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1、课时作业课时作业 6 函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1 下列函数中， 既是奇函数又在(0， )上单调递增的是( D ) Ayexex Byln(|x|1) Cy Dyx sinx |x| 1 x 解析 ： 选项 A， B 显然是偶函数， 排除 ； 选项 C 是奇函数， 但在(0， )上不是单调递增函数，不符合题意 ； 选项 D 中，yx 是奇函数， 1 x 且 yx 和 y 在(0，)上均为增函数，故 yx 在(0，) 1 x 1 x 上为增函数，所以选项 D 正确 2设函数 f(x)为偶函数，当 x(0，)时，f(x)log2x，则 f( )( B )2 A B.
2、1 2 1 2 C2 D2 解析：由已知得 f()f()log2 .故选 B.222 1 2 3(2019唐山模拟)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x) Error!则 g(f(7)( D ) A3 B3 C2 D2 解析：因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 f(x)Error! 所以 f(7)f(7)log2(71)3， 所以 g(f(7)g(3)f(3)f(3)log2(31)2，故 选 D. 4已知函数 f(x)x3sinx1(xR)，若 f(a)2，则 f(a)的值 为( B ) A3 B0 C1 D2 解析 ： 设 F(x)f(x)1x3sinx，显然
3、 F(x)为奇函数，又 F(a) f(a)11，所以 F(a)f(a)11，从而 f(a)0. 5 已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 当 x(0,1)时， f(x) 3x1，则 f( D ) ( 2 019 2 ) A.1 B.133 C1 D133 解析：由题可知 f(x2)f(x)f(x)，所以 f ( 2 019 2 ) ffff. (1 008 3 2) ( 3 2) ( 3 2) ( 1 2) 又当 x(0,1)时，f(x)3x1，所以 f1， ( 1 2) 3 则 ff1. ( 2 019 2 )( 1 2) 3 6 (2019北京石景山高三模拟)已知函数 f
4、(x)Error!则下列结论 正确的是( D ) Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，) 解析 ： 因为 f(x)Error!f(x)， 所以 f(x)是奇函数 ； x0 时 f(x) sinx 有增有减， 所以 B 错 ； x0， f(x)x3x 不为周期函数， C 错 ； x0， f(x)x3x0； x0 时 f(x)sinx1,1， 所以 f(x)的值域为1， )，故选 D. 7 (2019江西联盟质检)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数，记 af(2)，bf(log2)，cf(m1)，则 a， b，c 的
5、大小关系为( D ) Aa1，|log 2|log32|cf(m1)bf(log2)，故选 D. 8(2019广东综合模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，f(x)ex(x1)；函数 f(x)有 3 个零点；f(x)0 的解集为(，1)(0,1)；x1，x2R，都有|f(x1)f(x2)|0 时，则x0，解得10 时， 由 f(x)ex(x1)0， 解得 x1， 故 f(x)0 的解集为(1,0)(1， )， 所以是不正确的 ； 因为当 x0 时， 由 f(x)ex(x1)， 图象过点(1,0)， 又 f(x)ex(2x)， 可知当 00， 当 x2 时， f(x)
6、0 时，f(x)lnx，则 f的值 (f( 1 e2) 为ln2. 解析：由已知可得 fln 2， ( 1 e2) 1 e2 所以 ff(2)又因为 f(x)是奇函数， (f( 1 e2) 所以 ff(2)f(2)ln2. (f( 1 e2) 10若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a . 3 2 解析：由于 f(x)f(x)，ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化 简得 2ax3x0(xR)，则 2a30，a . 3 2 11 (2019广西柳州联考)已知函数f(x)对任意xR都有f(x6) f(x)2f(3)， yf(x1)的图象关于点(1,0)对称且 f(2)4， 则
7、f(22)4. 解析：因为 yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，所以 yf(x)的图 象关于点(0,0)对称， 即函数 f(x)为奇函数， 由 f(x6)f(x)2f(3)得 f(x 12)f(x6)2f(3)， 所以f(x12)f(x)， T12， 因此f(22)f(2) f(2)4. 12 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(x1)是偶函数， 当 x(2,4) 时，f(x)|x3|，则 f(1)f(2)f(3)f(4)0. 解析 ： 因为 f(x)为奇函数， f(x1)为偶函数， 所以 f(x1)f(x 1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(
8、x)， 所以函数 f(x)的周期为 4， 所以 f(4)f(0)0， 由题知 f(3)0， 又 f(3) f(1)f(1)， 所以 f(1)0.在 f(x1)f(x1)中， 令 x1， 可得 f(2) f(1)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0. 13 (2019河南洛阳一中高三一模)已知函数 yf(x)满足 yf(x) 和 yf(x2)是偶函数，且 f(1) ，设 F(x)f(x)f(x)，则 F(3) 3 ( B ) A. B. 3 2 3 C D.4 3 解析 ： 由 yf(x)和 yf(x2)是偶函数知 f(x)f(x)， 且 f(x2) f(x2)， 则f(x2)f(x2)
9、， 则f(x)f(x4) 所以F(3)f(3)f( 3)2f(3)2f(1)2f(1).故选 B. 2 3 14 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 且对任意的 xR 恒有 f(x 1)f(x1)，已知当 x0,1时，f(x)2x，则有 2 是函数 f(x)的周期； 函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； 函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是. 解析：在 f(x1)f(x1)中，令 x1t，则有 f(t2)f(t)，因 此 2 是函数 f(x)的周期，故正确； 当 x0,1时，f(x)2x是增函数， 根据函数的奇偶性知，f(x)
10、在1,0上是减函数，根据函数的周 期性知，函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确 ； 由知，f(x)在0,2上的最大值 f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值 f(x)min f(0)f(2)201 且 f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2， 最小值是 1，故错误 尖子生小题库供重点班学生使用，普通班学生慎用 15(2019江西临川二中、新余四中联考)已知函数 f(x)|2xm| 的图象与函数 yg(x)的图象关于 y 轴对称， 若函数 yf(x)与函数 y g(x)在区间1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数 m 的取值范 围是( B
11、 ) A.4，) B. (， 1 2 1 2，2 C2,4 D4，) 解析：因为函数 yg(x)与 f(x)|2xm|的图象关于 y 轴对称，所 以 g(x)|2xm|，函数 yf(x)与函数 yg(x)在区间1,2上同时单调 递增或同时单调递减， 所以函数 f(x)|2xm|和函数 g(x)|2xm|在 1,2上单调性相同， 因为 y2xm 和函数 y2xm 的单调性相反， 所以(2xm)(2xm)0 在1,2上恒成立，即 1m(2x2x)m20 在1,2上恒成立， 即 2xm2x在1,2上恒成立， 得 m2， 故选 B. 1 2 16 (2019河南省中原名校联考)已知函数 f(x)2si
12、n2(x )， g(x) 4 1cos的图象在区间( m， m)上有且只有 9 个交点， 记为 ( x 2 4) 2 2 (xi，yi)(i1,2，9)，则(xiyi) 9. 9 i1 9 2 解析 ： 由 g1cos1， 可得函数 g(x)的图象关于点 ， 1 ( 2) ( 4 4) 2 对称 又 f(x)2sin21cos(2x )1sin2x，可得 f1，故 (x 4) 2 ( 2) 函数 f(x)的图象关于点对称故 f(x)与 g(x)图象的交点也关于 ( 2，1) 对称， ( 2，1) 所以(xiyi) ii 9 i1 9 i1 x 9 i1 y 4(21)19. 4 (2 2) 2 9 2