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1、课下层级训练(三十八) 空间点、直线、平面的位置关系课下层级训练(三十八) 空间点、直线、平面的位置关系 A 级 基础强化训练 1在下列命题中，不是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面相互平行 B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A A 选项 A 是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的 2(2019甘肃兰州统考)已知直线m，n和平面，则mn的一个必要条件是( ) Am，n Bm，n Cm，n Dm，n与平面成等角 D D A 中，
2、m，n可以都和平面垂直，必要性不成立 ； B 中，m，n可以都和平面平行，必 要性不成立；C 中，n不一定在平面内，必要性不成立；D 中，m，n平行，则m，n与成 的角一定相等，但反之如果两直线m，n与成的角相等则不一定平行，所以是必要非充分 条件 3正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系 是( ) A相交 B异面 C平行 D垂直 A A 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两 直线不平行，故两直线相交 4以下四个命题中， 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E
3、共面，则点A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 正确命题的个数是( ) A0B1 C2 D3 B B 显然是正确的 ； 中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面 ； 中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条 线段不共面，故只有正确 5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点， 若BCCACC11，则 BD1与AF1所成角的余弦值为( ) AB 30 10 1 2 C D 30 15 15 10 A A 取BC的中点E
4、，连接EF1，EA，则可知EF1A为BD1与AF1所成的角，在AEF1中， 可求得F1E，AF1，AE，由余弦定理得，cosEF1A. 6 2 5 2 5 2 ( 6 2) 2( 5 2) 2( 5 2) 2 2 6 2 5 2 30 10 6若平面，相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _个平面 1 或 4 如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面 ； 如果这四点不共面，则任意三 点可确定一个平面，所以可确定四个平面 7如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面 直线的有_对 3 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD
5、，EF和GH在原正方体 中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD 与EF平行故互为异面直线的有 3 对 8如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱 上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_. 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，2 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以ADBC， 所以直线AC1与AD所成角等于异面直 线AC1与BC所成角 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点， 所以C1D圆柱下底面， 所以C1DAD， 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所
6、以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2 ，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.22 9如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线 A1M与DN所成的角的大小 解 如图，连接D1M，可证D1MDN. 又A1D1DN，A1D1，MD1平面A1MD1， A1D1MD1D1，DN平面A1MD1， DNA1M，即异面直线A1M与DN所成的夹角为 90. 10如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2 2 ，PA2. 3 求：(1)三棱锥PABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值 解
7、(1)SABC 222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA 22 1 2 33 1 3 1 3 3 . 4 3 3 (2)如图， 取PB的中点E， 连接DE，AE， 则EDBC， 所以ADE(或其补角)是异面直线BC 与AD所成的角 在ADE中，DE2，AE，AD2，2 cosADE . 22222 2 2 2 3 4 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 . 3 4 B 级 能力提升训练 11(2019福建福州质检)直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则 异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A30B45 C60 D90 C C 如图，延长CA到点D，使得AD
8、AC，连接DA1，BD， 则四边形ADA1C1为平行四边形， 所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角 又A1DA1B DB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60. 12(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1， 平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为( ) AB 3 2 2 2 C D 3 3 1 3 A A 设平面CB1D1平面ABCDm1. 平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1， B1D1m1.B1D1m. 平面ABB1A1平面DCC1D1，
9、 且平面CB1D1平面DCC1D1CD1， 同理可证CD1n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角 在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形， 故直线B1D1与CD1所成角为 60，其正弦值为. 3 2 13 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1，和a， 且长为a的棱与长为的棱异面，22 则a的取值范围是_. 0a，所以 0a. 2 2 2 2 2 2 2 14 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成 60角； DE与M
10、N垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_. 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为 异面直线，GH与MN成 60角，DEMN. 15 如图所示， 三棱锥PABC中，PA平面ABC， BAC60，PAABAC2，E是PC 的中点 (1)求证AE与PB是异面直线； (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值 (1)证明 假设AE与PB共面，设平面为， A，B，E， 平面即为平面ABE，P平面ABE， 这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线 (2)解 取BC的中点F， 连接EF，AF， 则EFPB， 所以AEF(或其补角)就是异面直线AE 与PB所成的角 B
11、AC60，PAABAC2，PA平面ABC， AF，AE，EF，322 cosAEF ， AE2EF2AF2 2AEEF 223 2 2 2 1 4 故异面直线AE与PB所成角的余弦值为 . 1 4 16如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为 2的正三角形，侧棱A1A底面ABC， 点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2. (1)当点M在何位置时，BM平面AEF? (2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的 余弦值 解 (1)方法一 如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M. 因为侧棱A
12、1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC 又因为EC2FB2， 所以OMECFB且OMECFB， 1 2 所以四边形OMBF为矩形，BMOF. 因为OF平面AEF，BM平面AEF， 故BM平面AEF，此时点M为AC的中点 方法二 如图所示， 取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ. 因为EC2FB2，所以PEBF， 所以PQAE，PBEF， 所以PQ平面AFE，PB平面AEF， 因为PBPQP，PB平面PBQ，PQ 平面PBQ， 所以平面PBQ平面AEF. 又因为BQ平面PBQ, 所以BQ平面AEF. 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点 (2)由(1)知，BM与EF异面， OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角 易求AFEF，MBOF，OFAE，53 所以 cosOFE， OF EF 3 5 15 5 所以BM与EF所成的角的余弦值为. 15 5