2020版数学人教B版必修3学案：第三章 3.1.3 频率与概率 Word版含解析.pdf

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1、3.1.3 频率与概率 频率与概率 学习目标 1.在具体情景中，了解随机事件发生的频率的稳定性与概率的意义.2.了解频率 与概率的区别与联系 知识点 频率与概率 思考 同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗？ 答案 概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量， 是一个确定 的数，是客观存在的，与每次试验无关 ； 同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生 的概率都是一样的 梳理 (1)定义 ： 在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率 ，当 n 很大时，总是在某个 m n 常数附近摆动，随着 n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事

2、件 A 的概率 (2)记法：P(A) (3)范围：0P(A)1. (4)频率与概率的关系：概率是可以通过频率来“测量”的，或者说频率是概率的一个近 似概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小 1不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1.( ) 2小概率事件就是不可能发生的事件( ) 3某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化( ) 题型一 概率的定义 例 1 解释下列概率的含义： (1)某厂生产产品合格的概率为 0.9； (2)一次抽奖活动中，中奖的概率为 0.2. 解 (1)说明该厂产品合格的可能性为 90%，也就是说，100 件该厂的产品中大约有 90 件是 合格品 (2)说明参加

3、抽奖的人中有 20%的人可能中奖，也就是说，若有 100 人参加抽奖，约有 20 人 中奖 反思与感悟 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性” 是大量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的 跟踪训练 1 任取一个由 50 名同学组成的班级(称为一个标准班)， 至少有两位同学的生日在 同一天(记为事件 A)的概率是 0.97.据此我们知道( ) A取定一个标准班，A 发生的可能性是 97% B取定一个标准班，A 发生的概率大概是 0.97 C任意取定 10 000 个标准班，其中大约 9 700 个班 A 发生 D随着抽取的标准班数 n 不断增

4、大，A 发生的频率逐渐稳定在 0.97，在它附近摆动 答案 D 解析 对于给定的一个标准班来说，A 发生的可能性不是 0 就是 1，故 A 与 B 均不对 ； 对于 任意取定 10 000 个标准班，在极端情况下，事件 A 有可能都不发生，故 C 也不对，请注意， 本题中 A，B，C 选项中错误的关键原因是“取定”这两个字，表示“明确了结果，结果是 确定的” 题型二 概率与频率的关系及求法 例 2 下面是某批乒乓球质量检查结果表： 抽取球数501002005001 0002 000 优等品数45921944709541 902 优等品出现的频率 (1)在上表中填上优等品出现的频率； (2)估计

5、该批乒乓球优等品的概率是多少？ 解 (1)如下表所示： 抽取球数501002005001 0002 000 优等品数45921944709541 902 优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951 (2)从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是 0.95. 引申探究 本例中若抽取乒乓球的数量为 1 700 只，则优等品的数量大约为多少？ 解 由优等品的概率为 0.95，则抽取 1 700 只乒乓球时，优等品数量为 1 7000.951 615. 反思与感悟 如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次，则当试验的次数 n 很大时，可以 将事件 A 发生的频率 作

6、为事件 A 的概率的近似值 m n 跟踪训练 2 某人将一枚硬币连掷 10 次，正面朝上的情况出现了 8 次，若用 A 表示“正面 朝上”这一事件，则 A 的( ) A概率为 B频率为 4 5 4 5 C频率为 8 D概率接近于 8 答案 B 解析 做 n 次随机试验，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的频率为 .如果多次进行试验， m n 事件 A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件 A 的概率故 为事 8 10 4 5 件 A 的频率 1抛掷一枚质地均匀的硬币 1 000 次，那么第 999 次出现正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. 1 999 1 1

7、 000 999 1 000 1 2 答案 D 解析 抛掷一枚质地均匀的硬币 1 000 次，每一次出现正面朝上的概率均为 . 1 2 2 某医院治疗一种疾病的治愈率为 ， 前 4 位病人都未治愈， 则第 5 位病人的治愈率为( ) 1 5 A1 B. C. D0 1 5 4 5 答案 B 解析 治愈率为 ， 表明每位病人被治愈的概率均为 ， 并不是 5 人中必有 1 人被治愈 故选 B. 1 5 1 5 3下列说法正确的是_(填序号) 频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； 做 n 次随机试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 就是事件的概率； m n 百分

8、率是频率，不是概率； 频率是不能脱离具体的 n 次试验的实验值， 而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理 论值； 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 答案 解析 由频率与概率的意义知，正确；由频率与概率之间的关系知，不正确；，正 确；不正确，百分率通常是指概率 4从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5 g501

9、.5 g 之间的概率约为_ 答案 0.25 解析 袋装食盐质量在 497.5 g501.5 g 之间的共有 5 袋，所以其概率约为0.25. 5 20 5某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下 方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作 2 点，反面向上记作 1 点，两枚硬币的点数和是几， 就选几班，你认为这种方法公平吗？ 解 两枚硬币的点数和可列下表： 一枚 另一枚 1 点2 点 1 点23 2 点34 很明显，试验的结果共有 4 种，而点数 3 占了两种，点数 2 和 4 各占一种，因此，每个班被 选中的概率是不同的，这种选法是不公平的 1 概率意义下的 “可

10、能性” 是大量随机现象的客观规律， 与我们平时所说的 “可能” “估计” 是不同的， 也就是说， 单独一次结果的不确定性与积累结果的规律性， 才是概率意义下的 “可 能性” ，而日常生活中的“可能”“估计”侧重于某次的偶然性 2概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化 而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率 一、选择题 1从存放号码分别为 1,2，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片， 并记下号码，统计如下： 卡片号码12345678910 取到的次数138576131810119 则取到的号码为奇数的频率是( ) A0.53

11、 B0.5 C0.47 D0.37 答案 A 解析 0.53. 13561811 100 2下列结论正确的是( ) A设事件 A 的概率为 P(A)，则必有 0P(A)1 B事件 A 的概率 P(A)0.999，则事件 A 是必然事件 C用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人进行治疗，结果有 380 人有明显的疗效现在胃 溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为 76% D某奖券的中奖率为 50%，则某人购买此奖券 10 张，一定有 5 张中奖 答案 C 解析 A 项不正确，因为 0P(A)1；若事件 A 是必然事件，则 P(A)1，故 B 项不正确； 对于 D 项，奖券的中奖率为 5

12、0%，若某人购买此奖券 10 张，则可能会有 5 张中奖，所以 D 项不正确故选 C. 3 随着互联网的普及， 网上购物已逐渐成为消费时尚， 为了解消费者对网上购物的满意情况， 某公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结 果如下表： 满意情况不满意比较满意满意非常满意 人数200n2 1001 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率 是( ) A. B. C. D. 7 15 2 5 11 15 13 15 答案 C 解析 由题意得，4 5002001 0003 300，所以随机调查的消费者中对网

13、上购物“比较 满意”或“满意”的概率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比 3 300 4 500 11 15 较满意”或“满意”的概率为.故选 C. 11 15 4先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事 件的概率最大( ) A至少一枚硬币正面向上 B只有一枚硬币正面向上 C两枚硬币都是正面向上 D两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上 答案 A 解析 抛掷两枚梗币，其结果有“正正” ，“正反” ，“反正” ，“反反”四种情况至少有 一枚硬币正面向上或至少有一枚硬币反面向上，均包括三种情况，其概率最大 5每道选择题有 4 个选项，其中只有 1 个

14、选项是正确的某次考试共有 12 道选择题，某人 说 ： “每个选项正确的概率是 ，我每题都选择第一个选项，则一定有 3 个题选择结果正确” 1 4 这句话( ) A正确 B错误 C不一定 D无法解释 答案 B 解析 解答一个选择题作为一次试验， 每次选择的正确与否都是随机的 即选择正确的概率 是 .做 12 道选择题，即进行了 12 次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的选择结果 1 4 都正确，但有 3 题选择结果正确的可能性比较大同时也有可能都选错，亦或有 2 题，4 题， 甚至 12 个题都选择正确 6甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( ) A抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜

15、，向上的点数为偶数则乙胜 B同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于 7 则甲胜，否则乙胜 C从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 答案 B 解析 对于 A，C，D，甲胜，乙胜的概率都是 ，游戏是公平的；对于 B，点数之和大于 7 1 2 和点数之和小于 7 的概率相等， 但点数之和等于 7 时乙胜， 所以甲胜的概率小， 游戏不公平 7从一批电视机中随机抽出 10 台进行检验，其中有 1 台次品，则关于这批电视机，下列说 法正确的是( ) A次品率小于 10% B次品率大于 10% C次品率等于 10%

16、D次品率接近 10% 答案 D 解析 抽出的样本中次品的频率为，即 10%，所以样本中次品率大约为 10%，所以总体 1 10 中次品率大约为 10%. 二、填空题 8某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为 80%，则下列解释： 明天本地有 80%的区域降雨，20%的区域不降雨； 明天本地有 80%的时间降雨，20%的时间不降雨； 明天本地降雨的机率是 80%. 其中正确的是_(填序号) 答案 解析 显然不正确， 因为 80%的概率是说降雨的概率， 而不是说 80%的区域降雨或 80% 的时间降雨 9将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概 率比为_ 答案

17、31 解析 将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形 ： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反) 至少出现一次正面向上有 3 种情形，两次均出现反面向上有 1 种情形，故答案为 31. 10利用简单随机抽样的方法抽取某校 200 名学生，其中戴眼镜的学生有 123 人，若在这个 学校随机调查一名学生，则他戴眼镜的概率约是_ 答案 0.615 解析 样本中的学生戴眼镜的频率为0.615，所以随机调查一名学生，他戴眼镜的概率 123 200 约为 0.615. 11 为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况， 从这个水库的不同位置捕捞出 n 条鱼， 将这 n 个样本分成若干组，若某组的频数和频率

18、分别为 30 和 0.25，则 n_. 答案 120 解析 据题意知 n0.2530，所以 n120. 三、解答题 12某制造商今年 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取 100 个进行检查，测得每个乒乓球的直 径(单位：mm)，将数据分组如下表： 分组频数频率 39.95,39.97)10 39.97,39.99)20 39.99,40.01)50 40.01,40.0320 合计100 (1)请将上表补充完整； (2)已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm， 试求这批乒乓球的直径误差不超过 0.03 mm 的概率 解 (1)频率分布表： 分组频数频率 39.95,39.97)100.1 39

19、.97,39.99)200.2 39.99,40.01)500.5 40.01,40.03200.2 合计1001.0 (2)标准尺寸是40.00 mm，且误差不超过0.03 mm，即直径落在39.97,40.03内由(1)中频率分布 表知，直径落在39.97,40.03内的频率为0.20.50.20.9，所以直径误差不超过0.03 mm 的概 率约为0.9. 13为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法 ： 先从水库中捕出一定数量的鱼，例 如 2 000 尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库经过适当的时间，让其和 水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如 50

20、0 尾，查看其中有记号的 鱼，设有 40 尾试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数 解 设水库中鱼的尾数为 n，从水库中任捕一尾，每尾鱼被捕的频率(代替概率)为，第 2 000 n 二次从水库中捕出500尾， 带有记号的鱼有40尾， 则带记号的鱼被捕的频率(代替概率)为， 40 500 由，得 n25 000. 2 000 n 40 500 所以水库中约有 25 000 尾 四、探究与拓展 14给出下列四个命题： 设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件是次品； 做 100 次抛硬币的试验，结果 51 次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； 51 100 随

21、机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； 抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果有 18 次，则出现 1 点的频率是. 9 50 其中正确命题有_(填序号) 答案 解析 错，次品率是指出现次品的可能性，从中任取 200 件，可能有 10 件次品，也可能 没有混淆了频率与概率的区别正确 15街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是 2,3,4,10,11,12 这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是 5,6,7,8,9 时，白方胜，这种游 戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？ 解 两枚骰子点数之和如下表： 123456 1234567 2345678 3456789 45678910 567891011 6789101112 其中点数之和是 2,3,4,10,11,12 这六种情况的共 12 种，概率是 ， 12 36 1 3 两枚骰子点数之和是 5,6,7,8,9 的情况共 24 种， 概率是 .所以这种游戏不公平，白方比较占便宜 24 36 2 3