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1、章末复习章末复习 学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律.3.会 用向量法解决立体几何问题 1空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 ，v，则 线线平行lmabakb，kR 线面平行laa0 面面平行vkv，kR 线线垂直lmabab0 线面垂直laak，kR 面面垂直vv0 线线夹角l，m 的夹角为 ，cos (0 2) |ab| |a|b| 线面夹角l， 的夹角为 ，sin (0 2) |a| |a| 面面夹角， 的夹角为 ，cos (0 2) |v| |v| 2.用坐标法解决立体几何
2、问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论 关键点如下： (1)选择恰当的坐标系坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐 标易求且简单，简化运算过程 (2)点的坐标、向量的坐标的确定将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直 线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题 (3)几何问题与向量问题的转化平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何 转化也是这类问题解决的关键 1向量 a，b 的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等( ) 2设直线 l 与平面 相交，且
3、 l 的方向向量为 a， 的法向量为 n，若a，n，则 l 2 3 与 所成的角为 .( ) 6 3两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0， (0， 2 0， 2 ( ) 4若空间向量 a 平行于平面 ，则 a 所在直线与平面 平行( ) 题型一 空间向量及其运算 例 1 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A，B，C，D 的 距离都等于 2.给出以下结论： 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD ；SA SB SC SD 0.SA SC 其中正确结论的序号是_ 答案 解析 容
4、易推出0， 所以正确 ； 又因为底面 ABCD 是边长为 1SA SB SC SD BA DC 的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，SA SB SC SD 而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序SA SB SC SD 号是. 反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、 三角形法 则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义 跟踪训练 1 如图，在平行六面体 A1B1C1D1-ABCD 中，M 分成的比为 ，N 分成的比AC 1 2 A1D 为 2，设a，b，c，试用 a，b，c 表示.AB AD
5、AA1 MN 解 连接 AN，则，MN MA AN 由已知 ABCD 是平行四边形， 故ab，AC AB AD 又 M 分成的比为 ，AC 1 2 故 (ab)MA 1 3AC 1 3 由已知，N 分成的比为 2，故 (c2b)A1D AN AD DN AD ND AD 1 3A 1D 1 3 于是 (ab) (c2b)MN MA AN 1 3 1 3 (abc) 1 3 题型二 利用空间向量解决位置关系问题 例 2 在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点，求证： (1)PC平面 EBD； (2)平面 PBC平面 PCD. 证明 如图，以 D 为
6、坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系 Dxyz. 设 DCa，PDb，则 D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E. (0， a 2， b 2) (1)，(a，a,0)DE (0， a 2， b 2) DB 设平面 EBD 的法向量为 n(x，y，z)， 则Error!Error!即Error!Error! 令 x1，得 n， (1，1， a b) 因为n(a,0，b)0，PC (1，1， a b) 所以n，故 PC平面 EBD.PC (2)由题意得平面 PDC 的法向量为(0，a,0)，DA 又(a，a，
7、b)，(a,0，b)，PB PC 设平面 PBC 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 则Error!Error!即Error!Error! 得 y10，令 x11，则 z1 ，所以 m， a b (1，0， a b) 因为m(0，a,0)0，DA (1，0， a b) 所以m，即平面 PBC平面 PCD.DA 反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量 (2)证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量 (3)证明面面平行的方法
8、 转化为线线平行、线面平行处理 证明这两个平面的法向量是共线向量 (4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直 (5)证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直 (6)证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直 证明两个平面的法向量互相垂直 跟踪训练 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点，求证 ： 平面 AED 平面 A1FD1. 证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体棱长为 1，则 E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F. (1，1， 1 2) (0，
9、 1 2，0) (1,0,0)，.设 m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)DA D1A1 DE (1，1， 1 2) D1F (0， 1 2，1) 分别是平面 AED 和 A1FD1的法向量， 由Error!Error!得Error!Error! 令 y11，得 m(0,1，2) 又由Error!Error!得Error!Error! 令 z21，得 n(0,2,1) mn(0,1，2)(0,2,1)0， mn，平面 AED平面 A1FD1. 题型三 利用空间向量求角 例 3 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D 为 AB 的中点 (1)求点 C 到平面
10、A1ABB1的距离； (2)若 AB1A1C，求二面角 A1-CD-C1的平面角的余弦值 解 (1)由 ACBC，D 为 AB 的中点，得 CDAB，又 CDAA1，AA1ABA，故 CD平 面 A1ABB1，所以点 C 到平面 A1ABB1的距离为 CD.BC2BD25 (2)如图，过 D 作 DD1AA1交 A1B1于 D1，在直三棱柱中，易知 DB，DC，DD1两两垂直， 以 D 为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 设直三棱柱的高为 h，则 A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，C1(0，h)，
11、55 从而(4,0，h)，(2，h)，AB1 A1C 5 由，得 8h20，h2.AB1 A1C 2 故(2,0,2)，DA1 2 (0,0,2)，(0，0)CC1 2DC 5 设平面 A1CD 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 则Error!Error!即Error!Error! 取 z11，得 m(，0,1)2 设平面 C1CD 的法向量为 n(x2，y2，z2)， 则Error!Error!即Error!Error! 取 x21，得 n(1,0,0)， 所以 cosm，n. mn |m|n| 2 21 1 6 3 所以二面角 A1-CD-C1的平面角的余弦值为. 6 3 反思感悟 用
12、向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为 090，需找到两异面直线的方向向量， 借助方向向量所成角求解 (2)直线与平面所成的角 ： 要求直线 a 与平面 所成的角 ，先求这个平面 的法向量 n 与直 线 a 的方向向量 a 的夹角的余弦值 cosn，a ，再利用公式 sin |cosn，a|，求 . (3)二面角： 如图，有两个平面 与 ，分别作这两个平面的法向量 n1与 n2，则平面 与 所成的角跟 法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角 跟踪训练3 如图， 在几何体ABCDE中， 四边形ABCD是矩形， AB平面BEC，
13、BEEC， AB BEEC2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 (1)求证：GF平面 ADE； (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 方法一 (1)证明 如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 又 G 是 BE 的中点， 所以 GHAB，且 GH AB. 1 2 又 F 是 CD 的中点， 所以 DF CD. 1 2 由四边形 ABCD 是矩形， 得 ABCD，ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH. 又 DH平面 ADE，GF平面 ADE， 所以 GF平面 ADE. (2)解 如图，在平面 BEC 内
14、， 过 B 点作 BQEC. 因为 BECE，所以 BQBE. 又因为 AB平面 BEC，所以 ABBE，ABBQ. 以 B 为原点，分别以 BE，BQ，BA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1) 因为 AB平面 BEC，所以(0,0,2)为平面 BEC 的法向量设 n(x，y，z)为平面 AEF 的BA 法向量 又(2,0，2)，(2,2，1)，AE AF 由Error!Error!得Error!Error! 取 z2，得 n(2，1,2) 从而|cosn， | ，BA |nBA | |
15、n|BA | 4 2 3 2 3 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 . 2 3 方法二 (1)证明 如图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF. 又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE. 又 AE平面 ADE，GM平面 ADE， 所以 GM平面 ADE. 在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MFAD. 又 AD平面 ADE，MF平面 ADE. 所以 MF平面 ADE. 又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF， 所以平面 GMF平面 ADE. 因为 GF平面 GMF，所以 GF平面 ADE. (2)同方法一 1已知空间四边形
16、ABCD，G 是 CD 的中点，则 ()等于( )AB 1 2 BD BC A. B. C. D.AG CG BC 1 2BC 答案 A 解析 在BCD 中，因为点 G 是 CD 的中点， 所以 ()，BG 1 2 BD BC 从而 ().故选 A.AB 1 2 BD BC AB BG AG 2在以下命题中，不正确的个数为( ) |a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件； 对 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab； 对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若22，则 P，A，B，COP OA OB OC 四点共面； |(ab)c|a|b|c|. A2 B3 C4 D1 答案 C 解析
17、由|a|b|ab|，得 a 与 b 的夹角为 ，故是充分不必要条件，故不正确；b 需 为非零向量，故不正确；因为 2211，由共面向量定理知，不正确；由向量的数 量积的性质知，不正确 3(2018安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系 Oxyz 中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的 平面记为， 不经过点A的平面的一个法向量为n(2,2， 2)， 则与的关系为_ 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行 解析 由 n0，n0，AB AC 故 n 也是平面 的一个法向量，又点 A 不在平面 内，故 . 4已知平面 经过点 O(0,0,0)，且
18、 e(1,1,1)是 的一个法向量，M(x，y，z)是平面 内任 意一点，则 x，y，z 满足的关系式是_ 答案 xyz0 解析 e(x，y，z)(1,1,1)xyz0.OM 5 如图， 在 RtABC 中， ACB90， AC4， BC2， E， F 分别在 AC 和 AB 上， 且 EFCB. 将它沿 EF 折起，且平面 AEF平面 EFBC，且四棱锥 AEFBC 的体积为 2. (1)求 EF 的长； (2)当 EF 的长度为 1 时，求直线 AC 与平面 ABF 夹角的正弦值 解 (1)因为 EFCB，ACB90， 所以 CEEF，AEEF. 又平面 AEF平面 EFBC， 平面 AE
19、F平面 EFBCEF，AEEF， AE平面 AEF， 所以 AE平面 EFBC. 设 EFx，由于 EFBC，AC4，BC2，在图 1 中， 所以， AE AC EF BC 即 AE2x. ACEF BC 4x 2 VAEFBC S梯形 EFBCAE 1 3 (x2)(42x)2x 1 3 1 2 ，x(0,2) 2x38x 3 由题意得2，即 x34x30， 2x38x 3 即(x1)(x2x3)0， 所以 x1 或 x， 113 2 即 EF1 或 EF. 113 2 (2)以 E 为坐标原点，EF，EC，EA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 Exy
20、z， 因为 EF1，则 A(0,0,2)， B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0) (0,2，2)，(2,2，2)，(1,0，2)AC AB AF 设平面 ABF 的法向量 n(x，y，z)， 由Error!Error!得Error!Error! 令 z1，则 x2，y1， 所以 n(2，1,1)，设直线 AC 与平面 ABF 的夹角为 ， 则 sin |cosn|.AC |AC n| |AC |n| |0 22 12 1| 2 2 6 3 3 所以直线 AC 与平面 ABF 夹角的正弦值为. 3 3 解决立体几何中的问题，可用三种方法 ： 几何法、基向量法、坐标法几何法以逻辑推理作 为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解 决问题坐标方法经常与向量运算结合起来使用