《2020版数学人教A版必修3学案：第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修3学案：第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学习目标 1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.会用样本的基本 数字特征来估计总体的基本数字特征 知识点一 众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数 (2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个 数的平均数)叫做这组数据的中位数 (3)平均数：如果 n 个数 x1，x2，xn，那么 (x1x2xn)叫做这 n 个数的平均数x 1 n 思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何
2、缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但 是平均数受数据中极端值的影响较大 知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示 s. 1 nx 1 x 2x2 x 2xn x 2 (2)标准差的平方 s2叫做方差 s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2(xn是样本数据，n 是样本容量， 是样本平均数) 1 n xxxx (3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0 时，每一组样本数据均为 . x 知识拓展：平均数、方差公式的推广 (1)若数据 x1，x2，xn的平均数
3、为 ，那么 mx1a，x mx2a，mx3a，mxna 的平均数是 m a.x (2)设数据 x1，x2，xn的平均数为 ，方差为 s2，则x s2 (x x x )n 2； 1 n 2 12 22 n x 数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2； 数据 ax1，ax2，axn的方差为 a2s2； 数据 ax1b，ax2b，axnb 的方差也为 a2s2，标准差为 as. 1中位数是一组数据中间的数( ) 2众数是一组数据中出现次数最多的数( ) 3一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近( ) 4一组数据的标准差不大于极差( ) 题型一 众数、中位数、平均数的计算 例 1
4、 (1)某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，得 95 分的有 1 人，得 90 分的 有 2 人，得 85 分的有 4 人，得 80 分和 75 分的各 1 人，则该小组数学成绩的平均数、众数、 中位数分别为( ) A85,85,85 B87,85,86 C87,85,85 D87,85,90 (2)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为( ) A2,5 B5,5 C5,8 D8,8 答案 (1)C (2)C 解析 (1)平均数为87，众数为 85，中位数
5、为 85. 1009590 285 48075 10 (2)结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解 由 于 甲 组 数 据 的 中 位 数 为 15 10 x， 所 以 x 5.又 乙 组 数 据 的 平 均 数 为 16.8，所以 y8，所以 x，y 的值分别为 5,8. 91510y1824 5 反思感悟 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大 到小的顺序排列，再根据各自的定义计算 跟踪训练 1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m)1.5
6、01.601.651.701.751.801.851.90 人数23234111 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数 解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数最多，即这组数据的众数是 1.75.上面表 里的 17 个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一个数 据，即这组数据的中位数是 1.70.这组数据的平均数是 (1.5021.6031.901)x 1 17 1.69(m) 28.75 17 故 17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75 m，1.70 m,1.69 m. 题型二 标准差、方差的计算及应用 例
7、2 甲、乙两名战士在相同条件下各打靶 10 次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差； (3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去 合适？ 解 (1) 甲 (86786591047)7(环)，x 1 10 乙 (6778678795)7(环)x 1 10 (2)由方差公式 s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2，得 s 3，s 1.2. 1 n xxx 2 甲 2 乙 (3) 甲乙，说明甲、乙两战士的平均
8、水平相当 xx 又 s s说明甲战士射击情况波动比乙大 2 甲 2 乙 因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛 反思感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据 的波动大小 (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据 在样本平均数周围越集中 ； 反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散 (3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情 况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的 跟踪训练 2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包
9、装传送带上每隔 30 分钟抽取一 包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？ (2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样 (2) 甲 (10210199981039899)100； x 1 7 乙 (110115908575115110)100； x 1 7 s (102100)2(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99 2
10、 甲 1 7 100)2 (4114941)3.43； 1 7 s (110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110 2 乙 1 7 100)2 (100225100225625225100) 1 7 228.57. 所以 s s ，故甲车间产品较稳定 2 甲 2 乙 频率分布直方图与数字特征的综合应用 典例 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生，其数学成绩(均为整数)的 频率分布直方图如图所示 (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数 解 (1)知众数为75. 7080 2 (2)设中
11、位数为 x，由于前三个矩形面积之和为 0.4，第四个矩形面积为 0.3,0.30.40.5，因 此中位数位于第四个矩形内，得 0.10.03(x70)，所以 x73.3. 引申探究 1若本例条件不变，求数学成绩的平均分 解 由题干图知这次数学成绩的平均分为0.005100.01510 4050 2 5060 2 6070 2 0.02100.03100.025100.0051072. 7080 2 8090 2 90100 2 2本例条件不变，求 80 分以上(含 80 分)的学生人数 解 80,90)分的频率为 0.025100.25， 频数为 0.258020. 90,100分的频率为 0
12、.005100.05， 频数为 0.05804. 所以 80 分以上的学生人数为 20424. 素养评析 (1)利用频率分布直方图估计总体数字特征 众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； 中位数左右两侧直方图的面积相等； 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致 (3)在解决本题时，需要选择运算方法，掌握运算法则，求得运算结果，并根据结果进行合理 推断，获得结论这些都是数学核心素养的内含所在. 1某市 2017 年各月的平均气温()数据的茎叶图如图： 则这组数据的中位数是( ) A19 B20 C21.5 D
13、23 答案 B 解析 由茎叶图知，平均气温在 20以下的有 5 个月，在 20以上的也有 5 个月，恰好是 20的有 2 个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为 20.故选 B. 2下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( ) A中位数可以准确地反映出总体的情况 B平均数可以准确地反映出总体的情况 C众数可以准确地反映出总体的情况 D平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 答案 D 3 在某次测量中得到的 A 样本数据如下 ： 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得的数据，则 A，
14、B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A众数 B平均数 C中位数 D标准差 答案 D 4某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分 数的茎叶图如图所示(其中 m 为数字 09 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲， 乙两名选手得分的平均数分别为 a1，a2，则一定有( ) Aa1a2 Ba2a1 Ca1a2 Da1，a2的大小与 m 的值有关 答案 B 解析 由茎叶图知， a18084， 15545 5 a28085，故选 B. 44647 5 5若样本数据 x1，x2，x10的标准差为 8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准差 为
15、_ 答案 16 解析 设样本数据 x1，x2，x10的标准差为 s，则 s8， 可知数据 2x11,2x21，2x101 的标准差为 2s16. 1标准差的平方 s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标 准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差 2现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样 本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性 3在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的 数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案. 一、选择题 1如图是某
16、样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A32 34 32 B33 45 35 C34 45 32 D33 36 35 答案 B 解析 从茎叶图中知共 16 个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为 32,34，所以这组 数据的中位数为 33； 45 出现的次数最多，所以这组数据的众数为 45； 最大值是 47，最小值是 12，故极差是 35. 2某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表： 次品数01234 频率0.50.20.050.20.05 则次品数的平均数为( ) A1.1 B3 C1.5 D2 答案 A 解析 设数据 xi出现的频率为 pi(i1,2
17、， n)， 则 x1， x2， xn的平均数为 x1p1x2p2 xnpn00.510.220.0530.240.051.1，故选 A. 3 样本中共有5个个体， 其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1， 则样本的标准差为( ) A. B. 6 5 6 5 C2 D. 2 答案 D 解析 样本 a,0,1,2,3 的平均数为 1， 1，解得 a1. a6 5 则样本的方差 s2 (11)2(01)2(11)2(21)2(31)22， 1 5 故标准差为.故选 D.2 4设样本数据 x1，x2，x10的平均数和方差分别为 1 和 4，若 yixia(a 为非零常数，i 1,2，10)
18、，则 y1，y2，y10的平均数和方差分别为( ) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A 解析 x1，x2，x10的平均数 1，方差 s 4，x 2 1 且 yixia(i1,2，10)， y1，y2，y10的平均数 (y1y2y10)(x1x2x1010a)(x1x2x10)a a1a，y 1 10 1 10 1 10 x 其方差 s (y1 )2(y2 )2(y10 )2(x11)2(x21)2(x101)2 2 2 1 10 yyy 1 10 s 4.故选 A. 2 1 5200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数 的估计值为(
19、 ) A62,62.5 B65,62 C65,62.5 D62.5,62.5 答案 C 解析 最高的矩形为第三个矩形， 时速的众数的估计值为 65. 前两个矩形的面积为(0.010.03)100.4. 0.50.40.1，102.5， 0.1 0.4 中位数的估计值为 602.562.5. 故选 C. 6 10 名工人某天生产同一零件， 生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12， 设其平均数为 a， 中位数为 b，众数为 c，则有( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 答案 D 解析 由已知得 a(15171410151717161412)14.7， 1
20、 10 b (1515)15，c17， 1 2 cba.故选 D. 7高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知 该同学五次数学成绩数据的平均数为 108，方差为 35.2，则|xy|的值为( ) A15 B16 C17 D18 答案 D 解析 由题意得，108， xy105109110 5 35.2， x1082y1082914 5 由解得Error!或Error! 所以|xy|18.故选 D. 8一组数据的平均数是 2.8，方差是 3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到一 组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
21、A57.2,3.6 B57.2,56.4 C62.8,63.6 D62.8,3.6 答案 D 解析 每一个数据都加上 60，所得新数据的平均数增加 60，而方差保持不变 9甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示若甲、乙两人的平均成 绩分别是 甲，乙，则下列结论正确的是( ) xx A. 甲乙；乙比甲成绩稳定 xx B. 甲乙；甲比乙成绩稳定 xx C. 甲乙；乙比甲成绩稳定 xx D. 甲乙；甲比乙成绩稳定 xx 答案 A 解析 甲同学的成绩为 78,77,72,86,92，乙同学的成绩为 78,82,88,91,95， 所以 甲 (7877728692)81， x 1
22、5 乙 (7882889195)86.8. x 1 5 所以 甲乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比 xx 甲成绩稳定 二、填空题 10一组数据 2，x,4,6,10 的平均数是 5，则此组数据的标准差是_ 答案 2 2 解析 一组数据 2，x,4,6,10 的平均数是 5， 2x461055， 解得 x3， 此组数据的方差 s2 (25)2(35)2(45)2(65)2(105)28， 1 5 此组数据的标准差 s2 . 2 11如图所示的茎叶图是甲、乙两组各 5 名学生的数学竞赛成绩(70 分99 分)，若甲、乙两 组学生的平均成绩一样，则 a_；甲、乙
23、两组学生的成绩相对稳定的是_ 答案 5 甲组 解析 由题意可知 7588899890a 5 89，解得 a5. 7685899897 5 因为 s (14)2(1)209262， s (13)2(4)209282， 2 甲 1 5 314 5 2 乙 1 5 330 5 所以 s s ，故成绩相对稳定的是甲组 2 甲 2 乙 12已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到1,0,4，x,7,14，中位数为 5，则这组数据的 平均数为_，方差为_ 答案 5 74 3 解析 1,0,4，x,7,14 的中位数为 5， 5，x6. 4x 2 这组数据的平均数是5， 1046714 6 这组数据的方差是
24、(362511481). 1 6 74 3 三、解答题 13现有某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以160,180)， 180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图 所示 (1)求直方图中 x 的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层抽样 的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220,240)内的用户中应抽取多少户？ 解 (1)由(0.0020.009 50
25、.0110.012 5x0.0050.002 5)201 得 x0.007 5， 故直方图中 x 的值是 0.007 5. (2)月平均用电量的众数为230. 220240 2 (0.0020.009 50.011)200.450.5， 月平均用电量的中位数在220,240)内， 设中位数为 a， 由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5， 得 a224，即月平均用电量的中位数为 224. (3)月平均用电量在220,240)内的有 0.012 52010025(户)， 月平均用电量在240,260)内的有 0.007 52010015(户)， 月平均用电量
26、在260,280)内的有 0.0052010010(户)， 月平均用电量在280,300内的有 0.002 5201005(户)， 抽取比例为 ， 11 2515105 1 5 月平均用电量在220,240)内的用户中应抽取 25 5(户) 1 5 14如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 A和B，样本 xx 标准差分别为 sA和 sB，则( ) A. AB，sAsB B. AB，sAsB xxxx C. AB，sAsB D. AB，sAsB xxxx 答案 B 解析 由题图知，A 组的 6 个数分别为 2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的 6 个
27、数分别为 15,10,12.5,10,12.5,10， 所以 A ，x 2.51057.52.510 6 25 4 B .x 151012.51012.510 6 35 3 显然 AB. xx 又由图形可知，B 组数据的分布比 A 组的均匀，变化幅度不大，故 B 组数据比较稳定，方差 较小，从而标准差较小，所以 sAsB. 15某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示现在用分层抽样 方法从三个分厂生产的产品中共抽取 100 件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数 为_； 测试结果为第一、 二、 三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为 1 020 小时， 980 小时，1 030 小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为_小时 答案 50 1 015 解析 由分层抽样可知， 第一分厂应抽取 10050%50(件) 由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为 1 02050% 98020%1 03030%1 015(小时)