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1、课下层级训练(五十二) 古典概型课下层级训练(五十二) 古典概型 A 级 基础强化训练 1(2019云南检测)在 2,0,1,5 这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字 2 是取 出的三个不同数的中位数的概率为( ) A B 3 4 5 8 C D 1 2 1 4 C C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4 种取法，符合题意的 取法有 2 种，故所求概率P . 1 2 2 若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m，n， 则点P(m，n)在直线xy4 上的概率是( ) AB 1 3 1 4 CD 1 6 1 12 D D 该试验会出现 66
2、36 种情况， 点(m，n)在直线xy4 上的情况有(1,3)， (2,2)， (3,1)共三种，则所求概率P. 3 36 1 12 3 (2016全国卷)小敏打开计算机时， 忘记了开机密码的前两位， 只记得第一位是M， I，N中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开 机的概率是( ) AB 8 15 1 8 CD 1 15 1 30 C C 第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，所以总的基 本事件的个数为 15，密码正确只有一种，概率为. 1 15 4从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率
3、为( ) AB 1 5 2 5 CD 8 25 9 25 B B 从甲、乙等 5 名学生中随机选 2 人共有 10 种情况，甲被选中有 4 种情况，则甲被 选中的概率为 . 4 10 2 5 5从分别标有 1,2，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽 到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) AB 5 18 4 9 CD 5 9 7 9 C C 9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一 次抽到奇数，第二次抽到偶数) ，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数) 5 9 4 8 5 18 4 9 5 8 ，P(抽到的 2 张卡
4、片上的数奇偶性不同) . 5 18 5 18 5 18 5 9 6在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取 1 张，两人都 中奖的概率是_ 记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0，那么甲、 1 3 乙抽奖结果有(1,2)， (1,0)， (2,1)， (2,0)， (0,1)， (0,2)， 共 6 种 其中甲、 乙都中奖有(1,2)， (2,1)，2 种，所以P(A) . 2 6 1 3 7已知数列an满足a12，an12an(nN N*)若从数列an的前 10 项中随机抽取 一项，则该项不小于 8 的概率是_ 由题意可知an2(2
5、)n1， 故前 10 项中， 不小于 8 的只有 8,32,128,512， 共 4 2 5 项，故所求概率是 . 4 10 2 5 8如图所示的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损， 则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_. 甲乙 9 885 3 1 29 5 0.3 依题意， 记题中被污损的数字为x， 若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩， 则有(8 921)(53x5)0，x7，即此时x的可能取值是 7,8,9，因此甲的平均成绩 不超过乙的平均成绩的概率P0.3. 3 10 9设a2,4，b1,3，函数f(x)ax2bx1 1 2 (1)求f(x)在区间(，1
6、上是减函数的概率； (2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率 解 (1)f(x)axb，由题意f(1)0，即ba， 而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足ba的有 3 种，故概率为 3 4 (2)由(1)可知， 函数f(x)共有 4 种可能， 从中随机抽取两个， 有 6 种抽法 函数f(x) 在(1，f(1)处的切线的斜率为f(1)ab， 这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这 1 组满足，概率为 1 6 10 (2018天津卷)已知某校甲、 乙、 丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,
7、160. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动 (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取 2 名同学承 担敬老院的卫生工作 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 设M为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件M发生的概率 解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分 层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人 (2)从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果
8、为A，B， A，C， A，D， A， E， A，F， A，G， B，C， B，D， B，E， B，F， B，G， C，D， C，E， C，F， C，G， D，E， D， F，D，G，E，F，E，G，F，G共 21 种 由，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E， 来自丙年级的是F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可 能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种 所以，事件M发生的概率P(M) 5 21 B 级 能力提升训练 11(2019山东威海调研)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数a，从集合1,3,5中
9、随 机抽取一个数b，则向量m m(a，b)与向量n n(1，1)垂直的概率为( ) AB 1 6 1 3 CD 1 4 1 2 A A 由题意可知m m(a，b)有 ： (2,1)， (2,3)， (2,5)， (3,1)， (3,3)， (3,5)， (4,1)， (4,3)， (4,5)， (5,1)， (5,3)， (5,5)， 共 12 种情况 因为m mn n， 即m mn n0， 所以a1b(1)0， 即ab，满足条件的有(3,3)，(5,5)共 2 个，故所求的概率为 . 1 6 12 如图所示方格， 在每一个方格中填入一个数字， 数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个， 允许
10、重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为( ) A B AB 1 2 1 4 CD 3 4 3 8 D D 只考虑A，B两个方格的填法， 不考虑大小， 所有填法有(1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 共 16 种要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从 1,2,3,4 中选 2 个数字，大的放 入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共 6 种，故填入A 方格的数字大
11、于B方格的数字的概率为 . 6 16 3 8 13连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数 字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m_ 7 m可能取到的值有 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本事件个数依次为 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，两次向上的数字之和等于 7 对应的事件发生的概率最大 14我们把形如“3241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数)，由 1,2,3,4 四个 数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为_ 通过画树状图可知，由 1,2,3,4 四个数组成的
12、没有重复数字的四位数共有 24 个， 5 12 四位数为 “锯齿数” 的有 1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231， 共 10 个， 所以四位数为“锯齿数”的概率为. 10 24 5 12 15 根据我国颁布的 环境空气质量指数(AQI)技术规定 ： 空气质量指数划分为 050、 51100、101150、151200、201300 和大于 300 六级，对应空气质量指数的六个级别， 指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显专家建议 ： 当空气质 量指数小于等于 150 时，可以进行户外运动 ； 空气质量指数为 1
13、51 及以上时，不适合进行旅 游等户外活动，下表是我市 2018 年 10 月上旬的空气质量指数情况： 时间1 日2 日3 日4 日5 日6 日7 日8 日9 日10 日 AQI1491432512541385569102243269 (1)求 10 月上旬市民不适合进行户外活动的概率； (2)一外地游客在 10 月上旬来本市旅游， 想连续游玩两天， 求适合连续旅游两天的概率 解 (1)该试验的基本事件空间1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，基本事件总数n10 设事件A为“市民不适合进行户外活动” ，则A3,4,9,10，包含基本事件数m4.所 以P(A) ，即 10 月上旬市民不适合进
14、行户外活动的概率为 4 10 2 5 2 5 (2)该试验的基本事件空间(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)， (8,9)，(9,10)，基本事件总数n9， 设事件B为“适合连续旅游两天的日期” ，则B(1,2)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，包 含基本事件数m4，所以P(B) ，所以适合连续旅游两天的概率为 4 9 4 9 16甲、乙两人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2，红桃 3，红桃 4，方片 4)玩游戏，他们将 扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张 (1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如
15、果甲抽到红桃 2，乙抽到红桃 3，记为 (2,3)，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游 戏是否公平？请说明理由 解 (1)方片 4 用 4表示， 则甲、 乙两人抽到的牌的所有情况为 ： (2,3)， (2,4)， (2,4)， (3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 12 种不同的情况 (2)甲抽到 3， 乙抽到的牌只能是 2,4,4， 因此乙抽到的牌的牌面数字大于 3 的概率为 2 3 (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)， 共 5 种情况 甲胜的概率为P1，乙胜的概率为P2 5 12 7 12 因为，所以此游戏不公平 5 12 7 12