《2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、课时作业课时作业 56 最值、范围、证明问题 最值、范围、证明问题 第一次作业 基础巩固练第一次作业 基础巩固练 1 已知动圆 C 与圆 C1： (x2)2y21 相外切， 又与直线 l： x 1 相切 (1)求动圆圆心轨迹 E 的方程； (2)若动点 M 为直线 l 上任一点，过点 P(1,0)的直线与曲线 E 相 交于 A，B 两点，求证：kMAkMB2kMP. 解 ： (1)由题知， 动圆 C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线 x2 的距离， 所以由抛物线的定义可知， 动圆 C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦 点，x2 为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹 E 的方程为 y28x. (2)
2、证明：由题知当直线 AB 的斜率为 0 时，不符合题意，所以可 设直线AB的方程为xmy1， 联立Error!消去x， 得y28my80， 64m2320 恒成立， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(1，t)， 则 y1y28m，y1y28，x1x28m22，x1x21， 而 2kMP2t， t 11 kMAkMB y1t x11 y2t x21 y 1x2y2x1y1y2tx1x22t x1x2x1x21 1 8y 1y2 y 1y2 y 1y2tx1x22t x1x2x1x21 t， t8m2 4 8m24 所以 kMAkMB2kMP. 2. 如图，已知椭圆 E：1(ab0)的左
3、顶点为 A，右焦点 x2 a2 y2 b2 为 F(1,0)，过点 A 且斜率为 1 的直线交椭圆 E 于另一点 B，交 y 轴于 点 C，6. AB BC (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，连接 MO(O 为坐 标原点)并延长交椭圆 E 于点 Q， 求MNQ 面积的最大值及取最大值 时直线 l 的方程 解：(1)由题知 A(a,0)，C(0，a)，故 B， ( a 7， 6a 7) 代入椭圆 E 的方程得1， 结合 a2b21， 得 a24， b2 1 49 36a2 49b2 3， 故椭圆 E 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)
4、由题知，直线 l 不与 x 轴重合，故可设 l： xmy1，代入 x2 4 1 得(3m24)y26my90，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， y2 3 则 y1y2，y1y2， 6m 3m24 9 3m24 连接 ON，由 Q 与 M 关于原点对称知， SMNQ2SMON|y1y2| y 1y224y1y2 12 m2 1 3m24 ， 12 3 m2 1 1 m21 1，m21 34，m21 1 m21 SMNQ3， 当且仅当 m0 时，等号成立， MNQ 面积的最大值为 3，此时直线 l 的方程为 x1. 3(2019河南洛阳统考)已知抛物线 C： x22py(p0)，过焦点 F
5、 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设 M 为 AB 的中点， 过 M 作 l 的垂线， 垂足为 N.证明 ： 直线 AN 与抛物线相切 解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p. SABDp21. p1，故抛物线 C 的方程为 x22y. (2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykx ，A p 2 ，B. (x 1，x 2 1 2p) (x 2，x 2 2 2p) 由Error!消去 y 整理得，x22kpxp20. x1x22kp，x1x2p2. M，N. (kp，k
6、2pp 2) (kp， p 2) kAN . x2 1 2p p 2 x1kp x2 1 2p p 2 x1x 1x2 2 x2 1p2 2p x1x2 2 x2 1x1x2 2p x1x2 2 x1 p 又 x22py，y . x p 抛物线 x22py 在点 A 处的切线斜率 k . x1 p 直线 AN 与抛物线相切 4已知椭圆 E：1(ab0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭 x2 a2 y2 b2 圆过定点 M. (1， 2 2) (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点Q(2,0)， 过点F2作直线l与椭圆E交于A， B两点， 且 F2A ，2，1，以 QA，QB 为邻边作平
7、行四边形 QACB，求对 F2B 角线 QC 长度的最小值 解：(1)由题易知 c1，1， 1 a2 1 2b2 又 a2b2c2，解得 b21，a22， 故椭圆 E 的标准方程为 y21. x2 2 (2)设直线 l：xky1，由Error! 得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则可得 y1y2，y1y2. 2k k22 1 k22 (x1x24，y1y2) QC QA QB ， ( 4k2 1 k22 ， 2k k22) |2|216，由此可知，|2的 QC QA QB 28 k22 8 k 2 2 2 QC 大小与 k
8、2的取值有关 由可得 y1y2， ， (y1y20) F2A F2B y1 y2 1 y2 y1 从而 1 y1 y2 y2 y1 ， y 1y222y1y2 y1y2 6k24 k22 由 2， 1得， 从而 2， ( 1 ) 5 2，2 5 2 6k24 k22 解得 0k2 . 2 7 令 t，则 t， 1 k22 7 16， 1 2 |28t228t168 2 ，当 t 时，|QC|min2. QC (t 7 4) 17 2 1 2 5(2019合肥模拟)已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C， 其上一点 P 到两个焦点 F1，F2的距离之和为 4，离心率为. 3 2 (1)求椭圆
9、 C 的方程； (2)若直线 ykx1 与曲线 C 交于 A，B 两点，求OAB 面积的 取值范围 解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)， y2 a2 x2 b2 由条件知，Error! 解得 a2，c，b1，3 故椭圆 C 的方程为 x21. y2 4 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error! 得(k24)x22kx30， 故 x1x2，x1x2， 2k k24 3 k24 设OAB 的面积为 S， 由 x1x20， 1 t2 t21 t2 yt 在 t3，)上单调递增，t ， 1 t 1 t 10 3 0b0)的左、 x2 a2 y2 b2 右焦点分别为 F1，F
10、2，且离心率为，过左焦点 F1的直线 l 与 C 交 2 2 于 A，B 两点，ABF2的周长为 4 . 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)当ABF2的面积最大时，求 l 的方程 解：(1)由椭圆的定义知 4a4，a，22 由 e 知 cea1，b2a2c21. c a 所以椭圆 C 的方程为 y21. x2 2 (2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，|F1F2|2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l： xmy1， 联立 xmy1 与 y21， x2 2 得(m22)y22my10，|y1y2|， 2 2 m2 1 m22 SABF22 2 m21 m 2 2 2 2，2
11、1 m21 1 m212 当 m211，m0 时，SABF2最大为，l：x1.2 2(2019广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的 椭圆 M 的离心率为 ，椭圆上异于长轴顶点的任意点 A 与左、右两焦 1 2 点 F1，F2构成的三角形中面积的最大值为 . 3 (1)求椭圆 M 的标准方程； (2)若 A 与 C 是椭圆 M 上关于 x 轴对称的两点，连接 CF2与椭圆 的另一交点为 B，求证：直线 AB 与 x 轴交于定点 P，并求的 PA F2C 取值范围 解 ： (1)由题意知 ， 2cb， a2b2c2， 解得 c1， a2， b c a 1 2 1 2 3 .所以椭圆
12、 M 的标准方程是 1.3 x2 4 y2 3 (2)证明 ： 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，直线 AB： ykxm. 将 ykxm，代入 1 得， x2 4 y2 3 (4k23)x28kmx4m2120. 则 x1x2，x1x2. 8km 4k23 4m212 4k23 因为 B，C，F2共线，所以 kBF2kCF2， 即， kx2m x21 kx1m x11 整理得 2kx1x2(mk)(x1x2)2m0， 所以 2k(mk)2m0， 4m212 4k23 8km 4k23 解得 m4k. 所以直线 AB：yk(x4)，与 x 轴交于定点 P(4,0) 因为
13、y 3 x ， 所以(x14， y1)(x11， y1)x 5x1 2 1 3 4 2 1 PA F2C 2 1 4y x 5x11 2 . 2 1 7 4 2 1 7 4(x 110 7) 18 7 因为2|FF|2， 由椭圆的定义知， 2a4， c1， 所以动点 P 的轨迹方程 E 为 1. x2 4 y2 3 (2)设 P 点坐标为(m， n)(n0)， 则 Q 点的坐标为(m， n)， 且 3m2 4n212， 所以直线 QA：y(x4)，即 nx(4m)y4n0， n 4m 直线 PF：y(x1)， n m1 即 nx(m1)yn0. 联立方程组Error! 解得 xB，yB， 5m
14、8 2m5 3n 2m5 则 x2 B 4 y2 B 3 5m82 42m52 3n2 32m52 25m 280m6412n2 42m52 1， 16m280m100 42m52 所以点 B 恒在椭圆 E 上 设直线 PF：xty1，P(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由Error!消去 x 整理得(3t24)y26ty90，所以 y1y2 ，y1y2， 6t 3t24 9 3t24 所以|y1y2| y 1y224y1y2 ， 6t 3t24 2 36 3t24 12 t2 1 3t24 从而 SPAB |FA|y1y2| 1 2 18 t2 1 3t24 . 18 t2 1 3t21
15、1 18 3 t 21 1 t21 令 (1)， 则函数 g()3 在1， )上单调递增，t21 1 故 g()ming(1)4，所以 SPAB ，即当 t0 时，PAB 的面 18 4 9 2 积取得最大值，且最大值为 . 9 2 4 (2019河北邢台模拟)已知椭圆 W：1(ab0)的焦距与 y2 a2 x2 b2 椭圆 ： y21 的短轴长相等，且 W 与 的长轴长相等，这两个 x2 4 椭圆在第一象限的交点为 A，直线 l 与直线 OA(O 为坐标原点)垂直， 且 l 与 W 交于 M，N 两点 (1)求 W 的方程； (2)求MON 的面积的最大值 解：(1)由题意可得Error!
16、Error!故 W 的方程为 1. y2 4 x2 3 (2)联立Error!得Error! . y2 x2 1 9 又 A 在第一象限，kOA . y x 1 3 故可设 l 的方程为 y3xm. 联立Error! 得 31x218mx3m2120. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2，x1x2. 18m 31 3m212 31 |MN|. 132 x 1x224x1x2 10 4 3 31m2 31 又 O 到直线 l 的距离为 d， |m| 10 则MON 的面积 S d|MN| 1 2 ， 2 3|m| 31m2 31 S(m231m2)，当且仅当 m231 2 3
17、 m231m2 31 3 31 3 m2，即 m2时，满足 0， 31 2 故MON 的面积的最大值为 . 3 5(2018天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为 F，上顶点 x2 a2 y2 b2 为 B，已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6. 5 3 2 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直 线 AB 交于点 Q.若sinAOQ(O 为原点)，求 k 的值 |AQ| |PQ| 5 2 4 解：(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2b2c2， c2 a2 5 9 可得 2a3b.由已知可得，|
18、FB|a，|AB|b，2 由|FB|AB|6，可得 ab6，从而 a3，b2.2 所以，椭圆的方程为 1. x2 9 y2 4 (2)设点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2) 由已知有 y1y20， 故|PQ|sinAOQy1y2. 又因为|AQ|， y2 sinOAB 而OAB ，故|AQ|y2. 4 2 由sinAOQ，可得 5y19y2. |AQ| |PQ| 5 2 4 由方程组Error! 消去 x，可得 y1 . 6k 9k24 易知直线 AB 的方程为 xy20， 由方程组Error!消去 x，可得 y2. 2k k1 由5y19y2， 可得5(k1)3， 两边平方， 整理得56k250k9k24 110，解得 k ，或 k. 1 2 11 28 所以，k 的值为 或. 1 2 11 28