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1、课时作业课时作业 50 圆的方程 圆的方程 一、选择题 1已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 xy30 相切，则圆 C 的方程是( A ) A(x1)2y22 B(x1)2y28 C(x1)2y22 D(x1)2y28 解析 ： 直线 xy10 与 x 轴的交点为(1,0)根据题意，圆 C 的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线 xy30 相切，所以半径为 圆心到切线的距离，即 rd，则圆的方程为(x1)2 |103| 1212 2 y22.故选 A. 2 (2019河北邯郸联考)以(a,1)为圆心， 且与两条直线 2xy4 0 与 2xy60 同时相切的圆的标
2、准方程为( A ) A(x1)2(y1)25 B(x1)2(y1)25 C(x1)2y25 Dx2(y1)25 解析 ： 因为两平行直线2xy40与2xy60的距离为d 2.故所求圆的半径为r， 所以圆心(a,1)到直线2xy |64| 5 55 40 的距离为， 即 a1 或 a4.又因为圆心(a,1)到直线5 |2a3| 5 2xy60的距离也为r， 所以a1.因此所求圆的标准方程为(x5 1)2(y1)25.故选 A. 3已知直线 l：xmy40，若曲线 x2y26x2y10 上 存在两点 P，Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为( D ) A2 B2 C1 D1 解析：因为曲线 x2
3、y26x2y10 表示的是圆，其标准方程 为(x3)2(y1)29，若圆(x3)2(y1)29 上存在两点 P，Q 关 于直线 l 对称， 则直线 l： xmy40 过圆心(3,1)， 所以3m4 0，解得 m1. 4(2019贵阳市监测考试)经过三点 A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的 圆与 y 轴交于 M，N 两点，则|MN|( A ) A2 B232 C3 D4 解析：根据 A，B 两点的坐标特征可知圆心在直线 x1 上，设 圆心为 P(1， m)， 则半径 r|m2|， 所以(m2)222m2， 解得 m0， 所以圆心为 P(1,0)， 所以圆的方程为(x1)2y24， 当 x
4、0 时， y ，所以|MN|2.33 5 (2019西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x1)2y2 1 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为( D ) A(，) B，3333 C(，) D， 3 3 3 3 3 3 3 3 解析：解法 1：数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的 方程为 yk(x3)，则圆心(1,0)到直线 yk(x3)的距离应小于等于 半径 1，即1，解得k，故选 D. |2k| 1k2 3 3 3 3 解法 2： 数形结合可知，直线 l 的斜率存在，设为 k，当 k1 时， 直线 l的方程为 xy30， 圆心(1,0)到直线l 的距离为 |103
5、| 1212 1， 直线与圆相离， 故排除 A， B； 当 k时， 直线 l 的方程为 x2 3 3 y30，圆心(1,0)到直线 l 的距离为1，直线与3 |1 3 03| 12 32 圆相切，排除 C，故选 D. 6 (2019河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中， 以点(0,1) 为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中， 半径最大的圆的 标准方程为( B ) Ax2(y1)24 Bx2(y1)22 Cx2(y1)28 Dx2(y1)216 解析：直线 xby2b10 过定点 P(1,2)，如图 圆与直线 xby2b10 相切于点 P 时，圆的半径最大，为 ，此时圆的标准
6、方程为 x2(y1)22，故选 B.2 二、填空题 7已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，)在圆 C 上，5 且圆心到直线 2xy0 的距离为， 则圆 C 的方程为(x2)2y29. 4 5 5 解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0， 所以圆心到直线 2xy0 的距离 d，解得 a2， 2a 5 4 5 5 所以圆 C 的半径 r|CM|3，45 所以圆 C 的方程为(x2)2y29. 8(2019贵阳市摸底考试)过点 M(2,2)的直线 l 与坐标轴的正方 向分别相交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 若OAB 的面积为 8， 则 OA
7、B 外接圆的标准方程是(x2)2(y2)28. 解析 ： 设直线 l 的方程为 1(a0， b0)， 由直线 l 过点 M(2,2)， x a y b 得 1.又 SOAB ab8，所以 a4，b4，所以OAB 是等腰 2 a 2 b 1 2 直角三角形，且 M 是斜边 AB 的中点，则OAB 外接圆的圆心是点 M(2,2)， 半径|OM|2， 所以OAB外接圆的标准方程是(x2)2(y2 2)28. 9(2019湖南湘东五校联考)圆心在抛物线 y x2(x0) 因为圆 C 经过 A，B 两点，所以 222 ( 7 4) ( 17 4 b) ( 31 8) 2， ( 33 8 b) 即bb2b
8、b2，解得 b4. 7 16 289 16 17 2 31 64 1 089 64 33 4 又易知 r2 22 ， ( 7 4) ( 17 4 4) 1 2 所以圆 C 的方程为 x2(y4)2 . 1 2 (2)当直线 l 的斜率不存在时， 由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x， 2 2 此时直线 l 与 C1交于 P，Q 两点，不妨设 P 点在 Q 点的上方，则 P， 2 2 ， Q， 或 P， ， Q， 则0， 所以 OP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 2 ， 2 2) OP OQ OQ，满足题意 当直线 l 的斜率存在时，易知其斜率不为 0， 设直线 l 的方程为
9、 ykxm(k0，m0)， OPOQ 且 C1的半径为 1， O 到 l 的距离为， 2 2 又 l 与圆 C 相切，Error! 由知|m|m4|，m2， 代入得 k，7 l 的方程为 yx2.7 综上，l 的方程为 x或 yx2. 2 2 7 12(2019江西新余五校联考)已知圆 O：x2y29，过点 C(2,1) 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，直线 l 的 方程为( D ) Axy30 或 7xy150 Bxy30 或 7xy150 Cxy30 或 7xy150 Dxy30 或 7xy150 解析：当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x2，则
10、P，Q 的 坐标为(2，)，(2，)，所以 SOPQ 222.当直线 l55 1 2 55 的斜率存在时， 设l的方程为y1k(x2)， 则圆心到直线PQ (k 1 2) 的距离 d，由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ |12k| 1k2 9d2 |PQ|d 2d 1 2 1 2 9d29d2 d 2 ，当且仅当 9d2d2，即 d2 时，SOPQ取得 ( 9d2d2 2 ) 2 9 2 9 2 最大值 .因为 20，a2，且 a0， 解得 x1， 42a 2 故抛物线 C 与 x 轴交于 A(1， 0)， B(1， 0)两点 42a 2 42a 2 故可设圆 E 的圆心为 M(1，t)， 由|MP|2|MA|2， 得 12(ta)2()2t2， 42a 2 解得 t ， a 2 1 4 则圆 E 的半径 r|MP|. 11 4 a 2 2 所以圆 E 的方程为(x1)2(y )21( )2， a 2 1 4 1 4 a 2 所以圆 E 的一般方程为 x2y22x(a )y 0， 1 2 a 2 即 x2y22x ya( y)0. 1 2 1 2 由Error! 得Error!或Error! 故圆 E 过定点(0， )，(2， ) 1 2 1 2