2020版数学人教B版必修3学案：第一章 1.1.1 算法的概念 Word版含解析.pdf

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1、1.1 算法与程序框图 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 算法的概念 学习目标 1.了解算法的含义.2.了解算法的思想.3.会用自然语言描述一些具体问题的算法 知识点一 算法的概念 思考 1 有一碗酱油，一碗醋和一个空碗现要把两碗盛的物品交换过来，试用自然语言表 述你的操作办法 答案 先把醋倒入空碗， 再把酱油倒入原来盛醋的碗， 最后把倒入空碗中的醋倒入原来盛酱 油的碗，就完成了交换 思考 2 某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步第一步：把 冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上这是一个算法吗？ 答案 是 梳理 算法概念 12 世纪的算法是指用阿拉

2、伯数字进行算术运算的过程 数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题 知识点二 算法的特征 思考 算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？ 答案 (1)它们之间是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系 (2)要设计出解决一类问题的算法，可以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路 进行设计，而此类问题中的任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决 梳理 算法的五个特征 (1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止 (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到

3、确定的结果，而不是 模棱两可的 (3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有 完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步 骤序列 (4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题 (5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法 特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征 知识点三 算法的设计 思考 自然语言是唯一描述算法的语言吗？ 答案 不是描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语 言等 梳理 (1)设计算法的目的 设计算法的目的实际

4、上是寻求一类问题的解决方法， 它可以通过计算机来完成 设计算法的 关键是把过程分解成若干个明确的步骤， 然后用计算机能够接受的 “语言” 准确地描述出来， 从而达到让计算机执行的目的 (2)设计算法的要求 写出的算法必须能解决一类问题 要使算法尽量简单、步骤尽量少 要保证算法步骤有效，且计算机能够执行 1算法是解决一个问题的方法( ) 2一个算法可以产生不确定的结果( ) 3算法的步骤必须是明确的、有限的( ) 题型一 算法概念的理解 例 1 下列关于算法的说法，正确的个数有( ) 求解某一类问题的算法是唯一的； 算法必须在有限步操作之后停止； 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

5、 算法执行后一定产生确定的结果 A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 由于算法具有有限性、确定性等特点，因而正确，而解决某类问题的算法不一 定唯一，从而错 反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法， 它通常用来解决某一个或某一类问 题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想 跟踪训练 1 下列描述不能看作算法的是( ) A做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤 B洗衣机的使用说明书 C解方程 2x2x10 D利用公式 Sr2，计算半径为 4 的圆的面积，就是计算 42 答案 C 解析 A，B，D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而 C 只描述了一个事实，没说 明怎么解

6、决问题，不是算法 题型二 算法的阅读理解 例 2 下面算法要解决的问题是_ S1 输入三个数，并分别用 a，b，c 表示 S2 比较 a 与 b 的大小，如果 ab. 第三步运行后 ac. 第四步运行后 bc，所以 abc. 第五步运行后，显示 a，b，c 的值，且从大到小排列 反思与感悟 一个算法的作用往往并不显而易见， 这需要我们结合具体数值去执行一下才知道 跟踪训练 2 下面给出了一个问题的算法： S1 输入 a. S2 若 a4，则执行第三步，否则执行第四步 S3 输出 2a1. S4 输出 a22a3. 这个算法解决的问题是_ 答案 求函数 f(x)Error!Error!当 xa

7、时的函数值 f(a) 题型三 算法的设计与应用 命题角度1 直接应用数学公式设计算法 例 3 有一个底面半径为 3，母线为 5 的圆锥，写出求该圆锥体积的算法 解 如图，先给 r，l 赋值，计算 h，再根据圆锥体积公式 V r2h 计算 V，然后输出结果 1 3 S1 令 r3，l5. S2 计算 h.l2r2 S3 计算 V r2h. 1 3 S4 输出运算结果 反思与感悟 利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考 虑未知量的求法 跟踪训练 3 已知一个等边三角形的周长为 a，求这个三角形的面积设计一个算法解决这 个问题 解 S1 输入 a 的值 S2 计算 l

8、的值 a 3 S3 计算 Sl2的值 3 4 S4 输出 S 的值 命题角度2 函数求值问题的算法设计 例 4 已知函数 f(x)Error!Error!设计一个算法求函数的任一函数值 解 S1 输入 xa. S2 若 a2，则执行第三步；若 a2，则执行第四步 S3 输出 f(a)a2a1. S4 输出 f(a)a1. 反思与感悟 首先结合函数的表达式的特征，然后选择恰当的算法语言进行描述 跟踪训练 4 已知函数 f(x)|x2|1, 设计一个算法求函数的任一函数值 解 S1 输入 xa. S2 若 a2，则执行第三步，否则执行第四步 S3 输出 f(a)3a. S4 输出 f(a)a1.

9、命题角度3 非数值性计算问题的算法 例 5 所谓正整数 p 为素数是指：p 的所有约数只有 1 和 p.例如，35 不是素数，因为 35 的 约数除了 1,35 外，还有 5 与 7；29 是素数，因为 29 的约数只有 1 和 29.试设计一个能够判 断一个任意正整数 n(n1)是否为素数的算法 解 算法如下： S1 给出任意一个正整数 n(n1) S2 若 n2，则输出“2 是素数” ，判断结束 S3 令 m1. S4 mm1. S5 如果 mn，则输出“n 是素数” ，判断结束 S6 判断 m 能否整除 n， 如果能整除，则输出“n 不是素数” ，判断结束； 如果不能整除，则转第四步 反

10、思与感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法 (2)借助有关变量或参数对算法加以表述 (3)将解决问题的过程划分为若干步骤 (4)用简练的语言将这个步骤表示出来 跟踪训练 5 判断一个大于 2 的整数是否为质数的算法步骤如何设计？ 解 S1 给定大于 2 的整数 n. S2 令 i2. S3 用 n 除以 i，得到余数 r. S4 判断“r0”是否成立若成立，则 n 不是质数，结束算法；否则，将 i 的值增加 1， 仍用 i 表示 S5 判断“i(n1)”是否成立若成立，则 n 是质数，结束算法；否则，返回第三步 1下列关于算法的说法正确

11、的是( ) A一个算法的步骤是可逆的 B描述算法可以有不同的方式 C算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列 只能解决当前问题 D算法只能用一种方式显示 答案 B 解析 由算法的定义知 A，C，D 错 2计算下列各式中 S 的值，能设计算法求解的是( ) S ； 1 2 1 4 1 8 1 2100 S ； 1 2 1 4 1 8 1 2100 S (n1，nN) 1 2 1 4 1 8 1 2n A B C D 答案 B 解析 由算法的有限性知不能设计算法求解，都能通过有限步输出确定结果 3已知直角三角形两直角边长为 a，b，求斜边长 c 的一个算法分下列

12、三步： (1)计算 c；a2b2 (2)输入直角三角形两直角边长 a，b 的值； (3)输出斜边长 c 的值 其中正确的顺序是_ 答案 (2)(1)(3) 解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、 计算 4求过 P(a1，b1)，Q(a2，b2)两点的直线的斜率有如下的算法，请在横线上填出适当步骤 S1 令 x1a1，y1b1，x2a2，y2b2. S2 判断“x1x2”是否成立若成立，则输出“斜率不存在” ；否则，执行第三步 S3 _. S4 输出 k. 答案 计算斜率 ky 2y1 x2x1 解析 由题意可知，“第三步”应根据直线斜率公式计算斜率 k

13、 的值 5写出解二元一次方程组Error!Error!的算法 解 S1 2得 7x1. S2 解得 x . 1 7 S3 32 得 7y5. S4 解得 y . 5 7 S5 得到方程组的解为Error!Error! 1算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性 2算法设计的要求： (1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似 解等)，并且能够重复使用 (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少 (3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混 不清，而且在有限步后能得到结果 一、选择题 1下列可以看成算法的是( )

14、A学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当 的练习题 B今天餐厅的饭真好吃 C这道数学题难做 D方程 2x2x10 无实数根 答案 A 解析 A 是学习数学的一个步骤，所以是算法 2下面是判断一元二次方程 ax2bxc0 是否有实数根的算法步骤对该算法步骤排序 正确的是( ) 输入一元二次方程的系数：a，b，c. 计算 b24ac 的值 判断 0 是否成立若 0 成立，则输出“方程有实数根” ； 否则输出“方程无实数根” ， 结束算法 A B C D 答案 A 解析 根据该算法的构成，容易得到答案为 A. 3在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是(

15、) A这个算法可以求所有的零点 B这个算法可以求任何方程的零点 C这个算法能求所有零点的近似解 D这个算法可以求变号零点的近似解 答案 D 解析 二分法的理论依据是函数的零点存在性定理 它解决的是求变号零点的问题， 并不能 求所有零点的近似值 4有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水 瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为( ) A2 B3 C4 D5 答案 B 解析 S1 将蓝墨水装到一个空墨水瓶中； S2 将黑墨水装到黑墨水瓶中； S3 将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选 B. 5已知一个算法： (1)给出

16、三个数 x、y、z； (2)计算 Mxyz； (3)计算 N M； 1 3 (4)得出每次计算结果 则上述算法是( ) A求和 B求余数 C求平均数 D先求和再求平均数 答案 D 解析 由算法过程可知，M 为三数之和，N 为这三数的平均数，故选 D. 6下面是对高斯消去法的理解： 它是解方程组的一种方法； 它可以用来解多元一次方程组； 用它来解方程组时，有些方程组的答案可能不准确 其中正确的是( ) A B C D 答案 A 解析 只有符合题意 7下列各式中 T 的值不能用算法求解的是( ) AT122232421002 BT 1 2 1 3 1 4 1 5 1 50 CT12345 DT12

17、345699100 答案 C 解析 根据算法的有限性知 C 不能用算法求解 8对于算法： S1 输入 n. S2 判断 n 是否等于 2，若 n2，则 n 满足条件；若 n2，则执行第三步 S3 依次从 2 到(n1)检验能不能被 n 整除，若不能被 n 整除，则执行第四步 ； 若能整除 n， 则结束算法 S4 输出 n. 满足条件的 n 是( ) A质数 B奇数 C偶数 D约数 答案 A 解析 此题首先要理解质数，只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数叫质数.2 是最小的质数， 这个算法通过对 2 到(n1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数 二、填空题 9下面是解决一个问题的

18、算法： S1 输入 x. S2 若 x6，转到 S3；否则转到 S4. S3 输出 3x2. S4 输出 x22x4. 当输入 x 的值为_时，输出的数值最小，且最小值为_ 答案 1 3 解析 所给算法解决的是求分段函数 f(x)Error!Error!的函数值的问题当 x6 时，f(x)3x 236216；当 x6 时，f(x)x22x4(x1)233.所以 f(x)min3，此时 x1， 即当输入 x 的值为 1 时，输出的数值最小，且最小值是 3. 10一个算法的步骤如下： S1 令 i0，S2. S2 如果 i15，则执行 S3，否则执行 S6. S3 计算 Si 并将结果代替 S.

19、S4 用 i2 的值代替 i. S5 转去执行 S2. S6 输出 S. 运行该算法输出的结果 S_. 答案 58 解析 据题意知，S2246810121458. 11下面给出了解决问题的算法： S1 输入 x. S2 若 x1，则 y2x1，否则 yx23. S3 输出 y. 当输入的 x 值为_时，输入值与输出值相等 答案 1 解析 该算法的作用是求分段函数 yError!Error!的函数值解Error!Error!得 x1；Error!Error!无解 12给出下列算法： S1 输入 x 的值 S2 当 x4 时，计算 yx2；否则执行下一步 S3 计算 y.4x S4 输出 y. 当

20、输入 x0 时，输出 y_. 答案 2 解析 04，执行第三步，y2.40 三、解答题 13某商场举办优惠促销活动若购物金额在 800 元以上(不含 800 元)，打 7 折；若购物金 额在 400 元以上(不含 400 元)，800 元以下(含 800 元)，打 8 折；否则，不打折请为商场 收银员设计一个算法，要求输入购物金额 x，输出实际交款额 y. 解 算法步骤如下： S1 输入购物金额 x(x0) S2 判断“x800”是否成立，若成立，则 y0.7x，转第四步；否则，执行第三步 S3 判断“400x800”是否成立，若成立，则 y0.8x，转第四步；否则，yx. S4 输出 y，结

21、束算法 四、探究与拓展 14下面是求 15 和 18 的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是_ S1 先将 15 分解素因数：1535. S2 然后将 18 分解素因数：18322. S3 确定它们的所有素因数：2,3,5. S4 计算出它们的最小公倍数：23530. 答案 第四步 解析 素因数 2,3,5 的最高指数分别是 1,2,1，算出它们的最小公倍数为 232590. 15如图所示，汉诺塔问题是指有 3 根杆子 A，B，C，杆子上有若干碟子，把所有的碟子 从 B 杆移动到 A 杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面把 B 杆 上的 3 个碟子全部移动到 A 杆上，最少需要移动的次数是_ 答案 7 解析 直接进行分析， 将最小的碟子命名为， 中间的碟子命名为， 最大的碟子命名为， 进行如下移动：A，C，C，A，B，A，A，此时按要求全部 放好，移动 7 次