《2020版数学人教B版必修3学案：第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版必修3学案：第二章 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 用样本的数字特征估计总体的数字特征 学习目标 1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均 数的概念， 会计算方差和标准差.3.进一步体会用样本估计总体的思想， 会用样本的数字特征 估计总体的数字特征 知识点一 众数、中位数、平均数 思考 1 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关， 它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息， 但 它的缺点是平均数受数据中极端值的影响较大 思考2 在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分
2、？ 答案 为了避免平均值受数据中个别极端值的影响， 增大它在估计总体时的可靠性， 故计算 评委打分时要去掉一个最高分和一个最低分 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数 (2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两 个数的平均数)叫做这组数据的中位数 (3)平均数：如果 n 个数 x1，x2，xn，那么 (x1x2xn)叫做这 n 个数的平均数x 1 n 知识点二 方差、标准差 思考 1 当样本数据的标准差为 0 时，该组数据有何特点？ 答案 当样本数据的标准差为 0 时，该组数据都相等 思考 2 标准差、方差的意义是什
3、么？ 答案 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离 散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小 梳理 标准差、方差的概念及计算公式 (1)标 准 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 表 示 s (xn是样本数据，n 是样本容量， 是样本平均数) 1 nx 1 x 2x2 x 2xn x 2 x (2)标准差的平方 s2叫做方差 s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2(xn是样本数据，n 是样本容量， 是样本平均数) 1 n xxxx (3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0 时，每一组
4、样本数据均为 . x 知识拓展：平均数、方差公式的推广： 1若数据 x1，x2，xn的平均数为 ，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平x 均数是 m a.x 2设数据 x1，x2，xn的平均数为 ，方差为 s2，则x as2 (x x x )n 2； 1 n 2 12 22 n x b数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2； c数据 ax1，ax2，axn的方差为 a2s2. 知识点三 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差 2平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片 面判断，
5、因为这个平均数掩盖了一些极端的情况， 而这些极端情况显然是不能忽视的 因此， 还需要用标准差来反映数据的分散程度 3现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，虽然总体的平均数与标准差客观存在，但 是我们无从知道所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准 差虽然样本具有随机性，不同的样本测得的数据不一样，与总体的数字特征也可能不同， 但只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的 1中位数是一组数据中间的数( ) 2众数是一组数据中出现次数最多的数( ) 3一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近( ) 题型一 众数、中位数和平均数的理解与应用 命题角度1
6、众数、中位数、平均数的计算 例 1 某公司的 33 名职工的月工资(单位：元)如下表： 职业董事长副董事长董事总经理经理管理员职员 人数11215320 工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500 (1)求该公司职工月工资的平均数； (2)若董事长、副董事长的工资分别从 5 500 元、5 000 元提升到 30 000 元、20 000 元，那么 公司职工月工资新的平均数又是什么？ 解 (1)公司职工月工资的平均数为 x 5 5005 0003 500 23 0002 500 52 000 31 500 20 33 2 091(元) 69 000 33 (2)
7、若董事长、副董事长的工资提升后，职工月工资的平均数为 x 30 00020 0003 500 23 0002 500 52 000 31 500 20 33 3 288(元) 108 500 33 反思与感悟 (1)众数、 中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量， 平均数是最重要的量 (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部 分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题 (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所 给的数据中，也可能不在所给的数据中 (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系， 任何一个数据
8、的变动都会引起平均数的变动 (5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均 数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息 但平均数受数据的极端值的影响较大， 使平 均数在估计总体时可靠性降低 跟踪训练 1 对于数据 3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论： 这组数据的众数是 3； 这组数据的众数与中位数的数值不相等； 这组数据的中位数与平均数的数值相等； 这组数据的平均数与众数的数值相等 其中正确结论的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 在这 1
9、1 个数中，数 3 出现了 6 次，频率最高，故众数是 3；将这 11 个数按从小到大 的 顺 序 排 列 得 2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10， 中 间 数 据 是 3， 故 中 位 数 是 3； 而 平 均 数 x 4.故只有正确 2 23 66 210 11 命题角度 2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例 2 已知一组数据： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表： 分组频数频率 121,123) 123,125) 1
10、25,127) 127,129) 129,131 合计 (2)作出频率分布直方图； (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数 解 (1)频率分布表如下： 分组频数频率 121,123)20.10 123,125)30.15 125,127)80.40 127,129)40.20 129,13130.15 合计201.00 (2)频率分布直方图如下： (3)在125,127)中的数据最多， 取这个区间的中点值作为众数的近似值， 得众数 126， 事实上， 众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据是 1252 126.25，事实上中位数为 125.5.使 5 8 用“
11、组中值”求平均数 ： 1220.11240.151260.41280.21300.15126.3，x 平均数的精确值为 125.75.x 反思与感悟 (1)利用频率分布直方图估计数字特征： 众数是最高的矩形的底边中点的横坐标； 中位数左右两侧直方图的面积相等； 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致 跟踪训练 2 一批乒乓球，随机抽取 100 个进行检查，球的直径频率分布直方图如图试估 计这个样本的众数、中位数和平均数 解 众数40； 39.9940.01 2 四个矩形的面积分别是 0.0250.1, 0
12、.02100.2, 0.02250.5, 0.02100.2.中位数为 39.9939.998；平均数为 39.960.139.980.2400.540.020.239.996. 0.2 25 题型二 标准差、方差的应用 例 3 计算数据 89,93,88,91,94,90,88,87 的方差和标准差(标准差结果精确到 0.1) 解 90 (1)3(2)140(2)(3)90 090；x 1 8 1 8 计算 xi (i1,2，8)，得各数据为1,3，2,1,4,0，2，3；x 计算(xi )2(i1,2，8)，得各数据为 1,9,4,1,16,0,4,9；x 计算方差：s2 (1941160
13、49)5.5； 1 8 44 8 计算标准差：s2.3.5.5 所以这组数据的方差为 5.5，标准差约为 2.3. 反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组 数据的波动大小 (2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数 据在样本平均数周围越集中 ； 反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分 散 (3)若样本数据都相等，则 s0. (4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征， 而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的 跟踪训练 3 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期
14、的五次测试成绩得分情况如图 (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 解 (1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分 甲 13，x 1013121416 5 乙 13，x 1314121214 5 s (1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24， 2 甲 1 5 s (1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8. 2 乙 1 5 (2)由 s s可知乙的成绩较稳定
15、2 甲 2 乙 从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提 高，而乙的成绩无明显提高. 1.某市 2017 年各月的平均气温()数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是( ) A19 B20 C21.5 D23 答案 B 解析 由茎叶图知，平均气温在 20以下的有 5 个月，在 20以上的也有 5 个月，恰好是 20的有 2 个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为 20.故选 B. 2 设样本数据 x1， x2， x10的平均数和方差分别为 1 和 4， 若 yixia(a 为非零常数， i 1,2，10)，则 y1，y2，y10的平均数和方差分别为(
16、) A1a,4 B1a,4a C1,4 D1,4a 答案 A 解析 x1，x2，x10的平均数 1，方差 s 4，x 2 1 且 yixia(i1,2，10)， y1，y2，y10的平均数 (y1y2y10)(x1x2x1010a)(x1x2y 1 10 1 10 1 10 x10)a a1a，其方差 s (y1 )2(y2 )2(y10 )2(x11)2x 2 2 1 10 yyy 1 10 (x21)2(x101)2s 4.故选 A. 2 1 3已知一组数据 4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_ 答案 6 解析 由已知得，所求平均数为6. 465876 6 4若样本数据 x1，
17、x2，x10的标准差为 8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准差 为_ 答案 16 解析 设样本数据 x1， x2， x10的标准差为 s， 则 s8， 可知数据 2x11,2x21， 2x101 的标准差为 2s16. 5某校医务室抽查了高一 10 位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74. (1)求这 10 个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差 解 (1)这 10 个学生体重数据的平均数为 (747172687673677065x 1 10 74)71.
18、这 10 个学生体重数据从小到大依次为 65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是 71,72， 这 10 个学生体重数据的中位数为71.5. 7172 2 这 10 个学生体重数据的方差为 s2(7471)2(7171)2(7271)2(6871)2(7671)2(7371)2(6771)2 1 10 (7071)2(6571)2(7471)211， 这 10 个学生体重数据的标准差为 s.s211 (2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为 71，中位数为 71.5，方差为 11，标 准差为.11 1利用直方图求数字特征：众数是最高的矩形的底边
19、的中点中位数左右两边直方图 的面积应相等平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 2标准差的平方 s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标 准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差 3现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用 样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性 一、选择题 1 某学习小组在一次数学测验中， 得 100 分的有 1 人， 得 95 分的有 1 人， 得 90 分的有 2 人， 得 85 分的有 4 人，得 80 分和 75 分的各 1 人，则该小组数学成绩
20、的平均数，众数，中位数 分别为( ) A85 分，85 分，85 分 B87 分，85 分，86 分 C87 分，85 分，85 分 D87 分，85 分，90 分 答案 C 解析 平均数为87， 众数为 85， 中位数为 85， 故选 C. 1009590 285 48075 10 210 名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数 为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 答案 D 解析 由已知得 a(15171410151717161412)14.7， 1 10 b (1515)
21、15，c17，cba.故选 D. 1 2 3 样本 a,3,5,7 的平均数是 b， 且 a， b 是方程 x25x40 的两根， 则这个样本的方差是( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 x25x40 的两根是 1,4. 当 a1 时，a,3,5,7 的平均数是 4； 当 a4 时，a,3,5,7 的平均数不是 1. a1，b4，则方差 s2 (14)2(34)2(54)2(74)25. 1 4 4 如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位 ： 分) 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为( ) A2,5
22、 B5,5 C5,8 D8,8 答案 C 解析 由茎叶图及已知得 x5，又乙组数据的平均数为 16.8，即 91510y1824 5 16.8，解得 y8，选 C. 5某高三学生在连续五次月考中的数学成绩为(单位：分)：90,90,93,94,93，则该学生在这 五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( ) A92,2.8 B92,2 C93,2 D93,2.8 答案 A 解析 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为 (9090939493)92，x 1 5 方差为 s2 (9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)22.8.故选 A. 1 5 6高三学生李丽在
23、一年的五次数学模拟考试中的成绩为(单位：分)：x，y,105,109,110.已知 该同学五次数学成绩数据的平均数为 108，方差为 35.2，则|xy|的值为( ) A15 B16 C17 D18 答案 D 解析 由题意得，108， xy105109110 5 35.2， x1082y1082914 5 由解得Error!Error!或Error!Error!所以|xy|18.故选 D. 7某省农科所经过 5 年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续 5 年棉花产量(千克/亩)的统计 数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是( ) A甲棉种；甲棉种 B乙棉种；甲棉种 C甲棉种
24、；乙棉种 D乙棉种；乙棉种 答案 C 解析 根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为 68,69,70,71,72；乙棉种产量为 68,68,69,69,71. 甲棉种的平均值 甲 (6869707172)70； x 1 5 乙棉种的平均值 乙 (6868696971)69. x 1 5 甲的方差 s (6870)2(6970)2(7070)2(7170)2(7270)22， 2 甲 1 5 乙的方差 s (6869)2(6869)2(6969)2(6969)2(7169)21.2. 2 乙 1 5 甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定故选 C. 二、填空题 8.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各 5 名
25、学生的数学竞赛成绩(70 分99 分)，若甲、乙两组 学生的平均成绩一样，则 a_；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是_ 答案 5 甲组 解析 由题意可知 7588899890a 5 89， 解得 a5.因为 s (14)2(1)209262， s 7685899897 5 2 甲 1 5 314 5 2 乙 (13)2(4)209282，所以 s s ，故成绩相对稳定的是甲组 1 5 330 5 2 甲 2 乙 9已知一组数据 x1，x2，x10的方差是 2，且(x13)2(x23)2(x103)2380，则 这组数据的平均数 _.x 答案 3 或 9 解析 数据 x1，x2，x10的方差为
26、2， (x1 )2(x2 )2(x10 )22， 1 10 xxx 即(x1 )2(x2 )2(x10 )220.xxx 又(x13)2(x23)2(x103)2380， 9010 2(2 6)10 360， xxx 26 270，解得 3 或 9. xxxx 10一组数据 2，x,4,6,10 的平均数是 5，则此组数据的标准差是_ 答案 22 解析 一组数据 2，x,4,6,10 的平均数是 5， 2x461055，解得 x3， 此组数据的方差 s2 (25)2(35)2(45)2(65)2(105)28， 1 5 此组数据的标准差 s2 . 2 11某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个
27、分厂的产量分布如图所示现在用分层抽样 方法从三个分厂生产的产品中共抽取 100 件进行使用寿命的测试， 则第一分厂应抽取的件数 为_； 测试结果为第一、 二、 三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为 1 020 小时， 980 小时，1 030 小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为_小时 答案 50 1 015 解析 由分层抽样可知，第一分厂应抽取 10050%50(件)由样本的平均数估计总体的平均 数，可知这批电子产品的平均使用寿命为 1 02050%98020%1 03030%1 015(小时) 三、解答题 12.从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取 5 名同学的成绩，得到如图所示的
28、茎叶图已 知甲班成绩数据的中位数为 13，乙班成绩数据的平均数为 16. (1)求 x，y 的值； (2)试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低 (注：方差 s2 (x1 )2(x2 )2(xn )2，其中 为 x1，x2，xn的平均数) 1 n xxxx 解 (1)由茎叶图知甲班成绩数据依次为 9,12,10x,20,26， 所以中位数为 10x13， 得 x3 ； 乙班成绩数据的平均数 乙 (91510y1820)16， x 1 5 得 y8. (2)乙班整体水平较高 理由：由题意及(1)得 甲 (912132026)16， x 1 5 s (916)2(1216)2(1316)2(2
29、016)2(2616)238， 乙16， 2 甲 1 5 x s (916)2(1516)2(1816)2(1816)2(2016)214.8. 2 乙 1 5 74 5 因为 s s ，所以乙班的整体水平较高 2 甲 2 乙 13某工厂 36 名工人的年龄数据如表所示 (1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的 年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均数 和方差 s2；x (3)36 名工人中年龄在 s 与 s 之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?xx 解 (1)由系统抽样，将 36 名工人分
30、为 9 组(4 人一组)，每组抽取一名工人因为在第一分 段里抽到的是年龄为 44 的工人，即编号为 2 的工人，故所抽样本的年龄数据为 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)平均数 40；x 444036433637444337 9 方差 s2 (4440)2(4040)2(3640)2(4340)2(3640)2(3740)2(44 1 9 40)2(4340)2(3740)2. 100 9 (3)由(2)可知 s.由题意， 年龄在内的工人共有 23 人， 所占的百分比为 10 3 (40 10 3 ，4010 3) 23 36 100%63.89%. 14从某企业生
31、产的某种产品中随机抽取 100 件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结 果得到如下频数分布表： 质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115， 125 频数62638228 (1)在图中作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品的 80%”的规定？ 解 (1)频率分布直方图如图： (2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100. 质量指标值的样本方差为(20)20.06(10)20.2600.381020.222020.08104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68.由于该估计值 小于 0.8， 故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全 部产品的 80%”的规定