2020版数学人教B版选修2-1：章末检测试卷（三） Word版含解析.pdf

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1、章末检测试卷章末检测试卷(三三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1与向量 a(1,3，2)平行的一个向量的坐标是( ) A. B. ( 1 3，1，1) ( 1 2， 3 2，1) C. D(，3，2) ( 1 2， 3 2，1) 22 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 B 2 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)， 且两平面的一个法向量 n(1,0,1)， 则两平面间的距离是( ) A. B. C. D3 3 2 2 2 32 答案 B 解析 两平面间的距离 d.

2、 |OA n| |n| 2 2 3 设 i， j， k 为单位正交基底， 已知 a3i2jk， bij2k， 则 5a 与 3b 的数量积等于( ) A15 B5 C3 D1 答案 A 解析 a(3,2，1)，b(1，1,2)，5a3b15ab15. 4平面 的一个法向量为 m(1,2,0)，平面 的一个法向量为 n(2，1,0)，则平面 与 平面 的位置关系是( ) A平行 B相交但不垂直 C垂直 D不能确定 答案 C 解析 (1,2,0)(2，1,0)0， 两法向量垂直，从而两平面垂直 5点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1内一点，且满足，则AP 3 4AB 1 2AD

3、 2 3AA 1 点 P 到棱 AB 的距离为( ) A. B. C. D. 5 6 3 4 13 4 145 12 答案 A 解析 因为在上的投影为 ，AP AB AP AB |AB | 3 4 所以点 P 到 AB 的距离 d . |AP |2| AP AB |AB | 2 5 6 6若平面 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列关 系式成立的是( ) Acos Bcos na |n|a| |na| |n|a| Csin Dsin na |n|a| |na| |n|a| 答案 D 解析 若直线与平面所成的角为， 直线的方向向量与该平面的法向量所成的

4、角为， 则 90或 90，cos ，sin |cos |. na |n|a| |na| |n|a| 7已知直线 l 的方向向量 a，平面 的法向量 ，若 a(1,1,1)，(1,0,1)，则直线 l 与 平面 的位置关系是( ) A垂直 B平行 C相交但不垂直 D直线 l 在平面 内或直线 l 与平面 平行 答案 D 解析 a1(1)10110，得直线 l 的方向向量垂直于平面的法向量，则直线 l 在平面 内或直线 l 与平面 平行 8A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M 为 BCAB AC AC AD AB AD 的中点，则AMD 是( ) A钝角三角形 B锐角三角形 C

5、直角三角形 D不确定 答案 C 解析 M 为 BC 的中点， ()AM 1 2 AB AC ()AM AD 1 2 AB AC AD 0. 1 2AB AD 1 2AC AD AMAD，AMD 为直角三角形 9 已知 l1的方向向量为 v1(1,2,3)， l2的方向向量为 v2(， 4,6)， 若 l1l2， 则 等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 由 l1l2，得 v1v2，得 ，故 2. 1 2 4 3 6 10 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA平面 ABCD， 若 ABPA， 则平面 ABP 与平面 CDP 的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 答

6、案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 设 ABPA1，知 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)， 由题意得，AD平面 ABP，设 E 为 PD 的中点， 连接 AE，则 AEPD. 又CD平面 PAD，AECD， 又 PDCDD，AE平面 CDP. (0,1,0)，分别是平面 ABP，平面 CDP 的法向量，而， 45.AD AE (0， 1 2， 1 2) AD AE 平面 ABP 与平面 CDP 的夹角为 45. 11.如图所示，四面体 SABC 中，0，0，0，SBC60，则 BC 与SA SB SB SC SA SC

7、 平面 SAB 的夹角为( ) A30 B60 C90 D75 答案 B 解析 0，0，即 SBSC，SASC，SB SC SA SC SB SC SA SC 又 SBSAS，SC平面 SAB， SBC 为 BC 与平面 SAB 的夹角 又SBC60，故 BC 与平面 SAB 的夹角为 60. 12将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论： ACBD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 所成的角为 60； AB 与 CD 所成的角为 60. 其中错误的结论是( ) A B C D 答案 C 解析 如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，设正方形 A

8、BCD 边长为，2 则 D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以(0，1,1)，(2,0,0)，0，AC BD AC BD 故 ACBD.正确 又|，|，|，AC 2CD 2AD 2 所以ACD 为等边三角形正确 对于，为平面 BCD 的法向量，OA cos，.AB OA AB OA |AB | |OA | 1，1，00，1，0 2 1 1 2 2 2 因为直线与平面所成的角0，90， 所以 AB 与平面 BCD 所成角为 45.故错误 又 cos，AB CD AB CD |AB | |CD | . 1，1，01，0，1 2 2 1 2 因为异面直线所成的角

9、为锐角或直角， 所以 AB 与 CD 所成角为 60.故正确 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13 设 a， b 是直线， ， 是平面， a， b， 向量 a 在 a 上， 向量 b 在 b 上， a(1,1,1)， b( 3,4,0)，则 ， 所成二面角中较小的一个角的余弦值为_ 答案 3 15 解析 设 ， 所成二面角中较小的一个角为 ， 由题意得，cos |cosa，b|ab| |a|b| . 1，1，13，4，0 3 5 3 15 14.如图所示，已知正四面体 A-BCD 中，AE AB，CF CD，则直线 DE 和 BF 所成角的 1 4 1 4 余弦

10、值为_ 答案 4 13 解析 设 AB4，ED EA AD 1 4BA AD ，cos， BF BC CF BC 1 4CD ED BF ED BF |ED |BF | . ( 1 4BA AD )(BC 1 4CD ) ( 1 4BA AD ) 2 (BC 1 4CD ) 2 2002 13 13 4 13 15.如图所示，已知二面角 -l- 的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB 在平 ( (0， 2) 面 内，BC 在 l 上，CD 在平面 内，若 ABBCCD1，则 AD 的长为_ 答案 32cos 解析 因为，AD AB BC CD 所以 22222 22AD AB BC CD AB

11、 CD AB BC BC CD 1112cos()32cos . 所以|，AD 32cos 即 AD 的长为.32cos 16给出下列命题： 若 ab0，则a，b是钝角； 若 a 为直线 l 的方向向量，则 a(R)也是 l 的方向向量； 非零向量 a，b，c 满足 a 与 b，b 与 c，c 与 a 都是共面向量，则 a，b，c 必共面 其中不正确的命题为_(填序号) 答案 解析 错误，ab0，即 cosa，b0，即 a，b，而钝角的取值范围是； 2 ( 2，) 错误， 当 0 时， a0 不能作为直线 l 的方向向量 ； 错误， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，令a，b，c，则

12、它们两两共面，但显然，不共面AB AD AA1 AB AD AA1 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)设向量 a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算 2a3b,3a2b，ab 以及 a 与 b 所成角 的余弦值，并确定 ， 应满足的条件，使 ab 与 z 轴垂直 解 2a3b2(3,5，4)3(2,1,8) (6,10，8)(6,3,24)(12,13,16) 3a2b3(3,5，4)2(2,1,8) (9,15，12)(4,2,16)(5,13，28) ab(3,5，4)(2,1,8)653221. |a|5，|b|，325242222128269 cosa，

13、b. ab |a|b| 21 52 69 7138 230 ab 与 z 轴垂直， (32，5，48)(0,0,1)480，即 2，当 ， 满足 2 时， 可使 ab 与 z 轴垂直 18(12 分)已知空间内三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5) (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 S；AB AC (2)若向量 a 与向量，都垂直，且|a|，求向量 a 的坐标AB AC 3 解 (1)(2，1,3)，(1，3,2)，AB AC cosBAC ， AB AC |AB |AC | 7 14 14 1 2 又BAC0，180， BAC60，S|sin 607.AB A

14、C 3 (2)设 a(x，y，z)， 由 a，得2xy3z0，AB 由 a，得 x3y2z0，AC 由|a|，得 x2y2z23，3 xyz1 或 xyz1. a(1,1,1)或 a(1，1，1) 19 (12 分)如图， 在平行四边形 ABCD 中， ABAC1， ACD90， 把ADC 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，求 BD 的长 解 AB 与 CD 成 60角，60或 120，BA CD 又ABACCD1，ACCD，ACAB， |BD BD 2 BA AC CD 2 111002 1 1 cosBA ，CD 32cosBA ，CD ， |2 或.BD 2 BD 的

15、长为 2 或 . 2 20(12 分)如图所示，已知几何体 ABCDA1B1C1D1是平行六面体 (1)化简，并在图上标出结果； 1 2AA 1 BC 2 3AB (2)设 M 是底面 ABCD 的中心， N 是侧面 BCC1B1对角线 BC1上的点， 且 C1N C1B， 设 1 4 MN ，试求 ， 的值AB AD AA1 解 (1)取 AA1的中点 E，在 D1C1上取一点 F，使得 D1F2FC1，连接 EF， 则. 1 2AA 1 BC 2 3AB EA1 A1D1 D1F EF (2)MN MB BN 1 2DB 3 4BC 1 () () 1 2 DA AB 3 4 BC CC1

16、 ， 1 2AB 1 4AD 3 4AA 1 所以 ， ， . 1 2 1 4 3 4 21 (12 分)如图所示， 四边形 ABCD 为直角梯形， ABCD， ABBC， ABE 为等边三角形， 且平面 ABCD平面 ABE，AB2CD2BC2，P 为 CE 的中点 (1)求证：ABDE； (2)求平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值； (1)证明 取 AB 的中点 O，连接 OD，OE， 因为ABE 是正三角形，所以 ABOE. 因为四边形 ABCD 是直角梯形，DC AB，ABCD， 1 2 所以四边形 OBCD 是平行四边形， 所以 ODBC.又 ABBC，所以 ABO

17、D， 又 OEODO，所以 AB平面 ODE， 所以 ABDE. (2)解 因为平面 ABCD平面 ABE， ABOE，OE平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB. 所以 OE平面 ABCD， 所以 OEOD. 如图所示，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 A(1,0,0)，B(1,0,0)， D(0,0,1)，C(1,0,1)， E(0，0)，3 所以(1,0,1)，AD (0，1)DE 3 设平面 ADE 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 则Error!Error!即Error!Error! 令 z11，则 x11，y1， 3 3 所以 n1， (1， 3 3 ，

18、1) 同理可求得平面 BCE 的一个法向量为 n2(，1,0)，3 设平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角为 ， 则 cos ， |n1n2| |n1|n2| | 3 3 3| 7 3 2 7 7 所以平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为. 7 7 22 (12 分)如图， 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 侧棱 A1A底面 ABCD， ABAC， AB1， AC AA12，ADCD，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点5 (1)求证：MN平面 ABCD； (2)求平面 ACD1与平面 ACB1的夹角的正弦值； (3)设 E 为棱 A1B1上的

19、点，若直线 NE 和平面 ABCD 的夹角的正弦值为 ，求线段 A1E 的长 1 3 (1)证明 如图， 以 A 为原点建立空间直角坐标系， 依题意可得 A(0,0， 0)， B(0,1,0)， C(2， 0,0)， D(1，2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，2，2)，又因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D 的中点， 得 M，N(1，2,1) (1， 1 2，1) 可得 n(0,0,1)为平面 ABCD 的法向量，由此可得n0，又因为直线MN (0， 5 2，0) MN MN平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD. (2)解 (1，2,2)，

20、(2,0,0)，设 n1(x，y，z)为平面 ACD1的法向量，则AD1 AC Error!Error!即Error!Error! 不妨设 z1，可得 n1(0,1,1) 设 n2(x，y，z)为平面 ACB1的法向量，则 Error!Error! 又(0,1,2)，AB1 得Error!Error!不妨设 z1，可得 n2(0，2,1) 因此有 cosn1，n2， n1n2 |n1|n2| 10 10 于是 sinn1，n2. 310 10 所以，平面 ACD1与平面 ACB1的夹角的正弦值为. 310 10 (3)解 依题意，可设，其中 0,1，A1E A1B1 则 E(0，2)，从而(1，2,1)，又 n(0,0,1)为平面 ABCD 的法向量，NE 由已知，得 cos，nNE NE n |NE |n| ， 1 122212 1 3 整理得 2430， 又因为 0,1，解得 2，7 所以，线段 A1E 的长为2.7