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1、专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 一、选择题 1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( ) A Bp C2p D无法确定 p 2 答案 C 解析 当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x ，yp，|AB|min2p故选 C p 2 2 已知F是双曲线1的左焦点，A(1， 4)，P是双曲线右支上的动点， 则|PF|PA| x2 4 y2 12 的最小值为( ) A4 B6 C8 D9 答案 D 解析 注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4，0)，于是由双曲线定 义得
2、|PF|PF|2a4， 故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9， 当且仅当A， P，F三点共线时等号成立故选 D 3 已知M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点， 若以F为圆心， |FM| 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A(0，2) B0，2 C(2，) D2，) 答案 C 解析 由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为 4， 且|FM|4， 根据抛物线的定义知|FM| y02，所以y024，得y02，故y0的取值范围是(2，) 4 过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点， 则PQF x2 25 y2 16 周长的
3、最小值是( ) A14 B16 C18 D20 答案 C 解析 如图， 设F为椭圆的左焦点， 右焦点为F2， 根据椭圆的对称性可知|FQ|PF2|，|OP| |OQ|， 所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|PO|10 2|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF的周 长取得最小值 102418故选 C 5 (2018豫南九校联考)已知两定点A(1， 0)和B(1， 0)， 动点P(x，y)在直线l：yx 3 上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( ) A B C D 5 5 10 5 2
4、5 5 210 5 答案 A 解析 点A关于直线l：yx3 的对称点A(3，2)，连接AB与直线l相交，当 点P在交点处时，2a|PA|PB|PA|PB|AB|2，此时a取得最小值，55 又c1，所以椭圆C的离心率的最大值为，故选 A 5 5 6(2019厦门一中开学考试)已知ABC三个顶点A，B，C都在曲线1 上，且 x2 9 y2 4 20(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在BC OB 且分别为k1，k2，则|k1|k2|的取值范围为( ) A， B0，) 8 9 C0， D， 4 3 4 3 答案 D 解析 由于A，B都在曲线1 上，则有1，1，
5、两式相减并整理 x2 9 y2 4 x2 A 9 y2 A 4 x2 B 9 y2 B 4 可得 ，由20 知，2，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别 y2 Ay2B x2 Ax2B 4 9 BC OB BC OB 为AB，AC的中点，则k1kAC，k2kAB，则|k1|k2|kAC|kAB|22|kAB|kAC| 2 2 ，当且仅当|kAB|kAC|时，等号成 yAyB xAxB yAyC xAxC yAyB xAxB yAyB xAxB y2 Ay2B x2 Ax2B 4 3 立故选 D 二、填空题 7(2018湖北黄冈中学二模)设椭圆y21 上任意一点A到两条直线x2y0 的 x2
6、4 距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为_ 答案 4 5 解 析 设 点A的 坐 标 为 (2cos， sin)， 则d1d2 |2cos2sin| 5 ，所以d1d2的最大值为 |2cos2sin| 5 4|cos2| 5 4 5 4 5 8(2018河南六市联考一)已知P是双曲线C：y21 右支上一点，直线l是双曲 x2 2 线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值是 _ 答案 122 解析 设双曲线的右焦点为F2(， 0)， 不妨设渐近线l：xy0， 则点F2(， 0)323 到渐近线l的距离为1， 由于点P在双曲线右支上， 则|PF1|
7、PF2|2a2， |PF1|222 |PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|21，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P22 在Q，F2之间时取等号，故|PF1|PQ|的最小值是 122 9 (2018厦门质检一)过抛物线E：y24x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B 处的切线分别与y轴交于C，D两点，则 4|CD|AB|的最大值是_2 答案 8 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为xt(yy1)x1t(yy1)， y2 1 4 代入抛物线的方程， 消去x， 得y24ty4ty1y0 由16t24(4ty1y)0， 得t， 2 12 1 y1 2 所以直线
8、AC的方程为x(yy1)， 其中令x0， 得yC， 同理可求得yD，所以|CD| y1 2 y2 1 4 y1 2 y2 2 |y1y2| 由题意， 知抛物线的焦点为F(1， 0)， 则设直线AB的方程为xmy1， 代入抛物 1 2 线的方程， 消去x， 得y24my40， 所以y1y24m，y1y24， 所以 4|CD|AB|22 |y1y2|y1y2|2821m22y1y224y1y21m2y1y224y1y2 4(1m2)4()28， 所以当时， 4|CD|AB|21m21m221m222 取得最大值为 8 三、解答题 10 (2018济南模拟)在平面直角坐标系xOy中， 抛物线C1：x
9、24y， 直线l与抛物线C1 交于A，B两点 (1)若直线OA，OB的斜率之积为 ，证明：直线l过定点； 1 4 (2)若线段AB的中点M在曲线C2：y4x2(20，x1x24k，x1x24m， kOAkOB ， y1y2 x1x2 1 4x 2 11 4x 2 2 x1x2 x1x2 16 m 4 由已知kOAkOB ，得m1， 1 4 直线l的方程为ykx1，直线l过定点(0，1) (2)设M(x0，y0)，则由(1)知x02k， x1x2 2 y0kx0m2k2m， 将M(x0，y0)代入C2：y4x2(20， b0)的左、右顶点分别为M，N， x2 a2 y2 b2 点P是椭圆上异于点
10、M，N的任意一点， 记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN， 满足kPMkPN 3 4 (1)求椭圆C的离心率； (2)设椭圆C的左焦点为F(c，0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点 为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点 记GFD的面积为S1， OED的面积为S2，求的取值范围 2S1S2 S2 1S2 2 解 (1)设P(x0，y0)，则1， x2 0 a2 y2 0 b2 即， y2 0 x2 0a2 b2 a2 因为kPMkPN ， y0 x0a y0 x0a 3 4 所以 ， b2 a2 3 4 又a2b2c2，则有a24c2，a2c，
11、 因此椭圆C的离心率e c a 1 2 (2)由(1)可知a2c，bc，a2c23 则椭圆的方程为1 x2 4c2 y2 3c2 根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零， 设直线AB的方程为yk(xc)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)， 联立Error!Error!消去y并整理得 (4k23)x28ck2x4k2c212c20， 从而有x1x2， 8ck2 4k23 y1y2k(x1x22c)， 6ck 4k23 所以G， 4ck2 4k23 3ck 4k23 因为DGAB，所以k1， 3ck 4k23 4ck2 4k23x D 解得xD ck2 4k23 由 RtFG
12、D与 RtEOD相似， 所以99， S1 S2 GD2 OD2 4ck2 4k23 ck2 4k23 2 3ck 4k23 2 ck2 4k23 2 9 k2 令t，则t9，从而|AA|2 依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆， 设为1(ab0)，其中|BA|BA|2a4，|AA|2c2， x2 a2 y2 b2 a2，c1，b2a2c23， 动点B的轨迹方程为1 x2 4 y2 3 (2)证明 ： 当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x2，此时直线l与椭圆1 x2 4 y2 3 相切，与题意不符； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2) 由Error!Error! 得(4k23
13、)x2(16k28k)x16k216k80 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Error!Error! 由96(12k)0k0， 4k2m 12k2 1 2 m 1 所以m1 又点M(m，0)在椭圆长轴上(不含端点)， 所以 1m，即实数m的取值范围为(1，)22 (2)假设以EF为直径的圆恒过定点 当EFx轴时，以EF为直径的圆的方程为x2y21； 当EFy轴时，以EF为直径的圆的方程为x2y 2 ，则两圆的交点为Q(0，1) 1 3 16 9 下证当直线EF的斜率存在且不为 0 时，点Q(0，1)在以EF为直径的圆上 设直线EF的方程为yk0x (k00)， 1 3 代入y21，整理得(2k1)x2k0x0， x2 2 2 0 4 3 16 9 设E(x3，y3)，F(x4，y4)， 则x3x4，x3x4， 4k0 32k2 0 1 16 92k2 0 1 又(x3，y31)，(x4，y41)，QE QF 所以x3x4(y31)(y41)QE QF x3x4k0x3k0x4 4 3 4 3 (1k)x3x4k0(x3x4) 2 0 4 3 16 9 (1k)k00， 2 0 16 92k2 0 1 4 3 4k0 32k2 0 1 16 9 所以点Q(0，1)在以EF为直径的圆上 综上，以EF为直径的圆恒过定点Q(0，1)