) A简单随机抽样 B抽签法 C随机数法 D系统抽样 (2)某中学有老年教师 20 人，中年教师 65 人，青年教师 95 人，为了调查他们的健康状况， 需从他们中抽取一个容量为 36 的样本，则合适的抽样方法是( ) A抽签法 B系统抽样 C分层抽样 D随机数法 答案 (1)D (2)C 解析 (1)从学号上看，相邻两号总是相差 10，符合系统抽样的特征 (2)由于老年人、中年人和青年人的身体情况会有明显的差异，所以要用分层抽样故选 C. 反思感悟 1.系统抽样的判

5、断方法 (1)首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体 (2)再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样 (3)最后看是否等距抽样 2使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、 层与层之间有明显区别， 而层内个体间差异较小 跟踪训练 1 (1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如 下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如 15 号，然后按顺序将 65 号，115 号，165 号，发票上的销售金额组成一个调查样本这种抽取样本的方法是( ) A抽签法 B随机数法 C系统抽样 D以上都不对 (2)分层抽样又称类型抽样，即

6、将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样 本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( ) A每层等可能抽样 B每层可以不等可能抽样 C所有层按同一抽样比等可能抽样 D所有层抽取个体数量相同 答案 (1)C (2)C 解析 (1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组 50 张，从第一组抽出了 15 号，以后 各组抽 1550n(nN*)号，符合系统抽样的特点 (2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽 样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽样 题型二 系统抽样的应用 例 2 为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成

7、绩，从中抽取一个容量为 50 的样本， 那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程 解 适宜选用系统抽样，抽样过程如下： (1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2,3，1000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 个部分，每部分包括 20 个个体 (3)在第一部分的个体编号 1,2,3，20 中，利用简单随机抽样抽取一个号码 l. (4)以 l 为起始号码，每间隔 20 抽取一个号码，这样得到一个容量为 50 的样本 ： l，l20，l 40，l980. 反思感悟 当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔 k ，样本编号相差 k 的整数倍；系 N n 统抽样过程中可能会与其他抽样方法

8、结合使用，通常不单独运用 跟踪训练 2 现有 60 瓶牛奶，编号为 1 至 60，若从中抽取 6 瓶检验，用系统抽样方法确定所 抽取的编号可能为( ) A3,13,23,33,43,53 B2,14,26,38,42,56 C5,8,31,36,48,54 D5,10,15,20,25,30 答案 A 解析 因为 60 瓶牛奶分别编号为 1 至 60，所以把它们依次分成 6 组，每组 10 瓶，要从中抽 取 6 瓶检验，用系统抽样方法进行抽样若在第一组抽取的编号为 n(1n10)，则所抽取的 编号应为 n，n10，n50.对照 4 个选项，只有 A 项符合系统抽样系统抽样的显著特 点之一就是“

9、等距抽样” 因此，对于本题只要求出抽样的间隔 k10，就可判断结果 60 6 题型三 分层抽样的应用 例 3 某学校有在职人员 160 人，其中行政人员有 16 人，教师有 112 人，后勤人员有 32 人教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为 20 的样本， 请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程 解 抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为 . 20 160 1 8 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取 16 2(人)； 1 8 从教师中抽取 112 14(人)； 1 8 从后勤人员中抽取 32 4(人) 1 8 第三步，

10、采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员 2 人，教师 14 人，后勤人员 4 人 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本 反思感悟 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各 层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比 跟踪训练 3 一个单位有职工 500 人， 其中不到 35 岁的有 125 人， 35 岁至 49 岁的有 280 人， 50 岁及50岁以上的有95人 为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标， 要从中抽取100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层按

11、年龄将 500 名职工分成三层：不到 35 岁的职工；35 岁至 49 岁的职工；50 岁及 50 岁以上的职工 (2)确定每层抽取个体的个数抽样比为 ， 100 500 1 5 则在不到 35 岁的职工中抽取 125 25(人)； 1 5 在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 280 56(人)； 1 5 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽取 95 19(人) 1 5 (3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本 (4)汇总每层抽样，组成样本 需要剔除个体的系统抽样问题 典例 某校高中二年级有 253 名学生， 为了了解他们的视力情况， 准备按 15 的比例抽取一 个样本，试用系统抽样方

12、法进行抽取，并写出过程 解 (1)先把这 253 名学生编号为 000,001，252. (2)用随机数法任取 3 个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生 (3)把余下的 250 名学生重新编号 1,2,3，250. (4)分段取分段间隔 k5，将总体均分成 50 段，每段含 5 名学生 (5)从第一段即 15 号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如 l. (6)从后面各段中依次取出 l5，l10，l15，l245 这 49 个号这样就按 15 的比 例抽取了一个样本容量为 50 的样本 素养评析 (1)实施步骤 当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是

13、随 机的，即每个个体被剔除的机会均等剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整 除 剔除个体后需对样本重新编号 起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了 (2)系统抽样是收集数据的一种重要方法，是整理数据、提取信息、构建模型、进行推断的基 础，是培养学生数学核心素养的重要内容 1检测员每 10 分钟从匀速传递的新产品生产流水线上抽取一件新产品进行某项指标检测， 这样的抽样方法是( ) A系统抽样法 B抽签法 C随机数法 D其他抽样方法 答案 A 解析 根据系统抽样法的定义和性质进行判断即可 2下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( ) A从 10 名

14、同学中抽取 3 人参加座谈会 B某社区有 500 个家庭，其中高收入的家庭 125 个，中等收入的家庭 280 个，低收入的家 庭 95 个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 的样本 C从 1 000 名工人中，抽取 100 名调查上班途中所用时间 D从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 答案 B 解析 A 中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和 D 中总体个体无明 显差异且个数较多，适合用系统抽样；B 中总体个体差异明显，适合用分层抽样 3为了解 1 200 名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为 40 的样本， 考虑采用系统抽样

15、，则分段间隔 k 为( ) A10 B20 C30 D40 答案 C 解析 分段间隔 k30. 1 200 40 4某班级有 50 名学生，现要采用系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号为150号， 并均匀分组， 第一组15号， 第二组610号， 第十组4650 号，若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生 答案 37 解析 因为 12522，所以第 n 组中抽得号码为 5(n1)2 的学生所以第八组中抽得 号码为 57237 的学生. 5一批产品中有一级品 100 个，二级品 60 个，三级品 40 个，分别用系统抽样法和

16、分层抽样 法从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本 解 系统抽样法：将 200 个产品编号为 1200，然后将编号分成 20 个部分，在第 1 部分中 用简单随机抽样法抽取 1 个编号如抽到 5 号，那么得到编号为 5,15,25，195 的个体， 即可得到所需样本 分层抽样法：因为 1006040200， 所以， 20 200 1 10 所以 10010,606,404. 1 10 1 10 1 10 因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取 10 个，6 个和 4 个，即可得到所需样本 1系统抽样有以下特点： (1)适用于总体容量较大的情况； (2)剔除多余个体及第一段抽样都要用简单随机抽

17、样，因而与简单随机抽样有密切联系； (3)是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是 ； n N (4)是不放回抽样 在抽样时，只要第一段抽取的个体确定了，后面各段中要抽取的个体依照事先确定好的规律 就自动地被抽出，因此简单易行 2总体容量小，用简单随机抽样；总体容量大，用系统抽样；总体差异明显，用分层抽 样在实际抽样中，为了使样本具有代表性，通常要同时使用几种抽样方法. 一、选择题 1为了了解某地参加计算机水平测试的 5 008 名学生的成绩，从中抽取了 200 名学生的成绩 进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为( ) A24 B25 C26 D28 答案 B 解析 5 00

18、8 除以 200 的整数商为 25，故选 B. 2我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千 二百三十六，南乡算八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，问 各几何？”意思是：北乡有 8 758 人，西乡有 7 236 人，南乡有 8 356 人，现要按人数多少从 三乡共征集 378 人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是( ) A102 B112 C130 D136 答案 B 解析 因为北乡有 8 758 人，西乡有 7 236 人，南乡有 8 356 人，现要按人数多少从三乡共征 集 378 人， 故需从西乡征集的人数是

19、 378112. 7 236 8 7587 2368 356 3 将 A， B， C 三种性质的个体按 124 的比例进行分层抽样调查， 若抽取的样本容量为 21， 则 A，B，C 三种性质的个体分别抽取( ) A12,6,3 B12,3,6 C3,6,12 D3,12,6 答案 C 解析 由分层抽样的概念，知 A，B，C 三种性质的个体应分别抽取 21 3,21 6,21 1 7 2 7 12. 4 7 4某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法 从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( ) A1

20、00 B150 C200 D250 答案 A 解析 由题意得，解得 n100，故选 A. 70 n70 3 500 1 500 5要完成下列 3 项抽样调查： 从 15 瓶饮料中抽取 5 瓶进行食品卫生检查 某校报告厅有 25 排，每排有 38 个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后， 为了听取意见，需要抽取 25 名学生进行座谈 某中学共有 240 名教职工，其中一般教师 180 名，行政人员 24 名，后勤人员 36 名为了 了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本 较为合理的抽样方法是( ) A简单随机抽样，系统抽样，分层抽样 B简单随机抽样，分层抽

21、样，系统抽样 C系统抽样，简单随机抽样，分层抽样 D分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 答案 A 解析 由抽样方法的特点可知，应用简单随机抽样，应用系统抽样，应用分层抽样较 为合理故选 A. 6从已编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验， 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法， 则所选取的5枚导弹的编号可能是( ) A5,10,15,20,25 B3,13,23,33,43 C1,2,3,4,5 D2,4,6,16,32 答案 B 解析 用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该是 k，kd，k2d，k3d，k4d，其中 d 10，k 是从 1 到

22、 10 中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项 B 满足要求，故选 B. 50 5 7某校三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法抽取 4 个班进行调查，若抽到的编号之和为 48，则抽到的最小编号 为( ) A2 B3 C4 D5 答案 B 解析 由题意得系统抽样的抽样间隔为6.设抽到的最小编号为 x，则 x(6x)(12x) 24 4 (18x)48，所以 x3，故选 B. 8某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中高三学生数是高一学生数的两 倍，高二学生数比高一学生数多 300，现在按的抽样比用分层

23、抽样的方法抽取样本，则应 1 100 抽取高一学生数为( ) A8 B11 C16 D10 答案 A 解析 若设高三学生数为 x， 则高一学生数为 ， 高二学生数为 300， 所以有 x 300 x 2 x 2 x 2 x 2 3 500，解得 x1 600.故高一学生数为 800，因此应抽取高一学生数为8. 800 100 9 将参加夏令营的 600 名学生编号为 ： 001,002， 600.采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本， 且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区， 从 001 到 300 在第营区， 从 301 到 495 在第营区，从 496 到 6

24、00 在第营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A26,16,8 B25,17,8 C25,16,9 D24,17,9 答案 B 解析 由题意知间隔为12，故抽到的号码为 12k3(k0,1，49)，列出不等式可解 600 50 得：第营区抽取 25 人，第营区抽取 17 人，第营区抽取 8 人 二、填空题 10一个总体的 60 个个体的编号为 0,1,2，59，现要从中抽取一个容量为 10 的样本，请 根据编号按被 6 除余 3 的方法，取足样本，则抽取的样本号码是_ 答案 3,9,15,21,27,33,39,45,51,57 解析 由题意，设抽取样本的编号为 6n3，则 36n359，

25、且 nN，所以 n 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，相应的编号依次为 3,9,15,21,27,33,39,45,51,57. 11某单位有职工 72 人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为 n，则不需要 剔除个体，若样本容量为 n1，则需剔除 2 个个体，则 n_. 答案 4 或 6 或 9 解 析 由 题 意 知 n 为 72 的 约 数 ， n 1 为 70 的 约 数 ， 其 中 72 的 约 数 有 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72， 其中加 1 能被 70 整除的有 1,4,6,9， 其中 n1 不符合题意， 故 n4 或 6 或 9.

26、12某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1 200 辆，6 000 辆和 2 000 辆为检验该公司 的产品质量， 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验， 这三种型号的轿车依次应抽取的辆数 为_ 答案 6,30,10 解析 设三种型号的轿车依次抽取 x 辆，y 辆，z 辆， 则有Error! 解得Error! 三、解答题 13为了对某课题进行研究，分别从 A，B，C 三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成 研究小组， 其中高校A有m名教授， 高校B有72名教授， 高校C有n名教授(其中0m72n) (1)若 A，B 两所高校中共抽取 3 名教授，B，C 两所高校中共抽取 5 名教授，求

27、 m，n； (2)若高校 B 中抽取的教授总数是高校 A 和 C 中抽取的教授总数的 ，求三所高校的教授的总 2 3 人数 解 (1)0m72n，A，B 两所高校中共抽取 3 名教授，B 高校中抽取 2 人， A 高校中抽取 1 人，C 高校中抽取 3 人， ，解得 m36，n108. 1 m 2 72 3 n (2)高校 B 中抽取的教授数是高校 A 和 C 中抽取的教授数的 ， 2 3 (mn)72，解得 mn108， 2 3 三所高校的教授的总人数为 mn72180. 14问题：有 1 000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内，其中红色箱子内有 500 个，蓝色箱子 内有 200 个，黄色

28、箱子内有 300 个，现从中抽取一个容量为 100 的样本； 从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会 方法：.简单随机抽样；.系统抽样；.分层抽样其中问题与方法能配对的是( ) A， B， C， D， 答案 B 解析 对于，由于箱子颜色差异较为明显，可采用分层抽样方法抽取样本；对于，由于 总体容量、样本容量都较小，宜采用简单随机抽样 15 200 名职工年龄分布如图所示， 从中随机抽取 40 名职工作样本， 采用系统抽样方法， 按 1 200 编号，分为 40 组，分别为 15,610，196200，第 5 组抽取的号码为 22，第 8 组 抽取号码为_若采用分层抽样，40 岁以下年龄段应抽取_人 答案 37 20 解析 将 1200 编号分为 40 组，则每组的间隔为 5，其中第 5 组抽取的号码为 22，则第 8 组抽取的号码应为 223537；由已知条件 200 名职工中 40 岁以下的职工人数为 20050%100，设在 40 岁以下年龄段中应抽取 x 人，则，解得 x20. 40 200 x 100