专题04 立体几何-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（文） Word版含解析.pdf

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1、专题 04 立体几何 1 【2019 年高考全国卷文数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性 质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的 必要条件，故选 B 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用 面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易 犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，

2、如：“若，则”此类的错误,abab 2【2019 年高考全国卷文数】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平 面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作于，连接，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线，是EOCDOON 相交直线. 过作于，连接，MMFODFBF 平 面平 面，平 面，平 面，平 面CDE ABCD,EOCD EOCD

3、EEOABCDMF ，与均为直角三角形设正方形边长为 2，易知，ABCD MFBEON3,12EOONEN, ，故选 B 35 ,7 22 MFBFBMBMEN 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利 用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 3 【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖 暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该柱体的体积（单位：cm3）是 A158B162 C182

4、D324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4， 下底为 6， 高为 3， 另一个的上底为 2， 下底为 6， 高为 3， 则该棱柱的体积为. 2646 336162 22 故选 B. 【名师点睛】 本题首先根据三视图， 还原得到几何体棱柱， 根据题目给定的数据， 计算几何体的体积， 常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确 还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 4 【2019 年高考浙江卷】设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，

5、P 是棱 VA 上的点（不含端 点） 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 PACB 的平面 角为 ，则 A，B， C， D， 【答案】B 【解析】 如图，为中点， 连接 VG，在底面的投影为， 则在底面的投影在线段GACVABCOPDAO 上， 过作垂直于于 E， 连接 PE， BD， 易得， 过作交于， 连接 BF，DDEACPEVGPPFACVGF 过作，交于，则，结合PFB，BDH，PDBDDHACBGH,BPFPBDPED 均 为 直 角 三 角 形 ， 可 得， 即； 在 RtPED 中 ，coscos PFEGDHBD PBP

6、BPBPB ，即，综上所述，答案为 B.tantan PDPD EDBD 【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念， 以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角， 应用三角函数知识求解， 而后比较大小.而充分利 用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特 殊位置法”，寻求简便解法. 5 【2019 年高考全国卷文数】 已知ACB=90， P 为平面 ABC 外一点， PC=2， 点 P 到ACB 两边 AC， BC 的距离均为，那么 P 到平面 ABC 的距离为_3 【答案】 2 【解析】

7、作分别垂直于，平面，连接，,PD PE,AC BCPO ABCCO 由题意可知，,CDPD CDPO=PDPO P 平面，又平面，CDPDOOD PDOCDOD ，3PDPE2PC 3 sinsin 2 PCEPCD ，60PCBPCA 又易知，为的平分线，POCOCOACB ，4512,OCDODCDOC 又，2PC 422PO 【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使P 用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不 够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有

8、 效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍 6【2019 年高考全国卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是 由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共 有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【答案】26， 21 【解析】 由图可知第一层 （包括上底面） 与第三层 （包括下底面） 各有 9 个面， 计 18

9、个面， 第二层共有 8 个面，所以该半正多面体共有个面18826 如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交 x ABBExCBFEGBC 正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，HBGE ， 22 ,2( 21)1 22 BGGECHxGHxxx ， 1 21 21 x 即该半正多面体的棱长为 21 【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实 很简单，稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形 7 【2019 年高考全国卷文数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型

10、如图，该模型为长方 体挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 1111 ABCDABC D 分别为所在棱的中点，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打 1 6 cm4 cmAB= BC=AA =， 印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 【答案】118.8 【解析】由题意得， 2 1 4 642 312cm 2 EFGH S 四边形 四棱锥 OEFGH 的高为 3cm， 3 1 12 312cm 3 O EFGH V 又长方体的体积为， 1111 ABCDABC D 3 2 4 6 6144cmV 所以该模型体积为， 3 2 144

11、12132cm O EFGH VVV 其质量为0.9 132118.8g 【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式 求解根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质 量即可. 8【2019 年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网 格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ 【答案】40 【解析】如图所示，在棱长为 4 的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱 1111 MPD ANQC B 之后余下的几何体， 则几何体的体积. 3 1 4242 4

12、40 2 V 【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于 中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中 线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出， 则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 9【2019 年高考北京卷文数】已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【答案】如果 l，m，则 lm. 【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如

13、下三个命题： （1）如果 l，m，则 lm，正确； （2）如果 l，lm，则 m，不正确，有可能 m 在平面 内； （3）如果 lm，m，则 l，不正确，有可能 l 与 斜交、l. 故答案为：如果 l，m，则 lm. 【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分 别作为条件、结论加以分析即可. 10【2019 年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个 25 底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 _. 【答案】 4 【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，

14、侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的 25 高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的5 12 中心，故圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.1 1 2 2 1 1 24 【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥 底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半. 11【2019 年高考江苏卷】 如图， 长方体的体积是 120， E 为 的中点， 则三棱锥 EBCD 1111 ABCDABC D 1 CC 的体积是 . 【答案】10 【解析】因为长方体的体积为 120，所以， 1111 ABCDAB

15、C D 1 120AB BC CC 因为为的中点，所以，E 1 CC 1 1 2 CECC 由长方体的性质知底面， 1 CC ABCD 所以是三棱锥的底面上的高，CEEBCDBCD 所以三棱锥的体积.EBCD 11 32 VAB BC CE 1 1111 12010 32212 AB BCCC 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意 理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质 可得三棱锥的体积. 12【2019 年高考全国卷文数】 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形

16、， AA1=4， AB=2， BAD=60， E， M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离 【答案】 （1）见解析；（2）. 4 17 17 【解析】 （1）连结. 1 ,BC ME 因为M，E分别为的中点，所以，且. 1, BB BC 1 MEBC 1 1 2 MEBC 又因为N为的中点，所以. 1 AD 1 1 2 NDAD 由题设知，可得，故， 11= ABDC 11= BCAD = MEND 因此四边形MNDE为平行四边形，.MNED 又平面，所以MN平面.MN 1 C DE 1 C DE （2）过C作

17、C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得，所以DE平面，故DECH.DEBC 1 DEC C 1 C CE 从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离， 1 C DE 1 C DE 由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故. 1 17C E 4 17 17 CH 从而点C到平面的距离为. 1 C DE 4 17 17 【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离 的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就 是利用线面垂直找到距离问题，当然也可以用等积法进行求解. 13 【2019年高考全国卷文数】 如图， 长

18、方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形， 点E在棱AA1上， BE EC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积 11 EBBC C 【答案】 （1）见详解；（2）18. 【解析】 （1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1， 故 11 BCBE 又，所以 BE平面 1 BEEC 11 EBC （2）由（1）知BEB1=90. 由题设知 RtABERtA1B1E，所以， 11 45AEBAEB 故 AE=AB=3，. 1 26AAAE 作，垂足为 F，则 EF平面，且 1 EFBB 11 BBC C3EFAB

19、所以，四棱锥的体积 11 EBBC C 1 3 6 318 3 V 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理， 以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型. 14【2019 年高考全国卷文数】图 1 是由矩形 ADEB，ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其Rt 中 AB=1，BE=BF=2， FBC=60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的四边形 ACGD 的面积. 【答案】（1）见解析；（2）4.

20、【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D 四点共面 由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE 又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE （2）取CG的中点M，连结EM，DM. 因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG. 由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC=60得EMCG，故CG平面DEM 因此DMCG 在DEM中，DE=1，EM=，故DM=2Rt3 所以四边形ACGD的面积为4 【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量 是不变的，再者折叠后的多面

21、体不是直棱柱，突出考查考生的空间想象能力. 15【2019 年高考北京卷文数】如图，在四棱锥中，平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，EPABCDPA 为 CD 的中点 （1）求证：BD平面 PAC； （2）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； （3）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）存在，理由见解析. 【解析】 （1）因为平面ABCD，PA 所以PABD 又因为底面ABCD为菱形， 所以BDAC 所以平面PACBD （2）因为PA平面ABCD，平面ABCD，AE 所以PAAE 因为底面ABCD为菱形，ABC

22、=60，且E为CD的中点， 所以AECD 所以ABAE 所以AE平面PAB 所以平面PAB平面PAE （3）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE 取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG 则FGAB，且FG=AB 1 2 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 所以CEAB，且CE=AB 1 2 所以FGCE，且FG=CE 所以四边形CEGF为平行四边形 所以CFEG 因为CF平面PAE，EG平面PAE， 所以CF平面PAE 【名师点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理， 面面垂直的判定定理， 立体几何中的探索问题等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16【20

23、19 年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等PABCDABCDPCD 边三角形，平面平面，.PAC PCD,2,3PACD CDAD （1）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：平面；GHPAD （2）求证：平面；PA PCD （3）求直线 AD 与平面所成角的正弦值.PAC 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 3 3 【解析】（1）连接，易知，.BDACBDHBHDH 又由，故.BG= PGGH PD 又因为平面 PAD，平面 PAD，GH PD 所以平面 PAD.GH （2）取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DNPC， 又因为平面平面 PC

24、D，平面 平面，PAC PAC PCDPC 所以平面 PAC，DN 又平面 PAC，故.PADNPA 又已知，PACDCDDND 所以平面 PCD.PA （3）连接 AN，由（2）中平面 PAC，可知为直线与平面 PAC 所成的角，DN DANAD 因为为等边三角形，CD=2 且 N 为 PC 的中点，PCD 所以.3DN 又，DNAN 在中，.RtAND 3 sin 3 DN DAN AD 所以，直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为. 3 3 【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成 的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力. 1

25、7【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 【答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析】 （1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABCA1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 A

26、BC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空 间想象能力和推理论证能力. 18 【2019 年高考浙江卷】如图，已知三棱柱，平面平面,， 111 ABCABC 11 A ACC ABC90ABC 分别是 AC，A1B1的中点. 11 30 ,BACA AACAC E F （1）证明：；EFBC （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析

27、；（2） 3 5 【解析】方法一： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC 又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F 所以BC平面A1EF 因此EFBC （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平

28、面A1BC所成的角（或其补角） 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2，EG=. 33 由于O为A1G的中点，故， 1 15 22 AG EOOG 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2）

29、，B（，1，0），C(0，2，0) 33 1( 3,3,2 3) B 3 3 (,2 3) 22 F 因此， 3 3 (,2 3) 22 EF (3,1,0)BC 由得 0EF BC EFBC （2）设直线EF与平面A1BC所成角为 由（1）可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)BCAC ， ， 设平面A1BC的法向量为n， ()xy z， ， 由，得， 1 0 0 BC AC n n 30 30 xy yz 取n，故 ，(13 1)， |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF ， n n n| 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 【名师点睛】本题主要考查

30、空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空 间想象能力和运算求解能力. 19【云南省昆明市 2019 届高三高考 5 月模拟数学试题】 已知直线 平面， 直线平面， 若，l m 则下列结论正确的是 A或Bll/lm CDmlm 【答案】A 【解析】对于 A，直线平面，则或，A 正确；l ll 对于 B， 直线平面， 直线平面， 且， 则或 与相交或 与异面， B 错误 ；l m/lml m l m 对于 C，直线平面，且，则或与相交或或，C 错误；mm mm m 对于 D，直线平面，直线平面，且，则或 与相交或 与异面，D 错l m/lml m l m 误 故选 A 【名

31、师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符 号语言的应用问题，是基础题 20 【陕西省 2019 届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等， 111 ABCABC 在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 1 AABCBC AB 1 CC AB 3 4 3 4 CD 5 4 5 4 【答案】B 【解析】如图，设的中点为，连接、，BCD 1 AD AD 1 AB 易知即为异面直线与所成的角（或其补角）. 1 A AB AB 1 CC 设三棱柱的侧棱与底面边长均为 1， 111 ABCABC 则， 3 2 AD 1 1

32、2 AD 1 2 2 AB 由余弦定理，得. 222 11 1 1 cos 2 A AABAB A AB A A AB 1 1 1 3 2 2 1 14 故应选 B. 【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若 平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知即为异面 1 A AB 直线与所成的角（或其补角） ，进而通过计算的各边长，利用余弦定理求解即可.AB 1 CC 1 ABA 21 【四川省宜宾市 2019 届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为 2 的正方形中，分ABCD,E F 别是的中点，现在沿及把这个

33、正方形折成一个四面体，使三点重合，重合,BC CD,AE AFEF,B C D 后的点记为，则四面体的高为PPAEF AB 1 3 2 3 CD1 3 4 【答案】B 【解析】如图，由题意可知两两垂直，PAPEPF， 平面，PA PEF ， 1111 1 1 2 3323 PEF A PEF VSPA 设 P 到平面的距离为 h，AEF 又， 2 1113 21 21 21 1 2222 AEF S ， 13 322 P AEF h Vh ，故， 1 23 h 2 3 h 故选 B. 【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题折叠后，利用 即可求得 P 到平面的

34、距离 A PEFP AEF VV AEF 22 【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试 （6 月） 数学试题】 在三棱锥中， 平面PABCPAB 平面，是边长为 6 的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形， 则该三棱ABCABC PABAB 锥外接球的表面积为_ 【答案】48 【解析】 如图， 在等边三角形中， 取的中点， 设等边三角形的中心为， 连接 PF， CF，ABCABFABCO OP. 由，得，6AB 2 2 3,3 3 AOBOCOCFOF 是以为斜边的等腰角三角形，, PABABPFAB 又平面平面，平面，PAB ABCPFABC ，PFOF 22 2 3OPOFP

35、F 则为棱锥的外接球球心，外接球半径，OPABC2 3ROC 该三棱锥外接球的表面积为， 2 42 348 故答案为.48 【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面 积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：若三条棱两两垂直，则用 （为三条棱的长） ；若面（） ，则（为 2222 4Rabc , ,a b cSAABCSAa 222 44Rra r 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.ABC 23 【河南省洛阳市 2019 年高三第三次统一考试（5 月）数学试题】在四棱柱中，四边 1111

36、ABCDABC D 形是平行四边形，平面， ，为ABCD 1 A A ABCD60BAD 1 2,1,6ABBCAAE 中点. 11 AB （1）求证：平面平面； 1 ABD 1 A AD （2）求多面体的体积. 1 AEABCD 【答案】 （1）见解析；（2）. 5 2 4 【解析】 （1）在中， ABD 60 ,2,1BADABADBC 由余弦定理得，3BD . 222 BDADAB .BDAD 平面平面， 1 A A ,ABCD BD ABCD . 1 A ABD 又， 1 A AADA 平面.BD 1 A AD 又平面，BD 1 ABD 平面平面. 1 ABD 1 A AD （2）设的

37、中点分别为，连接，,AB CD,F G,EF FG GE BDFGH 分别为的中点，,E F G 11, ,AB AB CD 多面体为三棱柱. 1 EFGA AD 平面，BD 1 A AD 为三棱柱的高.DH 又， 1 1 1613 , 2222 A AD SAD A ADHBD 三棱柱的体积为. 1 EFGA AD 1 633 2 224 A AD SHD 在四棱锥中，.EBCGF 1 EFA A 底面.EF 1 ,6BCGF EFA A ， 113 2 1 sin60 222 BCGFABCD SS 四边形四边形 四棱锥的体积为，EBCGF 1132 6 3322 BCGF SEF 四边形 多面体的体积为. 1 AEABCD 3 225 2 424 【名师点睛】 （1）根据余弦定理求，底面满足勾股定理，所以，又可证明BD ABDBDAD ，所以平面，即证明面面垂直； 1 AABD BD 1 A AD （2）取的中点，分别连接，这样多面体可分割为三棱柱和,AB CD,F G,EF EG FG 1 EFGA AD 三棱锥，再分别求体积即可. EBCGF