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1、课时作业 72 参数方程 1已知 P 为半圆 C：Error!( 为参数，0)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点 M 的极坐标； (2)求直线 AM 的参数方程 解：(1)由已知，点 M 的极角为 ， 3 且点 M 的极径等于 ， 3 故点 M 的极坐标为. ( 3， 3) (2)由(1)知点 M 的直角坐标为，A(1,0) ( 6， 3 6) 故直线 AM 的参数方程为 Error!(t 为参数) 2(2019贵阳模拟)在直角坐标系 x
2、Oy 中，曲线 C1的参数方程为 Error!(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建 立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin. (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)若A， B分别为曲线C1， C2上的动点， 求当AB取最小值时AOB 的面积 解 ： (1)由Error!(t 为参数)得 C1的普通方程为(x4)2(y5)29， 由 2sin，得 22sin， 将 x2y22，ysin 代入上式， 得 C2的直角坐标方程为 x2(y1)21. (2)如图，当 A，B，C1，C2四点共线，且 A，B 在线段 C1，C2上 时，|AB|取得
3、最小值，由(1)得 C1(4,5)，C2(0,1)，则 kC1C21， 51 40 直线 C1C2的方程为 xy10， 点 O 到直线 C1C2的距离 d， 1 2 2 2 又|AB|C1C2|13 444， 4025122 SAOB d|AB| (44)2. 1 2 1 2 2 2 22 3(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率 解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.
4、x2 4 y2 16 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 ytanx2tan， 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程， 整理得关于t的方程(1 3cos2)t24(2cossin)t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内， 所以有两个 解， 设为 t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t2，故 2cossin0，于是直 42cossin 13cos2 线 l 的斜率 ktan2. 4(2019昆明调研测试)在直角坐标系 xOy 中，已知倾斜角为 的直线 l 过点 A(2,1)以坐标原点为极点，x 轴的正半
5、轴为极轴建立 极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 2sin，直线 l 与曲线 C 分别交 于 P，Q 两点 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2|AP|AQ|，求直线 l 的斜率 k. 解：(1)直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数) 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y. (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 t2 (4cos)t30， 由 (4cos)2430，得 cos2 ， 3 4 由根与系数的关系，得 t1t24cos，t1t23， 由参数的几何意义知，|AP|t1|， |AQ|t2|，|PQ|t1t2|，
6、 由题意知，(t1t2)2t1t2，则(t1t2)25t1t2， 得(4cos)253， 解得 cos2，满足 cos2 ， 15 16 3 4 所以 sin2，tan2， 1 16 1 15 所以直线 l 的斜率 ktan. 15 15 5(2019洛阳市联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数 方程为Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2，且直线 l 经过曲 4 1sin2 线 C 的左焦点 F. (1)求直线 l 的普通方程； (2)设曲线 C 的内接矩形的周长为 L，求 L 的最大值 解：(1)曲线 C
7、 的极坐标方程为 2，即 22sin24， 4 1sin2 将 2x2y2，siny 代入上式并化简得 1， x2 4 y2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 1， x2 4 y2 2 于是 c2a2b22，F(，0)2 直线 l 的普通方程为 xym， 将 F(， 0)代入直线方程得 m2 ，所以直线 l 的普通方程为 xy0.22 (2)设 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 在 第 一 象 限 的 顶 点 为 (2cos， 2 sin)(0 )， 所以椭圆 C 的内接矩形的周长为 L2(4cos2sin) 2 2 4sin()(其中 tan)，所以椭圆 C 的内接矩形的周长的最62 大值为
8、 4 . 6 6(2019唐山市摸底考试)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的 原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 两种坐标系的长度单位相同 已知圆 C1 的极坐标方程为 4(cossin)， P 是 C1上一动点， 点 Q 在射线 OP 上且满足|OQ| |OP|，点 Q 的轨迹为 C2. 1 2 (1)求曲线 C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程 (2)已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数， 0)， l 与曲线 C2 有且只有一个公共点，求 的值 解 ： (1)设点P， Q的极坐标分别为(0， )， (， )， 则 0 4(cos 1 2 1 2 sin)2(cossin)，点 Q 的轨迹 C2的极坐标方程为 2(cos sin)， 两边同乘以 ，得 22(cossin)， C2的直角坐标方程为 x2y22x2y， 即(x1)2(y1)22. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程， 得(tcos1)2 (tsin1)22， 即 t22(cossin)t0，t10，t22sin2cos， 由直线 l 与曲线 C2有且只有一个公共点， 得 sincos0， 因为 0，所以 . 4