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1、课时作业课时作业 54 抛物线 抛物线 一、选择题 1已知抛物线 x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的 焦点坐标为( A ) A(0,1) B(0,2) C(1,0) D(2,0) 解析：由抛物线 x22py(p0)的准线为 y 1，得 p2， p 2 故所求抛物线的焦点坐标为(0,1) 2 (2019河北五名校联考)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点， 且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( B ) Ay212x By28x Cy26x Dy24x 解析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2，
2、y2)， 根据抛物线的定义可知|AB|(x1 x2)p8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2， 2， x1x2 x1x2 2 4，p4，所求抛物线的方程为 y28x.故选 B. 3设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A， 过抛物线 C 上一点 P 作准线 l 的垂线， 垂足为 Q.若QAF 的面积为 2， 则点 P 的坐标为( A ) A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4) C(1,2) D(1,4) 解析：设点 P 的坐标为(x0，y0)因为QAF 的面积为 2，所以1 2 2|y0|2， 即|y0|2， 所以 x01， 所以点 P 的坐标为(
3、1,2)或(1， 2) 4(2019福州四校联考)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，对称 轴为坐标轴， 直线 l 过抛物线 C 的焦点 F， 且与抛物线的对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点， 且|AB|8， M 为抛物线 C 准线上一点， 则ABM 的面积为( A ) A16 B18 C24 D32 解析：不妨设抛物线 C：y22px(p0)，如图，因为直线 l 过抛物 线 C 的焦点， 且与抛物线的对称轴垂直， 所以线段 AB 为通径， 所以 2p 8，p4，又 M 为抛物线 C 的准线上一点，所以点 M 到直线 AB 的 距离即焦点到准线的距离，为 4，所以ABM 的面积为 8
4、416， 1 2 故选 A. 5(2019陕西质量检测)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的 光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对 称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点 若抛物线 y2 4x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上 的点 A 反射后， 再经抛物线上的另一点 B 射出， 则直线 AB 的斜率为( B ) A. B 4 3 4 3 C D 4 3 16 9 解析 ： 将 y1 代入 y24x，可得 x ，即 A( ，1)由抛物线的 1 4 1 4 光学性质可知，直线 AB 过焦点 F(1,0)，所以直线 AB 的斜率
5、 k 10 1 41 .故选 B. 4 3 6抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 N 在 x 轴上且在点 F 的 右侧，线段 FN 的垂直平分线 l 与抛物线在第一象限的交点为 M，直 线 MN 的倾斜角为 135， O 为坐标原点， 则直线 OM 的斜率为( A ) A22 B2122 C.1 D3422 解析：解法 1：设点 M(，m)(m0)，因为点 M 在 FN 的垂直平 m2 2p 分线上且点 N 在焦点 F 的右侧，所以 N(，0)，又 MN 的倾斜 2m2p2 2p 角为 135， 所以1， 解得 m(1)p， 所以点 M(p， ( 2pm p2m2 2 32 2 2 1
6、)p)，所以直线 OM 的斜率为22，故选 A.2 2 21 32 2 2 解法 2： 如图， 设直线 L 为抛物线的准线， 过点 M 向准线引垂线， 垂足为 A，交 y 轴于点 B，设|MF|t，因为点 M 在 FN 的垂直平分线 上，且直线 MN 的倾斜角为 135，所以直线 MF 的倾斜角为 45，由 抛物线的定义得 t|MA|pt， 即 t(2)p， 所以|OB| 2 2 2p 21 2 t(1)p，|BM|t ，设直线 OM 的倾斜角为 ， 2 2 2 p 2 32 2 p 2 则OMB，所以直线 OM 的斜率为 tan2 |OB| |MB| 2 21 32 2 2 2，故选 A.
7、7如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线 及其准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程 为( B ) Ay2 x By23x 3 2 Cy2 x Dy29x 9 2 解析：如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，交准线于点 E，D， 设|BF|a，则|BC|2a， 由抛物线的定义得，|BD|a， 故BCD30， 在直角三角形 ACE 中， 因为|AE|AF|3， |AC|33a， 2|AE| |AC|， 所以 633a，从而得 a1， 因为 BDFG，所以. |DB| |FG| |BC| |FC| 即 ，解得 p ， 1 p 2 3 3
8、2 因此抛物线方程为 y23x. 二、填空题 8已知点 P 在抛物线 y24x 上，且点 P 到 y 轴的距离与其到焦 点的距离之比为 ，则点 P 到 x 轴的距离为 2. 1 2 解析 ： 设点 P 的坐标为(xP， yP)， 抛物线 y24x 的准线方程为 x 1，根据抛物线的定义，点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离， 故 ，解得 xP1， xP xP1 1 2 所以 y 4，所以|yP|2. 2 P 9(2019合肥市质量检测)抛物线 E： y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴交于点 A， 过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ， 垂足为 Q.若四
9、边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为(4,4) 解析 ： 设P(x， y)， 其中x0， y0， 由抛物线的定义知|PF|PQ|x 1.根据题意知|AF|2，|QA|y， 则Error!Error!或Error!(舍去) 所以点 P 的坐标为(4,4) 10 (2019潍坊市统一考试)已知抛物线 y24x 与直线 2xy3 0 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 设 OA， OB 的斜率分别为 k1， k2， 则 的值为 . 1 k1 1 k2 1 2 解析：设 A( ，y1)，B( ，y2)，易知 y1y20，则 k1 ，k2 ， y2 1 4 y2 2 4 4 y1
10、4 y2 所以 ， 1 k1 1 k2 y1y2 4 将 x代入 y24x，得 y22y60， y3 2 所以 y1y22， . 1 k1 1 k2 1 2 三、解答题 11 过抛物线 C： y24x 的焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且|AB|8. (1)求直线 l 的方程； (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D， 抛物线的准线与 x 轴的交点为 E， 求证：B，D，E 三点共线 解：(1)F 的坐标为(1,0)，则 l 的方程为 yk(x1)，代入抛物线 方程 y24x 得 k2x2(2k24)xk20， 由题意知 k0，且(2k24)24k2k21
11、6(k21)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2，x1x21， 2k24 k2 由抛物线的定义知|AB|x1x228， 6，k21，即 k1， 2k24 k2 直线 l 的方程为 y(x1) (2)证明 ： 由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x1，y1)，又 E( 1,0)， kEBkED y2 x21 y1 x11 ， y2 x 11y1 x 2 1 x 11x2 1 y2(x11)y1(x21)y2( 1)y1( 1)(y1y2)(y1 y2 1 4 y2 2 4 y1y2 4 y2)(y1y2)(1) y1y2 4 由(1)知 x1x21， (y1y2)216x1x
12、216， 又 y1与 y2异号，y1y24， 即10，kEBkED， y1y2 4 又 ED 与 EB 有公共点 E， B，D，E 三点共线 12(2019洛阳高三统考)已知 F 是抛物线 C1：y22px(p0)的焦 点，曲线 C2是以 F 为圆心， 为半径的圆，直线 4x3y2p0 与曲 p 2 线 C1，C2从上到下依次相交于点 A，B，C，D，则( A ) |AB| |CD| A16 B4 C. D. 8 3 5 3 解析 ： 解法1： 因为直线4x3y2p0过C1的焦点F(C2的圆心)， 故|BF|CF| ， p 2 所以. |AB| |CD| |AF|p 2 |DF|p 2 由抛物
13、线的定义得|AF| xA，|DF| xD. p 2 p 2 由Error!整理得 8x217px2p20， 即(8xp)(x2p)0，可得 xA2p，xD ， p 8 故16.故选 A. |AB| |CD| xA xD 2p p 8 解法 2：同解法 1 得. |AB| |CD| |AF|p 2 |DF|p 2 过 A，D 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，D1，该直线 AF 交准线于点 E，准线交 x 轴于点 N，则由 FNAA1 得， |EF| |EA| |NF| |AA1| 由直线 AF 的斜率为 得 tanA1AF ， 4 3 4 3 故 .又|AA1|AF|， |AA1| |AE
14、| 3 5 故 ， |NF| |AA1| |EF| |EA| 2 5 所以|AF|AA1| |NF| p. 5 2 5 2 同理可得，又|DD1|DF|， |DD1| |NF| |ED| |EF| 所以， |DD1| |NF| 5 3|NF|DD 1| 5 3|NF| 故|DF|DD1| |NF| p， 5 8 5 8 故 16.故选 A. |AB| |CD| 5 2p p 2 5 8p p 2 2 1 8 13 (2019河北名校联考)如果点 P1， P2， P3， P10是抛物线 y2 2x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，x3，x10，F 是抛物线的 焦点， 若 x1x2x3x1
15、05， 则|P1F|P2F|P3F|P10F| 10. 解析 ： 由抛物线的定义可知， 抛物线 y22px(p0)上的点 P(x0， y0) 到焦点 F 的距离|PF|x0 ，在 y22x 中，p1，所以|P1F|P2F| p 2 |P10F|x1x2x105p10. 14 (2019惠州市调研考试)在平面直角坐标系xOy中， 过点C(2,0) 的直线与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)求证：y1y2为定值； (2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长 为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理 由 解 ：
16、 (1)证法 1： 当直线 AB 垂直于 x 轴时， 不妨取 y12， y222 ，所以 y1y28(定值)2 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 yk(x2)， 由Error!得 ky24y8k0， 所以 y1y28. 综上可得，y1y28 为定值 证法 2：设直线 AB 的方程为 myx2. 由Error!得 y24my80， 所以 y1y28. 因此有 y1y28 为定值 (2)存在理由如下： 设存在直线 l：xa 满足条件， 则 AC 的中点 E(， )， x12 2 y1 2 |AC|， x 1 2 2y2 1 因此以 AC 为直径的圆的半径 r |AC|， 1
17、 2 1 2 x 1 2 2y2 1 1 2 x2 14 点 E 到直线 xa 的距离 d|a|， x12 2 所以所截弦长为 2 r2d2 2 1 4 x 2 14x 12 2 a 2 x2 14x122a2 ，41ax18a4a2 当 1a0，即 a1 时，弦长为定值 2，这时直线的方程为 x1. 尖子生小题库供重点班学生使用，普通班学生慎用 15 (2019福州市测试)已知圆 C： (x5)2(y )28， 抛物线 E ： 1 2 x22py(p0)上两点 A(2，y1)与 B(4，y2)，若存在与直线 AB 平行的 一条直线和 C 与 E 都相切，则 E 的准线方程为( C ) Ax By1 1 2 Cy Dx1 1 2 解析：由题意知，A(2， )，B(4， )，kAB ，设 2 p 8 p 8 p 2 p 42 1 p 抛物线 E 上的切点为(x0，y0)， 由 y，得 y ， ， x2 2p x p x0 p 1 p x01，切点为(1，)， 1 2p 切线方程为 y (x1)， 1 2p 1 p 即 2x2py10， 切线 2x2py10 与圆 C 相切，圆心 C(5， )到切线的距 1 2 离为 2，即2，2 |9p| 44p2 2 31p218p490， (p1)(31p49)0， p0，p1. 抛物线 x22y 的准线方程为 y ，故选 C. 1 2