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1、课下层级训练(二十三) 应用举例课下层级训练(二十三) 应用举例 A 级 基础强化训练 1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察 站南偏西 40， 灯塔B在观察站南偏东 60， 则灯塔A在灯塔B的( ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 D D 由条件及题图可知， AB40， 又BCD60， 所以CBD30， 所以DBA 10，因此灯塔A在灯塔B南偏西 80. 2(2019湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为 10 km，B，C两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为( ) A10 km B10 km3 C10
2、 km D10 km57 D D 如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 120700，AC 10.7 3.(2019河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以 选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D， 测得BCD15， BDC 30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为 60，则塔高AB等于 ( ) A5 B1563 C5 D1526 D D 在BCD中，CBD1801530135. 由正弦定理得 BC sin 30 ，所以BC15. 在 RtABC中，ABBCtanACB1515. CD sin 135 2236 4 一艘海轮从A处出发， 以每小时 40 n
3、 mile 的速度沿南偏东 40的方向直线航行， 30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( ) A10 n mile B10 n mile23 C20 n mile D20 n mile32 A A 画出示意图如图所示， 易知， 在ABC中，AB20 n mile， CAB30， ACB45， 根据正弦定理得 ，解得BC10 n mile. BC sin 30 AB sin 45 2 5.如图， 两座相距 60 m 的建筑物AB，CD的高度分别为 20 m,50 m，BD 为水平面，则从
4、建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( ) A30 B45 C60 D75 B B 依题意可得AD20，AC30，105 又CD 50， 所 以 在 ACD中 ， 由 余 弦 定 理 得 cosCAD AC2AD2CD2 2ACAD ，又 0CAD180，所以CAD45，所 30 5220 102502 2 30 5 20 10 6 000 6 000 2 2 2 以从顶端A看建筑物CD的张角为 45. 6轮船A和轮船B在中午 12 时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为 120，两船 的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n mi
5、le. 70 设两船之间的距离为d， 则d250230225030cos 1204 900， d 70，即两船相距 70 n mile. 7 一船以每小时15 km的速度向正东航行， 船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向， 行驶 4 h 后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为 _km. 30 如图所示，2 依题意有：AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得 ，解得BM30(km) 60 sin 45 BM sin 30 2 8(2018福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的 公路上沿直线匀速行驶， 小明在A处测得
6、公路上B，C两点的俯角分别为30， 45， 且BAC 135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时 14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到 0.1)参考数据：1.414，2.236.25 22 6 由题意可得AB200，AC100， 在ABC中， 由余弦定理可得BC2AB2AC22 2ABACcosBAC105， 则BC100141.42.236， 又历时 14 s， 所以速度为10 BC 14 22. 6 m/s. 9(2019山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6. 现要在点C 处搭建一个观测站CD，点D在顶端 (1)原计划CD为铅垂线方向，45，求CD的
7、长； (2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30，53，求 CD2.(结果精确到 1) (本题参考数据：sin 971，cos 530.6) 解 (1)CD为铅垂线方向，点D在顶端， CDAB 又45，CDAC4. (2)在ABD中，533083，ABACCB4610， ADB180 8397， 由得 AD sin AB sinADB AD5. ABsin sinADB 10sin 30 sin 97 5 sin 97 在ACD中，CD2AD2AC22ADACcos 5242254cos 5317. 10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B， 塔顶A，B的
8、海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正 南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为 30， 该测量车向北偏西 60方 向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且3 BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离 解 在 RtAMP中，APM30，AM100， PM100，在PQM中，QPM60，3 又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.33 在 RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200. 在 RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .5 5 5 在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2
9、，BA100.55 即两发射塔顶A，B之间的距离是 100 m.5 B 级 能力提升训练 11 (2019广东广州调研)如图所示长为 3.5 m 的木棒AB斜靠在石堤旁， 木棒的一端A 在离堤足C处 1.4 m 的地面上， 另一端B在离堤足C处 2.8 m 的石堤上， 石堤的倾斜角为 ， 则坡度值 tan 等于( ) A B 231 5 5 16 C D 231 16 11 5 A A 由题意， 可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m， 且ACB. 由 余 弦 定 理 ， 可 得AB2AC2BC2 2ACBCcosACB， 即 3.52 1.42 2.82 21.42.
10、8cos()， 解得 cos ， 所以 sin ， 所以 tan 5 16 231 16 sin cos . 231 5 12.(2019湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头 南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方 向移动， 距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到 热带风暴影响的时间为( ) A14 h B15 h C16 h D17 h B B 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置， 在OAB 中，OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得OB26002400t2220t600 ，令
11、OB24502，即 4t2120t1 5750，解得t，所以该码头 2 2 2 30 215 2 30 215 2 将受到热带风暴影响的时间为15(h) 30 215 2 30 215 2 13.(2018福建泉州模拟)如图， 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人 从O沿OD走到D用了 2 分钟， 从D沿DC走到C用了 3 分钟 若此人步行的速度为每分钟 50 m，则该扇形的半径为_ m. 50 如图，连接OC，在OCD中，OD100，7 CD150，CDO60.由余弦定理得 OC2100215022100150c
12、os 6017 500， 解得OC50.7 14 如图， 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内， 已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45，则山顶的海拔高度为_m.(取1.4，1.7)23 2 650 如图， 作CD垂直于AB的延长线于点D， 由题意知A15， DBC45， ACB30，AB5042021 000(m) 又在ABC中， BC sin A AB sinACB BCsin 1510 500() 21 000 1 2 62 CDAD，CDBCsinDBC 10 500()10 500
13、(1)7 350.62 2 2 3 故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m) 15.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声 监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发 自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声 波在水中的传播速度是 1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离 解 (1)依题意，有PAPCx， PBx1.58x12. 在PAB中，AB20，cosPAB. PA2AB2PB2 2PAAB x220
14、2x122 2x20 3x32 5x 同理，在PAC中，AC50， cosPAC. PA2AC2PC2 2PAAC x2502x2 2x50 25 x 因为 cosPABcosPAC， 所以，解得x31. 3x32 5x 25 x (2)作PDAC于点D，在ADP中，由 cosPAD， 25 31 得 sinPAD，1cos2PAD 4 21 31 所以PDPAsinPAD314(km) 4 21 31 21 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为 4 km.21 16某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面 100 m 的 32 楼阳台A处，用望远 镜观测路上的车辆， 上午 11 时测得一客
15、车位于楼房北偏东 15方向上， 且俯角为 30的C 处，10 s 后测得该客车位于楼房北偏西 75方向上，且俯角为 45的D处(假设客车匀速 行驶) (1)如果此高速路段限速 80 km/h，试问该客车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？ 解 (1)在 RtABC中，BAC60，AB100 m， 则BC100 m.3 在 RtABD中，BAD45，AB100 m， 则BD100 m. 在BCD中，DBC751590， 则DC200 m，BD2BC2 所以客车的速度v20 m/s72 km/h， CD 10 所以该客车没有超速 (2)在 RtBCD中，BCD30， 又因为DBE15，所以CBE105， 所以CEB45. 在BCE中，由正弦定理可知， EB sin 30 BC sin 45 所以EB50 m， BCsin 30 sin 45 6 即此时客车距楼房 50 m.6