《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.4.1 抛物线的标准方程 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.4.1 抛物线的标准方程 Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.4 拋物线 拋物线 2.4.1 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3. 明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题 知识点一 抛物线的定义 1平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫 做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线 2定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为 M；一个定点 F(抛物线的焦点)； 一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等 于 11) 知识点二
2、 抛物线的标准方程 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2 2px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0) 现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下： 图形标准方程焦点坐标准线方程 y22px(p0) ( p 2，0) xp 2 y22px(p0) ( p 2，0) xp 2 x22py(p0) (0， p 2) yp 2 x22py(p0) (0， p 2) yp 2 1到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线( ) 2拋物线标准方程中的 p 表示焦点到准线的距离( ) 3拋物线的方程都是二次
3、函数( ) 4抛物线的开口方向由一次项确定( ) 题型一 求抛物线的标准方程 例 1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程 (1)经过点(3，1)； (2)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)因为点(3，1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22py(p0) 若抛物线的标准方程为 y22px(p0)， 则由(1)22p(3)，解得 p ； 1 6 若抛物线的标准方程为 x22py(p0)， 则由(3)22p(1)，解得 p . 9 2 故所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x29y. 1 3 (
4、2)对于直线方程 3x4y120， 令 x0，得 y3；令 y0，得 x4， 所以抛物线的焦点为(0，3)或(4,0) 当焦点为(0，3)时， 3，所以 p6， p 2 此时抛物线的标准方程为 x212y； 当焦点为(4,0)时， 4，所以 p8， p 2 此时抛物线的标准方程为 y216x. 故所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x. 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)，这样可以减 少讨论情况的个数 跟踪训练 1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y ； 2 3 (
5、2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程 解 (1)易知抛物线的准线交 y 轴于正半轴， 且 ， 则 p ， 故所求抛物线的标准方程为 x2 p 2 2 3 4 3 y. 8 3 (2)已知抛物线的焦点在y轴上， 可设方程为x22my(m0)， 由焦点到准线的距离为5， 知|m|5， m 5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y. 题型二 抛物线定义的应用 命题角度 1 利用抛物线定义求轨迹(方程) 例 2 已知动圆 M 与直线 y2 相切，且与定圆 C：x2(y3)21 外切，求动圆圆心 M 的 轨迹
6、方程 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，由题意可得 M 到 C(0，3)的距离与到直线 y3 的 距离相等 由抛物线的定义可知 ： 动圆圆心的轨迹是以 C(0， 3)为焦点， 以 y3 为准线的一条抛物线， 其方程为 x212y. 反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义 求解 后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的 条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件 跟踪训练 2 已知动圆 M 经过点 A(3,
7、0)，且与直线 l： x3 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方 程 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 设动点 M(x，y)，M 与直线 l：x3 的切点为 N， 则|MA|MN|， 即动点 M 到定点 A(3,0)和定直线 l：x3 的距离相等， 点 M 的轨迹是抛物线，且以 A(3,0)为焦点，以直线 l：x3 为准线， 3，p6， p 2 故动圆圆心 M 的轨迹方程是 y212x. 命题角度 2 利用抛物线定义求最值 例 3 如图， 已知抛物线 y22x 的焦点是 F， 点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3,2)， 求|PA| |PF|的最小值，并求此时 P 点坐标 考
8、点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 解 将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y . 6 2，A 在抛物线内部6 设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d， 1 2 由定义知|PA|PF|PA|d. 由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为 . 7 2 即|PA|PF|的最小值为 ， 7 2 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2. 点 P 坐标为(2,2) 引申探究 若将本例中的点 A(3,2)改为点(0,2)， 求点 P 到点 A 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值 解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点
9、的距离 由图可知，P 点，A 点和抛物线的焦点 F三点共线时距离之和最小， ( 1 2，0) 所以最小距离 d. (0 1 2) 2202 17 2 反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用， 就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准 线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边 间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等 跟踪训练 3 已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y 轴的距 离之和的最小值是( ) A. B. C2 D.1355 考点 求抛物线的最值问题 题点 根据抛物线定义转换求最值 答案 D 解析 由题
10、意知，抛物线的焦点为 F(1,0) 设点 P 到直线 l 的距离为 d， 由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1， 所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d|PF|1. 易知 d|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离， 故 d|PF|的最小值为， |23| 2212 5 所以 d|PF|1 的最小值为1.5 抛物线的实际应用问题 典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问 ： 水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少 m 时，小船开始不能通航？ 考点
11、抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标 系 设抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上， 故 p ，得 x2y. 8 5 16 5 当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 22yA，得 yA . 16 5 5 4 又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m， 所以 h|yA|0.752(m) 所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 素养评析 首先确定与实际问题相匹配的数学模型此问题中拱桥是抛物线
12、型，故利用抛 物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系 (2)假设：设出合适的抛物线标准方程 (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程 (4)求解：求出需要求出的量 (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题 1抛物线 y2x 的准线方程为( ) Ax Bx Cy Dy 1 4 1 4 1 4 1 4 答案 B 解析 抛物线 y2x 的开口向右，且 p ，所以准线方程为 x . 1 2 1 4 2已知抛物线 y2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( ) A(1,0) B. C. D(0,1) ( 1 16，0) (0， 1 16) 考点 求抛物线的焦点坐
13、标及准线方程 题点 求抛物线的焦点坐标 答案 C 解析 由抛物线 y2px2过点(1,4)，可得 p2， 抛物线的标准方程为 x2 y， 1 4 则焦点坐标为，故选 C. (0， 1 16) 3已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为 4， 则 m 的值为( ) A4 B2 C4 或4 D12 或2 答案 C 解析 由题意可设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，由定义知点 P 到准线的距离为 4， 故 24， p 2 p4，x28y.将点 P 的坐标代入 x28y， 得 m4. 4若抛物线 y22px(p0)上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1
14、，则 p_. 答案 2 解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离， 所以抛物线上的动点到焦点 的最短距离为顶点到准线的距离，即 1，p2. p 2 5若抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点，则 p_. 答案 22 解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ， p 2 因为抛物线 y22px(p0)的准线经过双曲线 x2y21 的一个焦点 F1(，0)，2 所以 ，解得 p2. p 2 22 1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2mx(m0)，此时焦点为 F， ( m 4，0) 准线方程为 x ；焦点在 y 轴上的抛物线，其标准
15、方程可以统设为 x2my(m0)，此时 m 4 焦点为 F，准线方程为 y . (0， m 4) m 4 2设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的焦半径若 M(x0，y0)在抛物 线 y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以 相互转化，所以焦半径|MF|x0 . p 2 一、选择题 1关于抛物线 x4y2，下列描述正确的是( ) A开口向上，焦点坐标为(0,1) B开口向上，焦点坐标为(0， 1 16) C开口向右，焦点坐标为(1,0) D开口向右，焦点坐标为( 1 16，0) 答案 D 解析 由 x4y2得 y2 x，开口向
16、右，焦点坐标为. 1 4 ( 1 16，0) 2已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1) 答案 B 解析 抛物线 y22px(p0)的准线方程为 x ，由题设知 1，即 p2，故焦点坐 p 2 p 2 标为.(1，0) 3已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为( ) A. B1 C2 D4 1 2 答案 C 解析 抛物线 y22px 的准线方程为 x ，它与圆相切，所以必有 34，p2. p 2 ( p 2) 4若动点 P 与定点 F(1,1)和直线 l：
17、3xy40 的距离相等，则动点 P 的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线 答案 D 解析 方法一 设动点 P 的坐标为(x，y) 则.x12y12 |3xy4| 10 整理，得 x29y24x12y6xy40， 即(x3y2)20，x3y20. 所以动点 P 的轨迹为直线 方法二 显然定点 F(1,1)在直线 l： 3xy40 上，则与定点 F 和直线 l 距离相等的动点 P 的轨迹是过 F 点且与直线 l 垂直的一条直线 5若点 P 在抛物线 y2x 上，点 Q 在圆(x3)2y21 上，则|PQ|的最小值是( ) A.1 B.1 C2 D.13 10 2 11 2 答案 D
18、解析 设圆(x3)2y21 的圆心为 O(3,0)， 要求|PQ|的最小值，只需求|PO|的最小值 设点 P 坐标为(y ，y0)， 2 0 则|PO| y 2 0 3 2y2 0 y 2 025y2 09 ， (y 2 05 2) 211 4 |PO|的最小值为， 11 2 从而|PQ|的最小值为1. 11 2 6抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是( ) A. B. C. D0 17 16 15 16 7 8 答案 B 解析 抛物线方程化为 x2 y，准线为 y，由于点 M 到焦点的距离为 1，所以 M 到 1 4 1 16 准线的距离也为 1，所以 M
19、点的纵坐标等于 1. 1 16 15 16 7 已知直线 l 与抛物线 y28x 交于 A， B 两点， 且 l 经过抛物线的焦点 F， A 点的坐标为(8,8)， 则线段 AB 的中点到准线的距离是( ) A. B. C. D25 25 4 25 2 25 8 答案 A 解析 抛物线的焦点 F 的坐标为(2,0)，直线 l 的方程为 y (x2) 4 3 由Error!Error!得 B 点的坐标为. ( 1 2，2) |AB|AF|BF|282 . 1 2 25 2 AB 的中点到准线的距离为. 25 4 8已知点 P 是抛物线 x24y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q，点
20、A 的坐标是(8,7)， 则|PA|PQ|的最小值为( ) A7 B8 C9 D10 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义与其它知识结合的应用 答案 C 解析 抛物线的焦点为F(0,1)， 准线方程为y1， 根据抛物线的定义知， |PF|PM|PQ| 1. |PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.82712 当且仅当 A，P，F 三点共线时，等号成立，则|PA|PQ|的最小值为 9. 二、填空题 9已知抛物线 y22x 上一点 P(m,2)，则 m_，点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为 _ 答案 2 5 2 解析 将(m,2)代入抛物线中得 42m， 得 m2， 由
21、抛物线的定义可知点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为 2 . 1 2 5 2 10设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则点 B 到该抛物线准线的距离为_ 答案 3 2 4 解析 如图所示，由已知，得点 B 的纵坐标为 1，横坐标为 ，即 B.将其代入 y22px， p 4 ( p 4，1) 得 12p ，解得 p，故点 B 到准线的距离为 p. p 4 2 p 2 p 4 3 4 32 4 11设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直 线 AF 的斜率为，那么|PF|_.3 答案 8
22、 解析 如图所示， 直线 AF 的方程为 y(x2)， 与准线方程 x2 联立得 A(2,4)33 设 P(x,4)，代入抛物线方程 y28x，得 8x48，x6，3 |PF|x28. 三、解答题 12已知拋物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，拋物线上一点 M(m，3)到焦点的距离为 5， 求 m 的值，拋物线方程和准线方程 解 设所求拋物线方程为 x22py(p0)， 则焦点为 F. (0， p 2) M(m，3)在拋物线上，且|MF|5， Error!Error!解得Error!Error! m2，6 拋物线方程为 x28y，准线方程为 y2. 13平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距
23、离比点 P 到 y 轴的距离大 1，求动点 P 的轨迹方程 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用 解 方法一 由题意，动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1， 由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1， 故当 x0)，其准线 l 的方程为 y . p 2 准线 l 与圆 x2y21 相切， 圆心(0,0)到准线 l 的距离 d01， ( p 2) 解得 p2.故抛物线 C 的方程为 x24y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Error!Error! 由题意得 F(0,1)， (x2，y21)，(x1，y1)，FB OA 2，FB OA (x2，y21)2(x1，y1)(2x1,2y1)， 即Error!Error!代入得 4x 8y14， 2 1 即 x 2y11， 2 1 又 x 4y1，所以 4y12y11， 2 1 解得 y1 ，x1， 1 2 2 即点 A 的坐标为或. ( 2，1 2) ( 2，1 2)