《2020版数学人教A版必修5学案：第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题 Word版含解析.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2 应用举例 应用举例 第第 1 课时 距离、高度问题课时 距离、高度问题 学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问 题、正确分析问题、独立解决问题的能力 知识点一 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示 (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 140(如图所示) (3)方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)类似
2、还有东北方向、 西南方向等 知识点二 距离问题 类型图形方法 两点间不可到达的距离余弦定理 两点间可视不可到达的距离正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识点三 高度问题 类型简图计算方法 底部可达 测得 BCa，BCAC，ABatan C. 点B与C， D 共线 测得 CDa 及 C 与ADB 的度数. 先由正弦定理求出 AC 或 AD，再解三 角形得 AB 的值. 底 部 不 可 达 点B与C， D 不共线 测得 CDa 及BCD， BDC， ACB 的度数. 在BCD 中由正弦定理求得 BC， 再解 三角形得 AB 的值. 1南偏东 30指正南为始边，在水
3、平面内向东旋转 30.( ) 2两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解( ) 3两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解( ) 4高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决( ) 题型一 距离问题 命题角度 1 不可通又不可视的两点间距离 例 1 (1)如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共 线的一点 C，然后给出了三种测量方案：(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)： 测量 A，B，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a. 则一定能确定 A，B 间距离的所
4、有方案的个数为( ) A3 B2 C1 D0 答案 A 解析 因为 A，B 间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三 角形求出 AB. (2)A，B 两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点 C，测得 CA7 km，CB5 km，C60， 则 A，B 两点之间的距离为 km. 答案 39 解析 由余弦定理，得 AB2CA2CB22CACBcos C7252275 39， 1 2 AB.39 反思感悟 解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决 命题角度 2 可视不可达的两点间的距离 例 2 如图所示， 在一岸边选定两点 A， B， 望对岸标记物 C， 测得CA
5、B30， CBA75， AB 120 m，则 BC 为 m. 答案 60()62 解析 由题意知，ACB180307575， 由正弦定理，BCsinCABsin 30 AB sinACB 120 sin 75 60() 120 62 4 1 2 62 反思感悟 求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故 只能寻求构造已知两角及一边的三角形 命题角度 3 测量两个不可到达点间的距离 例 3 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离 1 千米的两个观 察点 C， D， 在某天 10： 00 观察到该船在 A 处， 此时测得ADC30， 2 分钟后该船
6、行驶至 B 处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为 千米/分钟 答案 6 4 解析 在ACD 中，CD1，ADC30， ACDACBBCD105， CAD1803010545. 由正弦定理，ADsinACD CD sinCAD . 1 2 2 62 4 31 2 同理，在BCD 中， BDsinBCD1. CD sinCBD 1 2 2 2 2 在ADB 中，AB2AD2BD22ADBDcosADB 2122 1 . ( 31 2 ) 31 2 1 2 3 2 AB，船速为 千米/分钟 6 2 6 4 反思感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点 A，B 之间的距离转化为例 1
7、 中的题型 题型二 高度问题 命题角度 1 在同一铅垂面内的高度问题 例 4 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35，沿倾斜角为 20的斜坡前进 1 000 m 后 到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65，则山的高度为 m(精确到 1 m) 答案 811 解析 如图，过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E， 因为DAC20， 所以ADE160， 于是ADB36016065135. 又BAD352015，所以ABD30. 在ABD 中，由正弦定理，得 AB1 000(m) ADsinADB sinABD 1 000 sin 135 sin 30 2 在 RtABC 中，BCABsi
8、n 35811(m) 所以山的高度为 811 m. 反思感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形 (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的 垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进 命题角度 2 不在同一铅垂面内的高度问题 例 5 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上， 测得点 A 的仰角为 60，再由点 C 沿北偏东 15方向走 10 m 到位置 D，测得BDC45，则 塔 AB 的高是( ) A10 m B10 m C10 m D10 m236 答案 D 解析 在BCD 中，C
9、D10 m，BDC45， BCD1590105，DBC30， 由正弦定理，得， BC sinBDC CD sinDBC BC10(m) 10sin 45 sin 30 2 在 RtABC 中，tan 60，ABBCtan 6010(m) AB BC 6 反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所 在直线不经过“目标物” ，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化 为平面内解三角形问题 三角形测量中的数学抽象 典例 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径：一种是从 A 沿直线步行 到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车
10、到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.山路 AC 长为 1 260 m， 经测量，cos A，cos C .求索道 AB 的长 12 13 3 5 解 在ABC 中，因为 cos A，cos C ， 12 13 3 5 所以 sin A，sin C . 5 13 4 5 从而 sin Bsin(AC) sin(AC) sin Acos Ccos Asin C . 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65 由，得 ABsin C 1 040(m) AB sin C AC sin B AC sin B 1 260 63 65 4 5 所以索道 AB 的长为 1 040 m. 素养评析 数学
11、抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象在本例中，我们舍 去 A，B，C 三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、 乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段 AC，AB 的长，都属于数学抽象. 1如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者与 A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定 一点 C，测出 A，C 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，可以计算出 A，B 两点 的距离为( ) A50 m B50 m23 C25 m D. m2 252 2 答案 A 解析 ABC1804510530，在ABC 中，由， AB sin 45 50 sin 30 得
12、AB10050. 2 2 2 2 (2018河南南阳八校联考)如图， 要测出山上一座天文台 BC 的高， 从山腰 A 处测得 AC60 m，天文台最高处 B 的仰角为 45，天文台底部 C 的仰角为 15，则天文台 BC 的高为( ) A20 m B30 m22 C20 m D30 m33 答案 B 解析 由题图，可得B45，BAC30，故 BC30(m) ACsinBAC sinB 60sin 30 sin 45 2 3如图，某人向正东方向走了 x 千米，然后向右转 120，再朝新方向走了 3 千米，结果他 离出发点恰好 千米，那么 x 的值是 13 答案 4 解析 由余弦定理，得 x293
13、x13， 整理得 x23x40，解得 x4(舍负) 4如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测出四边形 ABCD 各 边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D 四点共圆，则 AC 的 长为 km. 答案 7 解析 因为 A，B，C，D 四点共圆，所以 DB. 在ABC 和ADC 中， 由余弦定理可得 8252285cos(D) 3252235cos D， 整理得 cos D ， 1 2 代入得 AC2325223549，故 AC7. ( 1 2) 1测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题 2正弦、余弦定理在
14、实际测量中的应用的一般步骤 (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一 个解斜三角形的数学模型 (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 一、选择题 1要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在 D 点测得 塔顶 A 的仰角 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为( ) A10 m B20 m2 C20 m D40 m3 答案 D 解析
15、设电视塔的高度为x m， 则BCx， BDx.在BCD中， 由余弦定理得3x2x24023 240xcos 120，即 x220x8000，解得 x20(舍去)或 x40. 故电视塔的高度为 40 m. 2如图，在河岸 AC 测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( ) Aa，c， Bb，c， Cc，a， Db， 答案 D 3 甲骑电动车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶， 在点 A 处望见电视塔 S 在电动车 的北偏东 30方向上， 15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上， 则电动车 在点 B 时与电视塔 S 的距离是 ( ) A6 km B3
16、km C3 km D3 km32 答案 C 解析 由题意知，AB24 6(km)，BAS30，ASB753045. 1 4 由正弦定理，得 BS3(km) ABsinBAS sinASB 6sin 30 sin 45 2 4已知海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，C 岛临近陆地，若从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的 视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75视角，则 B 岛与 C 岛之间的距离是( ) A10 海里 B. 海里3 106 3 C5 海里 D5 海里26 答案 D 解析 如图所示， C180607545，AB10. 由正弦定理得，所以 BC5，故选 D. 10 sin
17、 45 BC sin 60 6 5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形， 如图， 测得 AC 的长度为 4 m， A30， 则其跨度 AB 的长为( ) A12 m B8 m C3 m D4 m33 答案 D 解析 由题意知，AB30， 所以C1803030120， 由正弦定理，得， AB sin C AC sin B 即 AB4. ACsin C sin B 4sin 120 sin 30 3 6.如图，甲、乙二人同时从点 A 出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东 30方向走当乙走了 2 km 到达 B 点时，甲走到 C 点，此时两人相距 km，则甲走的路程 AC 等于( )3 A2 km B2
18、km3 C. km D1 km3 答案 D 解析 依题意知 BC2AB2AC22ABACcosBAC， 即 322AC222ACcos 60， AC22AC10. 解得 AC1. 7.如图所示，D，C，B 在地平面同一直线上，DC10 m，从 D，C 两地测得 A 点的仰角分别 为 30和 45，则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A10 m B5 m3 C5(1) m D5(1) m33 答案 D 解析 方法一 设 ABx m，则 BCx m. BD(10x)m. tanADB. AB DB x 10x 3 3 解得 x5(1) m.3 A 点离地面的高 AB 等于 5(1) m.3 方
19、法二 ACB45，ACD135， CAD1801353015. 由正弦定理，得 ACsin ADC CD sinCAD sin 30 . 10 sin 15 20 62 ABACsin 455(1)m.3 二、填空题 8一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15，这时船与灯塔间的距离为 km. 答案 302 解析 如图所示， 在ABC 中，BAC30，ACB105，则ABC45， AC60 km，根据正弦定理，得 BC30(km) ACsinBAC sinABC 60sin 30 sin
20、 45 2 9一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10 cm 捕捉到另一 只小虫，这时它向右转 135爬行回它的出发点，则 x cm. 答案 10 6 3 解析 如图所示， 设蜘蛛原来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到 B 点， 则在AOB 中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知 x (cm) ABsinABO sinAOB 10 sin 45 sin 60 106 3 三、解答题 10.如图所示， A， B是水平面上的两个点， 相距800 m， 在A点测得山顶C的仰角为45， BAD 120，又在 B 点测得ABD45
21、，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD. 解 由于 CD平面 ABD，CAD45，所以 CDAD. 因此只需在ABD 中求出 AD 即可， 在ABD 中，BDA1804512015， 由， AB sin 15 AD sin 45 得 AD800(1)(m) ABsin 45 sin 15 800 2 2 62 4 3 即山的高度为 800(1) m.3 11.如图所示，在地面上共线的三点 A，B，C 处测得一建筑物的仰角分别为 30，45，60， 且 ABBC60 m，求建筑物的高度 解 设建筑物的高度为 h，由题图知， PA2h，PBh，PCh，2 23 3 在PBA 和PBC
22、 中，分别由余弦定理， 得 cosPBA， 6022h24h2 2 60 2h cosPBC. 6022h24 3h 2 2 60 2h PBAPBC180， cosPBAcosPBC0. 由，解得 h30或 h30(舍去)，即建筑物的高度为 30 m.666 12.一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由 A 点开始做匀速直线运动，到达点 B 时，发现 足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动，如图所示，已知 AB4 2 dm，AD17 dm，BAD45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何 处截住足球？ 解 设机器人最快可在点 C 处截住足球，点
23、C 在线段 AD 上，连接 BC，如图所示， 设 BCx dm， 由题意知 CD2x dm，ACADCD(172x)dm. 在ABC 中， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos A， 即 x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，22 解得 x15，x2. 37 3 所以 AC172x7(dm)或 AC(dm)(舍去) 23 3 所以该机器人最快可在线段 AD 上离 A 点 7 dm 的点 C 处截住足球 13某人在 M 汽车站的北偏西 20的方向上的 A 处，观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶公路的走向是 M 站的北偏东 40.开始时，汽车到 A 的距离为
24、 31 千米，汽车前进 20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米则汽车到达 M 汽车站还需行驶 千米 答案 15 解析 由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处 在ABC 中，AC31，BC20，AB21， 由余弦定理，得 cos C， AC2BC2AB2 2AC BC 23 31 则 sin2C1cos2C，sin C， 432 312 123 31 所以 sinMACsin(120C) sin 120cos Ccos 120sin C. 353 62 在MAC 中，由正弦定理， 得 MC35. ACsinMAC sinAMC 31 3 2 353 62 从而有 MBM
25、CBC15. 故汽车到达 M 汽车站还需行驶 15 千米 14.在某次地震时， 震中 A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市 B， C， D.已知 B， C 两市相距 20 km，C，D 相距 34 km，C 市在 B，D 两市之间，如图所示，某时刻 C 市感到 地表震动，8 s 后 B 市感到地表震动，20 s 后 D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速 度为每秒 1.5 km.求震中 A 到 B，C，D 三市的距离 解 在ABC 中，由题意得 ABAC1.5812(km) 在ACD 中，由题意得 ADAC1.52030(km) 设 ACx km，AB(12x)km，AD(30x)km. 在ABC 中，cosACBx 240012x2 2 20 x ， 25624x 40x 323x 5x 在ACD 中，cosACDx 21 15630x2 68x . 25660x 68x 6415x 17x B，C，D 在一条直线上， 6415x 17x 323x 5x 即，解得 x. 6415x 17 3x32 5 48 7 AB km，AD km. 132 7 258 7 即震中 A 到 B，C，D 三市的距离分别为 km， km， km. 132 7 48 7 258 7