《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式 Word版含解析.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3 等差数列的前 等差数列的前 n 项和项和 第第 1 课时 等差数列的前课时 等差数列的前 n 项和公式项和公式 学习目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量 a1， d， n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用 an与 Sn的关系求 an. 知识点一 等差数列的前 n 项和 1定义：对于数列an，一般地，称 a1a2a3an为数列an的前 n 项和 2表示：常用符号 Sn表示，即 Sna1a2a3an. 知识点二 等差数列的前 n 项和公式 已知量首项，末项与项数首项，公差与项数 求和公式Snna 1an 2 Snna1d nn
2、1 2 知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二 1在等差数列an中，ana1(n1)d，Sn或 Snna1d. na1an 2 nn1 2 两个公式共涉及 a1，d，n，an及 Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数， 项和前 n 项和 2依据方程的思想，在等差数列前 n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三 求二” 知识点四 数列中 an与 Sn的关系 对于一般数列an，设其前 n 项和为 Sn， 则有 anError! 特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用 (2)若在由anSnSn1(n2)求得的通项公式中， 令n1求得a1与利用a1S1求得的a1相同，
3、 则说明anSnSn1(n2)所得通项公式也适合n1的情况， 数列的通项公式用anSnSn1 表示 若在由 anSnSn1(n2)求得的通项公式中， 令 n1 求得的 a1与利用 a1S1求得的 a1不相 同，则说明 anSnSn1(n2)所得通项公式不适合 n1 的情况，数列的通项公式采用分段 形式 1若数列an的前 n 项和为 Sn，则 S1a1.( ) 2若数列an的前 n 项和为 Sn，则 anSnSn1，nN*.( ) 3等差数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加( ) 4123100.( ) 100 1100 2 题型一 等差数列前 n 项和公式的基本运算 例 1 在等差数列an
4、中： (1)已知 a5a1058，a4a950，求 S10； (2)已知 S742，Sn510，an345，求 n. 解 (1)方法一 由已知条件得 Error!解得Error! S1010a1d1034210. 10 101 2 10 9 2 方法二 由已知条件得Error! a1a1042， S10542210. 10a1a10 2 (2)S77a442， 7a1a7 2 a46. Sn510. na1an 2 na4an3 2 n645 2 n20. 反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时， 要注意方程思想和整体思想的运用 (2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1，
5、d，n，an，Sn，知其三能求其二 跟踪训练 1 在等差数列an中，已知 d2，an11，Sn35，求 a1和 n. 解 由Error!得Error! 解方程组得Error!或Error! 题型二 由 Sn与 an的关系求 an 例 2 已知数列an的前 n 项和为 Snn2 n， 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列 1 2 吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解 根据 Sna1a2an1an可知 Sn1a1a2an1(n1，nN*)， 当 n1 时， anSnSn1n2 n 1 2 n1 21 2n1 2n ， 1 2 当 n1 时，a1S112 1 ，也满足式 1 2 3 2 数
6、列an的通项公式为 an2n ，nN*. 1 2 an1an2(n1) 2， 1 2 (2n 1 2) 故数列an是以 为首项，2 为公差的等差数列 3 2 引申探究 若将本例中前 n 项和改为 Snn2 n1，求通项公式 1 2 解 当 n2 时，anSnSn1 (n 21 2n1) n1 21 2n11 2n . 1 2 当 n1 时，a1S112 1 不符合式 1 2 5 2 anError! 反思感悟 已知前n项和Sn求通项an， 先由n1时， a1S1求得a1， 再由n2时， anSnSn1 求得 an，最后验证 a1是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示 跟
7、踪训练 2 已知数列an的前 n 项和 Sn3n，求 an. 解 当 n1 时，a1S13； 当 n2 时，anSnSn13n3n123n1. 当 n1 时，代入 an23n1得 a123. anError! 题型三 等差数列在实际生活中的应用 例 3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后每 月的这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算分 期付款的第一个月， 则分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后， 买这件家电实 际花费多少钱？ 解 设每次交款数额依次为 a1，a2，a20，
8、则 a1501 0001%60， a250(1 00050)1%59.5， a1050(1 000950)1%55.5， 即第 10 个月应付款 55.5 元 由于an是以 60 为首项，以0.5 为公差的等差数列， 所以有 S20201 105， 606019 0.5 2 即全部付清后实际付款 1 1051501 255(元) 反思感悟 建立等差数列的模型时， 要根据题意找准首项、 公差和项数或者首项、 末项和项数 跟踪训练 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后 每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后
9、几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟 走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设 n 分钟后两人第 1 次相遇，由题意， 得 2n5n70，整理得 n213n1400. nn1 2 解得 n7，n20(舍去) 所以第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟 (2)设 n 分钟后第 2 次相遇，由题意， 得 2n5n370， nn1 2 整理得 n213n4200. 解得 n15，n28(舍去) 所以第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 1已知等差数列an满足 a11，am99，d2，则其前 m 项和 Sm等
10、于( ) A2 300 B2 400 C2 600 D2 500 答案 D 解析 由 ama1(m1)d，得 991(m1)2， 解得 m50，所以 S5050122 500. 50 49 2 2记等差数列的前 n 项和为 Sn，若 S24，S420，则该数列的公差 d 等于( ) A2 B3 C6 D7 答案 B 解析 方法一 由Error!解得 d3. 方法二 由 S4S2a3a4a12da22dS24d，所以 20444d，解得 d3. 3在一个等差数列中，已知 a1010，则 S19 . 答案 190 解析 S19 19a1a19 2 19a10a10 2 19a10 1910190.
11、 4已知数列an是等差数列，Sn是它的前 n 项和若 S420，a48，则 S8 . 答案 72 解析 设an的公差为 d，则由Error! 解得 a1d2 S882272. 8 7 2 5已知数列an满足 a12a2nann(n1)(n2)，则 an . 答案 3(n1)(nN*) 解析 由 a12a2nann(n1)(n2)， 当 n2，nN*时，得 a12a2(n1)an1(n1)n(n1)， ，得 nann(n1)(n2)(n1)n(n1) n(n1)(n2)(n1)3n(n1)， an3(n1)(n2，nN*) 又当 n1 时，a11236 也适合上式， an3(n1)，nN*. 1
12、求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到 2等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an，Sn，n，d 五个量若已知其中三个量，通 过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的 运用： 若mnpq， 则amanapaq(n， m， p， qN*)； 若mn2p， 则aman2ap(m， n， pN*) 3由 Sn与 an的关系求 an主要使用 anError! 一、选择题 1在20 与 40 之间插入 8 个数，使这 10 个数成等差数列，则这 10 个数的和为( ) A200 B100 C90 D70 答案 B 解析 S1
13、0100. 10 2040 2 2在等差数列an中，若 a2a88，则该数列的前 9 项和 S9等于( ) A18 B27 C36 D45 答案 C 解析 S9 (a1a9) (a2a8)36. 9 2 9 2 3已知数列an中，a11，anan1 (n2，nN*)，则数列an的前 9 项和等于( ) 1 2 A27 B. C45 D9 63 2 答案 A 解析 由已知数列an是以 1 为首项， 以 为公差的等差数列， S991 918 1 2 9 8 2 1 2 27. 4在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前 100 项 的和为( ) A10
14、 000 B8 000 C9 000 D11 000 答案 A 解析 由已知得anbn为等差数列，故其前 100 项的和为 S100100a 1b1a100b100 2 50(2575100)10 000. 5在等差数列an中，若 S104S5，则等于( ) a1 d A. B2 C. D4 1 2 1 4 答案 A 解析 由题意得 10a1 109d4， 1 2 (5a 11 2 5 4d) 10a145d20a140d，10a15d， . a1 d 1 2 6在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为( ) A765 B665 C763 D663 答案 B 解析 a12，
15、d7,2(n1)7200. 当 n19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根 10若等差数列an的前 n 项和为 SnAn2Bn，则该数列的公差为 考点 等差数列前 n 项和性质运用 题点 等差数列前 n 项和性质其他问题 答案 2A 11已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若a1a200，且 A，B，C 三点共线(该直OB OA OC 线不过原点 O)，则 S200 . 答案 100 解 因为 A，B，C 三点共线(该直线不过原点 O)， 所以 a1a2001，所以 S200100. 200a1a200 2 三、解答题 12在等差数列an中， (1)已知 a610，S55，求 a8； (2
16、)已知 a2a4，求 S5. 48 5 解 (1)方法一 a610，S55， Error!解得Error! a8a62d16. 方法二 S6S5a615， 15，即 3(a110)15. 6a1a6 2 a15，d3. a6a1 5 a8a62d16. (2)方法一 a2a4a1da13d， 48 5 a12d. 24 5 S55a110d5(a12d)524. 24 5 方法二 a2a4a1a5，a1a5， 48 5 S5 24. 5a1a5 2 5 2 48 5 13已知an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，且 S77，S1575，求数列的前 n Sn n 项和 Tn. 解 设等差
17、数列an的公差为 d，则 Snna1d. nn1 2 S77，S1575， Error! 即Error!解得Error! a1d2， Sn n n1 2 n1 2 ， Sn1 n1 Sn n 1 2 数列是等差数列，且其首项为2，公差为 . Sn n 1 2 Tn n2 n. 1 4 9 4 14(2018烟台检测)一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为 120，公差为 5， 那么这个多边形的边数 n 等于( ) A12 B16 C9 D16 或 9 答案 C 解析 an1205(n1)5n115，an0. a3a4a2a522，又 a3a4117， a3，a4是方程 x222x1170 的两个根 又公差 d0，a3a4，a39，a413. Error!Error!an4n3，nN*. (2)由(1)知，Snn142n2n， nn1 2 bn. Sn nc 2n2n nc b1，b2，b3. 1 1c 6 2c 15 3c bn是等差数列，2b2b1b3， 2c2c0，c (c0 舍去) 1 2 经检验，c 符合题意，c . 1 2 1 2