《2020高考数学刷题首秧单元测试七平面解析几何文含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学刷题首秧单元测试七平面解析几何文含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、单元质量测试(七)单元质量测试(七) 时间：120 分钟 满分：150 分 第卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1直线 3xy10 的倾斜角大小为( )3 A30 B60 C120 D150 答案 C 解析 k，120故选 C 3 3 3 2“a2”是“直线yax2 与yx1 垂直”的( ) a 4 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由a2 得两直线斜率满足(2) 1，即两直线垂直；由两直线垂直得( 2 4 a) 1，解得a2故选 A a 4 3已知双曲线1(a0，b0)的离心率
2、为，则双曲线的渐近线方程为( ) y2 a2 x2 b2 3 Ayx Byx 2 2 2 Cy2x Dyx 1 2 答案 A 解析 由题意得， 双曲线的离心率e ， 故 ， 故双曲线的渐近线方程为y c a 3 b a 2 xx a b 2 2 4(2018邯郸摸底)已知F1，F2分别是双曲线C：1 的左、右焦点，P为双曲 x2 9 y2 7 线C右支上一点，且|PF1|8，则( ) |F1F2| |PF2| A4 B3 C2 D22 答案 A 解析 由1 知c2a2b216，所以|F1F2|2c8，由双曲线定义知|PF1| x2 9 y2 7 |PF2|2a6，所以|PF2|2 或|PF2|
3、14(P在右支上，舍去)，所以4 |F1F2| |PF2| 5(2018福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点， 离心率为若点M在C上，且MF1MF2，M到原点的距离为，则C的方程为( )33 A1 B1 x2 4 y2 8 y2 4 x2 8 Cx21 Dy21 y2 2 x2 2 答案 C 解析 显然OM为 RtMF1F2的中线，则|OM| |F1F2|c又e ， 1 2 3 c a 3 a 3 得a1进而b2c2a22故C的方程为x21，故选 C y2 2 6 设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、 右焦点，P为直线x上一点， F2PF1 x2 a2 y2
4、 b2 3a 2 是底角为 30的等腰三角形，则E的离心率为( ) A B C D 1 2 2 3 3 4 4 5 答案 C 解析 令c 如图， 据题意， |F2P|F1F2|， F1PF230， F1F2P120，a2b2 PF2x60，|F2P|23a2c ( 3a 2 c) |F1F2|2c，3a2c2c， 3a4c， ，即椭圆的离心率为 故选 C c a 3 4 3 4 7 (2018大庆质检一)已知等轴双曲线C的中心在原点， 焦点在x轴上，C与抛物线y2 12x的准线交于A，B两点，|AB|2，则C的实轴长为( )5 A B2 C2 D422 答案 D 解析 因为抛物线y212x的准
5、线为x3， 而等轴双曲线C的焦点在x轴上， 所以A，B 两点关于x轴对称， 且|AB|2， 所以点(3， )在双曲线上， 代入双曲线的方程x2y255 a2中得 95a24，所以a2，即 2a4，故双曲线C的实轴长为 4故选 D 8(2018乌鲁木齐一诊)已知抛物线y24x与圆F：x2y22x0，过点F作直线l， 自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正 确的是( ) A等于 1 B等于 16 C最小值为 4 D最大值为 4 答案 A 解析 圆F的方程为(x1)2y21 设直线l的方程为xmy1 代入y24x得y2 4my40，y1y24 设点A(
6、x1，y1)，D(x2，y2) 则|AF|x11， |DF|x21， 所以|AB|AF| |BF|x1，|CD|DF|CF|x2，所以|AB|CD|x1x2(y1y2)21故选 A 1 16 9(2018沈阳质检一)已知双曲线C：1(a0，b0)，O为坐标原点，F为双 x2 a2 y2 b2 曲线的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若AFO，则双曲线C 6 的离心率为( ) A2 B C D32 23 3 答案 A 解析 如图所示， 在AOF中， OAF90， 又AFO30， 所以AOF60， 故 b a tan60，所以e 2，故选 A31b 2 a2 10(2019唐山模
7、拟)已知F1，F2为双曲线：1(a0)的左、右焦点，P为 x2 a2 y2 20 双曲线左支上一点，直线PF1与双曲线的一条渐近线平行，PF1PF2，则a( ) A B C4 D5525 答案 A 解析 如图， 记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M 与PF1平行的双曲线的渐近线为y x， 由PF1PF2， 得PF2l， 则F2(c， 0)到直线l：xy0 的距离为d 25 a 25 a 25 a c 25 a 212 2 而OMF2为直角三角形， 所以|OM|a 又OM 25c a220 5|OF2|2|MF2|2c220 F1P，O是F1F2的中点， 所以|F1P|2|OM|2a， |PF2
8、|2|MF2|4 而由双曲线的定义，有|PF2|5 |PF1|2a，即 42a2a，所以a故选 A55 11(2019衡阳模拟)已知椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，y轴上的点P x2 a2 y2 b2 在椭圆以外，且线段PF1与椭圆E交于点M若|OM|MF1|OP|，则椭圆E的离心率 3 3 为( ) A B C1 D 1 2 3 2 3 31 2 答案 C 解析 过M作MHx轴于点H，由|OM|MF1|，知H为OF1的中点，进而MH为PF1O 的中位线， 则M为F1P的中点 从而依题意， 有 |F1P|OP|， 即sinOF1P， 1 2 3 3 3 2 |OP| |F1P| 则OF1P
9、 则MF1O是边长为c的等边三角形 连接MF2(F2为椭圆E的右焦点)， 则由OM 3 OF1OF2可知F1MF2故e1故选 C 2 2c 2a |F1F2| |MF1|MF2| 2c 1 3c 2 13 3 12(2018合肥质检一)如图，已知椭圆1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2， x2 a2 y2 4 过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H若F1，H是线段MN的三等分点，则F2MN 的周长为( ) A20 B10 C2 D455 答案 D 解析 解法一 ： 设点H(0，t)， 00，解得1a3 14(2018浙江宁波质检)与圆(x2)2y21 外切，且与直线x10 相切的动圆圆
10、 心的轨迹方程是_ 答案 y28x 解析 设动圆圆心为P(x，y)，则|x1|1，依据抛物线的定义结合题x 2 2y2 意可知动圆圆心P(x，y)的轨迹是以(2， 0)为焦点，x2 为准线的抛物线， 故方程为y28x 15(2018贵阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为 60的直线 与抛物线交于A，B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则p_ 答案 1 解析 过点A作AMx轴交x轴于点M，由AFM60，|AF|2 得|FM|1，且点A 到抛物线的准线l：x 的距离为 2， 而|FM|1， 所以抛物线的焦点F到准线的距离为 1， p 2 即p1 16已知椭圆C：1，点M与
11、C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别 x2 9 y2 4 为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|_ 答案 12 解析 解法一：由椭圆方程知椭圆C的左焦点为 F1(， 0)， 右焦点为F2(， 0) 则M(m，n)关于F1的对称点为A(2m， n)，555 关于F2的对称点为B(2m，n)，设MN中点为(x，y)，所以N(2xm，2yn)5 所以|AN|BN| 2 x2522y2 2 x2522y2 2，x52y2x52y2 故由椭圆定义可知|AN|BN|2612 解法二：根据已知条件画出图形，如图设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点， 连接PF1，PF2 显然PF1是MA
12、N的中位线，PF2是MBN的中位线， |AN|BN|2|PF1| 2|PF2|2(|PF1|PF2|)2612 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(2018河南郑州检测)(本小题满分 10 分)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定 点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ| (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为C，过点N(2，3)的直线l被C所截得的线段长度为 8，求直线l 的方程 解 (1)由题意，得5， |MP| |MQ| 即5， x262 y 1 2 x 2 2 y 1 2 化简，得x2
13、y22x2y230， 所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225 轨迹是以(1，1)为圆心，5 为半径的圆 (2)当直线l的斜率不存在时，l：x2， 此时所截得的线段长度为 28，5232 所以l：x2 符合题意 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)， 即kxy2k30， 圆心(1，1)到直线l的距离d |3k2| k21 由题意，得 24252，解得k |3k2| k21 5 12 所以直线l的方程为xy0， 5 12 23 6 即 5x12y460 综上，直线l的方程为x2 或 5x12y460 18(2018佛山质检一)(本小题满分 12 分)已知椭圆C1：1(ab0)的右
14、顶 x2 a2 y2 b2 点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为 ，过椭圆C1的右焦点F且 1 2 垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为 42 (1)求椭圆C1和抛物线C2的方程； (2)过点A(2，0)的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M，证明 ： 直线MN恒过一定点 解 (1)设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a ， p 2 则C2：y24ax 代入xc，得y24ac，即y2，ac 则有Error!Error!解得a2，b，c13 所以椭圆C1的方程为1， x2 4 y2 3 抛物线C2的方程为y28x (2)证明：依题意，可知直线l的斜
15、率不为 0， 可设l：xmy2 联立Error!Error!消去x，整理得y28my160 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则点M(x1，y1)， 由(8m)24160，解得m1 或m1 且有y1y28m，y1y216，m， y1y2 8 所以直线MN的斜率kMN y2y1 x2x1 8m my2y1 8 y2y1 可得直线MN的方程为yy2(xx2)， 8 y2y1 即yxy2 8 y2y1 8 my2 2 y2y1 x 8 y2y1 y2y2y1 y2y1y216 y2y1 x 8 y2y1 16 y2y1 (x2) 8 y2y1 所以当m1 或m1 时，直线MN恒过定点(2，0)
16、 19(2019深圳调研)(本小题满分 12 分)已知直线l经过抛物线C：x24y的焦点F， 且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线分别与x轴交于点M，N (1)求证：AMMF； (2)记AFM和BFN的面积分别为S1和S2，求S1S2的最小值 解 (1)证明：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 其中y1，y2 x2 1 4 x2 2 4 由导数知识可知，抛物线C在点A处的切线l1的斜率k1， x1 2 则切线l1的方程yy1(xx1)， x1 2 令y0，可得M，0 x1 2 因为F(0，1)， 所以直线MF的斜率kMF 10 0x 1 2 2 x1 所以k1kMF
17、1，所以AMMF (2)由(1)可知S1 |AM|MF|， 1 2 其 中 |AM|， |MF|x1x 1 2 2y2 1 x2 1 4 y2 1y1y2 1 y11y1 x1 2 21 ，y11 所以S1 |AM|MF| (y11) 1 2 1 2 y1 同理可得S2 (y21) 1 2 y2 所以S1S2 (y11)(y21) 1 4 y1y2 (y1y2y1y21) 1 4 y1y2 设直线l的方程为ykx1，联立方程组 Error!Error!可得x24kx40， 所以x1x24，所以y1y21 x1x22 16 所以S1S2 (y1y22) (22)1， 1 4 1 4 y1y2 当
18、且仅当y1y2时，等号成立 所以S1S2的最小值为 1 20(2018太原三模)(本小题满分 12 分)已知抛物线C1：y28x的焦点F也是椭圆C2： 1(ab0)的右焦点，点P(0，2)在椭圆短轴CD上，且PP1 x2 a2 y2 b2 C D (1)求椭圆C2的方程； (2)设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点， 过椭圆C2的右焦点F作OQ 的平行线，交椭圆C2于M，N两点，求QMN面积的最大值 解 (1)由C1：y28x，知焦点F坐标为(2，0)， 所以a2b24 由已知得点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)， 又PP1，C D 于是 4b21，解得b25，a29，
19、 所以椭圆C2的方程为1 x2 9 y2 5 (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)， 直线MN的方程为xmy2 由Error!Error!可得(5m29)y220my250 则y1y2，y1y2， 20m 5m29 25 5m29 所以|MN| 1 m2y1y224y1y2 1 m2 20m 5m29 2 100 5m29 301m2 5m29 因为MNOQ，所以QMN的面积等于OMN的面积 又点O到直线xmy2 的距离d， 2 1m2 所以QMN的面积S |MN|d 1 2 1 2 30 m2 1 5m29 2 m21 30m21 5m29 令 t，则m2t21(t
20、1)，m21 S 30t 5 t219 30t 5t24 30 5t4 t 因为f(t)5t 在1，)上单调递增， 4 t 所以当t1 时，f(t)取得最小值 9 所以QMN的面积的最大值为 10 3 21(2018重庆一模)(本小题满分 12 分)已知F1，F2分别为椭圆C：1 的左、 x2 3 y2 2 右焦点，点P(x0，y0)在椭圆C上 (1)求的最小值；PF1 PF2 (2)若y00 且0，已知直线l：yk(x1)与椭圆C交于两点A，B，过点PPF1 F1F2 且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能， 请求出直线l的方程；若不能，请说明理由
21、 解 (1)由题意可知，F1(1，0)，F2(1，0)， (1x0，y0)，(1x0，y0)，PF1 PF2 xy1x1PF1 PF2 2 02 0 1 3 2 0 x0，的最小值为 133PF1 PF2 (2)0，x01PF1 F1F2 y00，P1， 23 3 设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立直线与椭圆方程，得(23k2)x26k2x3k260，由 根与系数的关系可知 x1x2，x1x2 6k2 23k2 3k26 23k2 由弦长公式可知 |AB|x1x2|1k2 43 1 k2 23k2 P1，PQAB， 23 3 直线PQ的方程为yk(x1) 23 3 设Q(x3，y3) 将
22、PQ的方程代入椭圆方程可知(23k2)x26kkx3k 26 23 3 23 3 0， x01，x3， 23k243k 23k2 |PQ|x0x3|1k21k2 |443k| 23k2 若四边形PABQ为平行四边形，则|AB|PQ|， 4|44k|，解得k31k23 3 3 故符合条件的直线l的方程为y(x1)， 3 3 即xy103 22 (2018衡阳三模)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆C： x2 a2 1(ab0)的离心率为， 且椭圆C上的动点P到点Q(0， 2)的距离的最大值为 3 y2 b2 3 6 3 (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C上是否存在点M
23、(m，n)，使得直线l：mxny1 与圆O：x2y21 相交于不 同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若 不存在，请说明理由 解 (1)依题意e ， c a 6 3 则c2a2， 2 3 所以b2a2c2a2 1 3 因为a，所以b13 设P(x，y)是椭圆C上任意一点，则1， x2 a2 y2 b2 所以x2a21a23y2， y2 b2 所以|PQ|x2 y 2 2 a23y2 y 2 2 (yb，b) 2 y 1 2a26 因为b1，当y1 时，|PQ|有最大值3，a26 可得a，所以b1，c32 故椭圆C的方程为y21 x2 3 (2)假设存
24、在点M(m，n)在椭圆C上，满足题意， 所以n21，m233n2， m2 3 设点A(x1，y1)，B(x2，y2) 由Error!Error!得(m2n2)x22mx1n20 所以4m24(m2n2)(1n2)4n2(m2n21) 8n2(1n2)0，可得n21 由根与系数的关系得x1x2， 2m m2n2 x1x2， 1n2 m2n2 所以y1y2 1mx1 n 1mx2 n 1mx 1x2 m2x1x2 n2 ， 1m2 m2n2 所以|AB|x1x22 y1y22 x2 1y2 1x2 2y2 2 2 x1x2y1y2 22 1n2 m2n2 1m2 m2n2 21 1 m2n2 设原点O到直线AB的距离为h， 则h， 1 m2n2 所以SOAB |AB|h 1 2 1 m2n21 1 m2n2 设t， 1 m2n2 由 0n21，得m2n232n2(1，3， 所以t ，1， 1 3 SOAB，t ，1，t 1 tt1 2 21 4 1 3 所以，当t 时，SOAB面积最大，为 1 2 1 2 此时，点M的坐标为，或，或，或， 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2