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1、2.1 数 列 数 列 2.1.1 数 列 数 列 学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式， 并会用通项公式写出数列的任 意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式 知识点一 数列及其有关概念 1按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中 的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项)，第 2 项，第 n 项，. 2. 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，an，简记为an 思考 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列吗？ 答案 不是顺序不一样 知识点二 通项公式 如果数列的第
2、n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个函数式 anf (n)来表示，那么这个公式 叫做这个数列的通项公式不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式 表达式不一定唯一 知识点三 数列的分类 1按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 2按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第 二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列 11,1,1,1 是一个数列( ) 2数列 1,3,5,7，的第 10 项是 21.( ) 3每一个数列都有通项公式( ) 4如果一个数列不是递增数列，那么它一定
3、是递减数列( ) 题型一 数列的分类 例 1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A1， 1 2 1 3 1 4 B1，2，3，4， C1， ， ， ， 1 2 1 4 1 8 D1， ， ，23n 答案 C 解析 A，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有 C 符合题意 反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外 跟踪训练 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数 列？哪些是常数列？ (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，； 1 2 2 3 n1 n (3)1，； 1 2
4、 1 4 1 2n - 1 (4)，； 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 (5)1,0，1，sin ，； n 2 (6)9,9,9,9,9,9. 解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列 题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)1， ， ； 1 2 1 3 1 4 (2) ，2，8； 1 2 9 2 (3)9,99,999,9 999. 解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它 的一个
5、通项公式为 an，nN. 1n + 1 n (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： ， ， 1 2 4 2 9 2 16 2 所以它的一个通项公式为 an，nN. n2 2 (3)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个 通项公式为 an10n1，nN. 反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式， 只需观察分析数列中项的构成规律， 看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变 化的规律，继而将 an表示为 n 的函数关系 跟踪训练 2 写出下面数列的一个
6、通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)，； 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 (2)，； 221 2 321 3 421 4 521 5 (3)7,77,777,7 777. 解 (1)这个数列前 4 项的分母都是序号数乘以比序号数大 1 的数，并且奇数项为负，偶数项 为正，所以它的一个通项公式为 an，nN. 1n n n1 (2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1，所 以它的一个通项公式为 an，nN. n121 n1 (3)这个数列的前 4 项可以变为 9， 99， 999， 9 999， 7 9 7 9 7
7、 9 7 9 即 (101)， (1001)， (1 0001)， (10 0001)， 7 9 7 9 7 9 7 9 即 (101)， (1021)， (1031)， (1041)， 7 9 7 9 7 9 7 9 所以它的一个通项公式为 an (10n1)，nN. 7 9 题型三 数列通项公式的简单应用 例 3 (1)已知数列 ，那么 0.94,0.96，0.98，0.99 中是该数列中某一项值的数应当 1 2 2 3 3 4 4 5 有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案 C 解析 数列 ，的通项公式为 an， 1 2 2 3 3 4 4 5 n n1 0.94，0.9
8、6，0.98，0.99， 94 100 47 50 96 100 24 25 98 100 49 50 99 100 ， ，都在数列中，故有 3 个 24 25 49 50 99 100 n n1 (2)已知数列an的通项公式为 an2n210n4. 问当 n 为何值时，an取得最小值？并求出最小值 解 an2n210n42 2 ， (n 5 2) 17 2 当 n2 或 3 时，an取得最小值，其最小值为 a2a38. 反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知 y 求 x，若求出的 x 是正整数，则 y 是该数列的项，否则不是 (2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值 跟踪训练
9、 3 (1)已知数列an的通项公式为 an(nN)，那么是这个数列的第 1 nn2 1 120 _项 答案 10 解析 ，n(n2)1012，n10. 1 nn2 1 120 (2)已知数列an中，ann225n(nN)，则数列an的最大项是第_项 答案 12 或 13 解析 an 22是关于 n 的二次函数，又 nN， (n 25 2) ( 25 2) 当 n12 或 n13 时，an最大 归纳法求数列的通项公式 典例 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律， 猜想第n个图中有_小圆圈 答案 n2n1 解析 观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1,121,231,341,451.故
10、第 n 个 图中小圆圈的个数为(n1)n1n2n1. 素养评析 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题本例完美诠释了“观察现象，归纳 规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律 1下列叙述正确的是( ) A数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B数列 0,1,2,3，可以表示为n C数列 0,1,0,1，是常数列 D数列是递增数列 n n1 答案 D 解析 由数列的通项 an知， n n1 an1an0， n1 n2 n n1 1 n2n1 即数列是递增数列，故选 D. n n1 2数列 2,3,4,5，的一个通项公式为( ) Aann，nN Bann1，nN Cann2，nN
11、 Dan2n，nN 答案 B 解析 这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以，它的一个通项公式为 ann1，nN. 3数列an中，an2n23，nN，则 125 是这个数列的第_项 答案 8 解析 令 2n23125，解得 n8(n8 舍去) 所以 125 是该数列的第 8 项 4已知数列an的通项公式 an，nN，则 a1_；an1_. 1n - 1n 2n1 答案 1 1 nn1 2n1 解析 a11， 11 - 1 1 2 11 an1. 1n + 1 - 1n1 2n11 1nn1 2n1 5写出数列：1，3,5，7,9，的一个通项公式 解 该数列的通项公式为 an(1)n+1(2n1
12、)，nN. 1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的 (2)可重复性：数列中的数可以重复 (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关 2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成 一个数列 3,3.1，3.14，3.141，它没有通项公式根据所给数列的前几项求其通项公式时， 需仔细观察分析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳
13、 3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式 一、选择题 1已知数列an的通项公式为 an，nN，则该数列的前 4 项依次为( ) 11n + 1 2 A1,0,1,0 B0,1,0,1 C ,0, ,0 D2,0,2,0 1 2 1 2 答案 A 解析 当 n 分别等于 1,2,3,4 时，a11，a20，a31，a40. 2已知数列an的通项公式为 ann2n50，nN，则8 是该数列的( ) A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D非任何一项 答案 C 解析 解 n2n508，得 n7 或 n6(舍去) 3数列 1,3,6,10，的一个通项公式是( ) Aann2n1 B
14、annn1 2 Can Dann21 nn1 2 答案 C 解析 令 n1,2,3,4，代入 A，B，C，D 检验，即可排除 A，B，D，故选 C. 4数列 ，的第 10 项是( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 A. B. C. D. 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 C 解析 由数列的前 4 项可知，数列的一个通项公式为 an，nN， 2n 2n1 当 n10 时，a10. 2 10 2 101 20 21 5已知 an1an30，nN，则数列an是( ) A递增数列 B递减数列 C常数列 D不能确定 答案 A 解析 an1an3an，nN，即该数列每一项均小于后一项
15、，故数列an是递增数列 6设 an(nN)，那么 an1an等于( ) 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n A. B. 1 2n1 1 2n2 C. D. 1 2n1 1 2n2 1 2n1 1 2n2 答案 D 解析 an， 1 n1 1 n2 1 n3 1 2n an1， 1 n2 1 n3 1 2n 1 2n1 1 2n2 an1an. 1 2n1 1 2n2 1 n1 1 2n1 1 2n2 7数列 0.3,0.33,0.333,0.333 3，的一个通项公式 an等于( ) A. (10n1) B. (10n1) 1 9 1 3 C. D.(10n1) 1 3(1 1 10n)
16、3 10 答案 C 解析 代入 n1 检验，排除 A，B，D，故选 C. 8 如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案， 会徽的主体图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图 2 中的直 角三角形继续作下去，记 OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公 式为( ) Aann，nN Ban，nNn1 Can，nN Dann2，nNn 答案 C 解析 OA11，OA2，OA3，OAn，23n a11，a2，a3，an，.23n 二、填空题 9观察数列的特点，用一个适当的数填空：1， ， ， ，_，.3
17、5711 答案 3 解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为3.9 10数列 3,5,9,17,33，的一个通项公式是_ 答案 an2n1，nN 11323 是数列n(n2)的第_项 答案 17 解析 由 ann22n323，解得 n17(负值舍去) 323 是数列n(n2)的第 17 项 三、解答题 12在数列an中，a12，a1766，通项公式 an是 n 的一次函数 (1)求an的通项公式； (2)判断 88 是不是数列an中的项？ 解 (1)设 anknb，k0. 则Error!解得Error! an4n2，nN. (2)令 an88，即 4n288，解
18、得 n22.5N. 88 不是数列an中的项 13在数列an中，ann(n8)20，nN，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由 解 (1)因为 ann(n8)20(n2)(n10)， 所以当 00 时，n ， 7 2 故数列an从第 4 项开始递增 (3)ann(n8)20(n4)236， 根据二次函数的性质知，当 n4 时，an取得最小值36， 即这个数列有最小值，最小值为36. 14已知数列an的通项公式是 anError!(nN)，则 a3_. 1 a4 答案 19 16 解析 a
19、32-3 ，a4， 1 8 1 12 - 4 16 17 ，a3. 1 a4 17 16 1 a4 19 16 15已知数列，nN. 9n29n2 9n21 (1)求证：该数列是递增数列； (2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由 ( 1 3， 2 3) (1)证明 an1， 9n29n2 9n21 3n13n2 3n13n1 3n2 3n1 3n13 3n1 3 3n1 an1an 1 3 3n11 (1 3 3n1) 0，nN， 33n43n1 3n13n4 9 3n13n4 an是递增数列 (2)解 令 an ， 1 3 3n2 3n1 2 3 Error! Error! n ， 7 6 8 3 当且仅当 n2 时，上式成立， 故区间内有数列中的项，且只有一项为 a2 . ( 1 3， 2 3) 4 7