《2020版数学人教A版必修5学案：第一章 1.2 第2课时 角度、面积问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第一章 1.2 第2课时 角度、面积问题 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第第 2 课时 角度、面积问题课时 角度、面积问题 学习目标 1.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件， 解决航海等角度问题.2.掌握用 两边及其夹角表示的三角形面积公式 知识点一 角度问题 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物 的视角等解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中， 该三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个 三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解 知识点二 用两边及其夹角表示的三角形面积公式 一般地，三角形面积等于两边及夹角正弦乘积的一半,即
2、SABC absin C bcsin A acsin 1 2 1 2 1 2 B. 思考 1 SABC absin C 中，bsin C 的几何意义是什么？ 1 2 答案 BC 边上的高 思考 2 如何用 AB，AD，角 A 表示ABCD 的面积？ 答案 SABCDABADsin A. 1仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角( ) 2在处理方向角时，两个正北方向线视为平行( ) 3航海问题中，所求结果中的角度通常要化为方向角或方位角( ) 4ABC 的面积 Sabc(其中 R 为ABC 外接圆半径)( ) 1 4R 题型一 角度问题 例 1 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处
3、(1)海里的 B 处有一艘走私3 船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/时的速3 度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉 私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船， 则 CD10t，BD10t，3 在ABC 中，由余弦定理，有 BC2AB2AC22ABACcos A (1)2222(1)2cos 1206.33 BC.又，6 BC sin A AC sinABC sinABC， ACsin A BC
4、2sin 120 6 2 2 又ABC(0，60)，ABC45， B 点在 C 点的正东方向上， CBD9030120， 在BCD 中，由正弦定理得， BD sinBCD CD sinCBD sinBCD . BDsinCBD CD 10tsin 120 10 3t 1 2 又BCD(0，60)，BCD30， 缉私船沿北偏东 60的方向行驶 又在BCD 中，CBD120，BCD30， CDB30，BDBC，即 10t . 6 t 小时15 分钟 6 10 缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟 反思感悟 解决航海问题先根据条件，画出示意图，然后把方向角、速度
5、、时间等条件转化 为三角形的角、边，化为解三角形问题 跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处， 乙船以每小时a海里的速度向北行驶， 已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3 解 如图所示设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在ABC 中， BCat 海里， ACat 海里，3 B9030120， 由，得 BC sinCAB AC sin B sinCAB ， BCsin B AC at sin 120 3at 3 2 3 1 2 0 B C90 D180 答案 B 3.当太阳光与水平面的倾斜角为 60时， 一根长为 2 m 的竹竿如图所示放置
6、， 要使它的影子最 长，则竹竿与地面所成的角是( ) A15 B30 C45 D60 答案 B 解析 设竹竿与地面所成的角为 ，影子长为 x m. 由正弦定理，得， 2 sin 60 x sin120 xsin(120) 43 3 30120120， 当 12090，即 30时，x 有最大值 即竹竿与地面所成的角是 30时，影子最长 4在ABC 中，AB3，BC，AC4，则ABC 的面积是( )13 A3 B. C3 D.3 33 2 3 2 答案 A 解析 cos A ， AB2AC2BC2 2ABAC 91613 2 3 4 1 2 sin A， 3 2 SABC bcsin A 433.
7、 1 2 1 2 3 2 3 5在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2(ab)26，C ，则ABC 3 的面积是( ) A. B. C. D33 93 2 33 2 3 答案 C 解析 由题意得 c2a2b22ab6， 由余弦定理可得 c2a2b22abcos Ca2b2ab， 2ab6ab，即 ab6. SABC absin C. 1 2 33 2 6 (2018全国)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若ABC 的面积为， a2b2c2 4 则 C 等于( ) A. B. C. D. 2 3 4 6 答案 C 解析 S absin C
8、 1 2 a2b2c2 4 2abcos C 4 abcos C， 1 2 sin Ccos C，即 tan C1. 又C(0，)，C . 4 7.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建 筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( ) A30 B45 C60 D75 答案 B 解析 依题意可得 AD20，AC30，105 又 CD50，所以在ACD 中， 由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD ， 30 5220102502 2 305 2010 6 000 6 0002 2 2 又 0CAD180，
9、所以CAD45， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 8若钝角ABC 的面积是 ，AB1，BC，则 AC 等于( ) 1 2 2 A5 B. C2 D15 答案 B 解析 钝角ABC 的面积是 ， 1 2 ABc1，BCa，2 S acsin B ，即 sin B. 1 2 1 2 2 2 当 B 为钝角时，cos B.1sin2B 2 2 利用余弦定理，得 AC2AB2BC22ABBCcos B1225，即 AC；5 当 B 为锐角时，cos B，1sin2B 2 2 利用余弦定理，得 AC2AB2BC22ABBCcos B1221，即 AC1， 此时 AB2AC2BC2，即A
10、BC 为直角三角形，不合题意，舍去 故 AC . 5 二、填空题 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边 a，b，c 满足 b2c2a2bc，且 bc8，则ABC 的面 积为 答案 23 解析 因为 b2c2a2bc，所以 cos A ，所以 A ，三角形面积 S bcsin b2c2a2 2bc 1 2 3 1 2 A 82. 1 2 3 2 3 10已知三角形 ABC 的三边分别为 a，b，c，面积 Sa2(bc)2，则 cos A . 答案 15 17 解析 Sa2(bc)2a2b2c22bc2bccos A2bc， S bcsin A， bcsin A2bc2bccos A. 1 2
11、1 2 即 44cos Asin A. 平方得 17cos2A32cos A150. 即(17cos A15)(cos A1)0. 得 cos A1(舍)或 cos A. 15 17 11.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉 ： 在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现 乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为 答案 21 14 解析 如题图知，在ABC 中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 80
12、0， 所以 BC20，7 由正弦定理得 sinACBsinBAC， AB BC 21 7 由BAC120知ACB 为锐角， 故 cosACB. 27 7 故 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30. 21 14 三、解答题 12甲船在 A 处，乙船在 A 的南偏东 45方向，距 A 有 9 海里的 B 处，并以 20 海里/时的速 度沿南偏西 15方向行驶，若甲船以 28 海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？ 解 如图所示，设用 t 小时甲船能追上乙船，且在 C 处相遇 在ABC 中，AC28t，BC20t，AB9， ABC1804515120
13、. 由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosABC， 即(28t)292(20t)22920t， ( 1 2) 128t260t270，t 或 t(舍去)， 3 4 9 32 甲船用 小时能最快追上乙船 3 4 13在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 A ，b2a2 c2. 4 1 2 (1)求 tan C 的值； (2)若ABC 的面积为 3，求 b 的值 解 (1)由 b2a2 c2及正弦定理得 sin2B sin2C，所以cos 2Bsin2C. 1 2 1 2 1 2 由 A ，得 BC ， 4 3 4 则cos 2Bcossin 2C ( 3 2
14、2C) 2sin Ccos C， 所以 sin2C2sin Ccos C，又 sin C0，解得 tan C2. (2)由 tan C2，C(0，)，得 sin C，cos C. 25 5 5 5 因为 sin Bsin(AC)sin， ( 4C) 所以 sin B. 310 10 由正弦定理得 cb， bsin C sin B 22 3 又因为 A ， bcsin A3，所以 bc6，故 b3. 4 1 2 2 14 如图， 四边形 ABCD 中， BC120， AB4， BCCD2， 则该四边形的面积等于( ) A. B5 C6 D73333 答案 B 解析 连接 BD，四边形面积可分为A
15、BD 与BCD 两部分面积的和， 由余弦定理，得 BD2，3 SBCD BCCDsin 120， 1 2 3 ABD1203090， SABD ABBD4. 1 2 3 S四边形 ABCD45.333 15为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围 1 千米处 不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 千米有一条北偏东 60方向的3 公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少 分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？ 解 如图所示，考点为 A，检查开始处为 B， 设检查员行驶到公路上 C，D 两点之间时收不到信号， 即公路上 C，D 两点到考点的距离为 1 千米 在ABC 中，AB千米，3 AC1 千米，ABC30， 由正弦定理，得 sinACBAB， sin 30 AC 3 2 ACB120(ACB60不合题意)， BAC30，BCAC1 千米 在ACD 中，ACAD1 千米，ACD60， ACD 为等边三角形，CD1 千米 605，在 BC 上需 5 分钟，CD 上需 5 分钟 BC 12 最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并持续至少 5 分钟才算合格