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1、专题 07 平面向量 1 【2019 年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a，b 满足，且b，则 a 与 b 的夹角为| 2|ab()ab A B 6 3 C D 2 3 5 6 【答案】B 【解析】 因为b， 所以=0， 所以， 所以=()ab 2 () abba bb 2 a bbcos 2 2 |1 2|2 a bb abb ，所以a 与 b 的夹角为，故选 B 3 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 2 【2019 年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)
2、，则|a-b|= A B2 2 C5D50 2 【答案】A 【解析】由已知， (2,3)(3,2)( 1,1) ab 所以， 22 |( 1)12ab 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的 考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过 程中出错 3 【2019 年高考北京卷文数】已知向量=（4，3），=（6，m），且，则 m=_ a bab 【答案】8 【解析】向量则. ( 4,3),(6,)m ，abab04 6308mm ，a b 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量
3、的垂直以及转化与 化归思想的应用.属于容易题. 4 【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量，则_. (2,2),( 8,6) abcos,a b 【答案】 2 10 【解析】 2222 282 62 cos, | | |10 22( 8)6 a b a b a b 【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键 5 【2019 年高考天津卷文数】 在四边形中， 点ABCD,2 3,5,30ADBCABADAE 在线段的延长线上，且，则_CBAEBE BD AE 【答案】1 【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，2 3,5,ABAD 则，.(2
4、3,0)B 5 3 5 (, ) 22 D 因为，所以，ADBC30BAD30ABE 因为，所以，AEBE30BAE 所以直线的斜率为，其方程为，BE 3 3 3 (2 3) 3 yx 直线的斜率为，其方程为.AE 3 3 3 3 yx 由得， 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 3x 1y 所以.( 3, 1)E 所以. 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方 法更为方便. 6【2019 年高考江苏卷】如图，在中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 C
5、E 交于ABC 点.若，则的值是_.O 6AB ACAO EC AB AC 【答案】.3 【解析】如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 的中点，知 BF=FE=EA,AO=OD ， 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC ， 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC 得即故 2213 , 22 ABAC 3,ABAC 3 AB AC 【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素
6、养. 采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 7 【2019 年高考浙江卷】已知正方形的边长为 1，当每个取遍时，ABCD(1,2,3,4,5,6) i i 的最小值是_；最大值是_. 123456 |ABBCCDDAACBD 【答案】0；.2 5 【解析】以分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图., AB AD 则,(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1),(1,1),( 1,1)ABBCCDDAACBD 令 0. 22 12345613562456 yABBCCDDAACBD 0 又因为可取遍，(1,2,3,4,5,6) i i1 所以当时，有最小值. 134562 1
7、,1 min 0y 因为和的取值不相关，或， 135 245 6 1 6 1 所以当和分别取得最大值时，y 有最大值， 135 245 所以当时，有最大值. 125634 1,1 22 max 24202 5y 故答案为 0；.2 5 【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量 和不等式的综合题. 8 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形中，,ABCD4AB = uu u r 2AD 若点，分别是，的中点，则MNCDBC AM MN A4B3 C2D1 【答案】C 【解析】由题意作出图形，如图所示： 由图及
8、题意，可得： ， 1 2 AMADDMADAB . 11 22 MNCNCMCBCD 1111 2222 BCDCADAB . 111 222 AM MNADABADAB 22 1111 |4162 2424 ADAB 故选：C 【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题 9【福建省漳州市 2019 届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】 已知向量 ，满足， a b | |1a | |3b 且与的夹角为，则 a b 6 () (2)abab AB 1 2 3 2 CD 1 2 3 2 【答案】A 【解析】. 22 31 2223 13 22 abababa b 故
9、选 A. 【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 10 【安徽省江淮十校 2019 届高三年级 5 月考前最后一卷数学试题】已知向量，(1,2)a( 2,3) b ，若，则实数(4,5)c()abc AB 1 2 1 2 CD22 【答案】C 【解析】因为，(1,2)a( 2,3) b 所以，1 2 ,23a+ b = 又，所以，()abc()0abc 即，解得.4 1 25 230+=2= 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 11 【2019 届北京市通州区三模数学试题】设，均为单位向量，则“与夹角为”是“” a
10、b a b 2 3 |3ab 的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】因为，均为单位向量， a b 若与夹角为， a b 2 3 则， 22 2 |21 12 1 1 cos1 3 ababa b 因此，由“与夹角为”不能推出“”； a b 2 3 |3ab 若，则，|3ab 22 |21 12 1 1 cos,3 ababa ba b 解得，即与夹角为， 1 cos, 2 a bab 3 所以，由“”不能推出“与夹角为”|3abab 2 3 因此，“与夹角为”是“”的既不充分也不必要条件. a b 2 3 |3ab 故选 D 【名师
11、点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必 要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型. 12【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学 （二)】 在 中，ABC 2ABACAD AEDE 0 ，若，则EBxAByAC AB 3yx3xy CD 3yx 3xy 【答案】D 【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的 2ABACAD DBCAEDE 0 EAD 中点，所以有： ，因此 11131 () 22244 BEBAAEABADABABACABAC ，故题选 D. 31 ,3 44 xyxy 【名师点睛】本题考查了向量加法的几
12、何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对 向量加法的几何意义的理解. 13 【2019 年辽宁省大连市高三 5 月双基考试数学试题】已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若，则实数 m= 3 2 AO AB AB1 3 2 CD 2 2 1 2 【答案】C 【解析】联立 ，得 2x2+2mx+m21=0， 22 1 yxm xy 直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点， =-2m2+80，解得， 22x 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=m， 2 1 2 21 m xx y1
13、y2=（x1+m） （x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（-x1，-y1） ，=（x2-x1，y2-y1） ， AO AB +y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=， 2 112 3 , 2 AO ABAO ABxx x 22 11 22 mm 2 3 解得 m= 2 2 故选：C 【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中 档题 14 【天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形的边长ABCD 为 2， 点，分别在边，上， 若，120BADEFBCDC3BCBEDCDF 1AE A
14、F 则的值为 A3B2 CD 2 35 2 【答案】B 【解析】由题意可得： 11 3 AE AFABBEADDFABBCBCAB ， 22111 1 33 ABBCAB BC 且：， 22 4,2 2 cos1202ABBCAB BC 故，解得：. 441 121 33 2 故选：B. 【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15 【江西省新八校 2019 届高三第二次联考数学试题】在矩形中，与相ABCD3,4,ABADACBD 交于点，过点作，垂足为，则OAAEBDE AE EC AB 5 72144
15、 25 CD 12 525 12 【答案】B 【解析】如图： 由，得：，3AB 4AD9 165BD 12 5 AB AD AE BD 又AE ECAEEOOCAE EOAE OCAE EOAE AO ，AEBD 0AE EO 又 2 144 cos 25 AE AE AOAE AOEAOAE AOAE AO . 144 25 AE EC 故选 B. 【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已 知的向量之间的数量积问题. 16 【湖师范大学附属中学 2019 届高三数学试题】如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中
16、点，则 AF A B 31 44 ABAD 13 44 ABAD CD 1 2 ABAD 31 42 ABAD 【答案】D 【解析】根据题意得：，又，所以 1 () 2 AFACAE ACABAD 1 2 AEAB .故选 D. 1131 () 2242 AFABADABABAD 【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题. 17 【2019 年北京市高考数学试卷】已知向量=（4，3） ，=（6，m） ，且，则 m=_. a bab 【答案】8. 【解析】向量4,36,m （），（），abab 则.04 6308mm ，a b 【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、
17、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思 想的应用.属于容易题. 18 【山东省烟台市 2019 届高三 3 月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆的弦的 22 450xyxAB 中点为，直线交轴于点，则的值为_.( 1,1)AB x P PA PB 【答案】8. 【答案】5 【解析】设，圆心，( 1,1)M ( 2,0)C ， 1 0 1 12 MC k 根据圆的性质可知，1 AB k 所在直线方程为，即，AB 1(1)yx 0xy 联立方程可得， 22 450 0 xyx xy 2 2450xx 设，则， 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 12 5 2 x x 令可得，0y (0,0)P ， 121212 25PA PBx xy yx x 故答案为：5 【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.