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1、课时跟踪检测（五十） 双曲线课时跟踪检测（五十） 双曲线 A 级 基础题基稳才能楼高 1(2018浙江高考)双曲线y21 的焦点坐标是( ) x2 3 A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)22 C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)22 解析：选 B 双曲线方程为y21， x2 3 a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上， c2，a2b231 即得该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0) 2(2019南宁摸底联考)双曲线1 的渐近线方程为( ) x2 25 y2 20 Ayx Byx 4 5 5 4 Cyx Dyx 1 5 2 5 5 解析：选 D 在双曲线1 中，a5，b
2、2，其渐近线方程为yx， x2 25 y2 20 5 2 5 5 故选 D. 3(2019合肥调研)下列双曲线中，渐近线方程不是yx的是( ) 3 4 A.1 B.1 x2 144 y2 81 y2 18 x2 32 C.1 D.1 y2 9 x2 16 x2 4 y2 3 解析 ： 选 D 对于 A， 渐近线方程为yxx； 对于 B， 渐近线方程为yx 9 12 3 4 18 32 x；对于 C，渐近线方程为yx；对于 D，渐近线方程为y x故选 D. 3 4 3 4 3 2 4 (2019铜陵模拟)已知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点， 点A(0， x2 4 y2 2 )，则AP
3、F周长的最小值为( )2 A4(1)B422 C2() D.32662 解析 ： 选 A 设双曲线的左焦点为F， 易得点F(， 0)， APF的周长l|AF|AP|6 |PF|AF|2a|PF|AP|， 要使APF的周长最小， 只需|AP|PF|最小， 易知当A， P，F三点共线时取到，故l2|AF|2a4(1)故选 A.2 5(2019合肥一模)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x， x2 a2 y2 b2 则该双曲线的离心率是( ) A B 5 2 3 CD253 解析：选 C 由双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且双曲线的一 x2 a2 y2 b2 b a 条渐近线方
4、程为y2x， 得 2， 则b2a， 则双曲线的离心率e b a c a a2b2 a a24a2 a .故选 C. 5a a 5 6(2019德州一模)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点在抛物线y216x x2 a2 y2 b2 的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为( )3 A.1 B.1 x2 4 y2 20 x2 12 y2 4 C.1 D.1 x2 4 y2 12 x2 20 y2 4 解析：选 C 双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，由双曲线的一条 x2 a2 y2 b2 b a 渐近线过点(，3)，可得 ，3 b a 3 由双曲线的一个焦点(c,0)在
5、抛物线y216x的准线x4 上，可得c4， 即有a2b216， 由解得a2，b2，3 则双曲线的方程为1.故选 C. x2 4 y2 12 B 级 保分题准做快做达标 1(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21 的右焦点，P是C上一点，且PF y2 3 与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为( ) A. B. 1 3 1 2 C. D. 2 3 3 2 解析：选 D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2 时，代入双曲线C 的方程，得 41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴， y2 3 又PFx轴，所以APPF，所以SAPF |PF
6、|AP| 31 . 1 2 1 2 3 2 法二 ： 由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2 时，代入双曲线C的方程，得 4 1， 解得y3， 不妨取点P(2,3)， 因为点A(1,3)， 所以(1,0)，(0， 3)， y2 3 AP PF 所以0，所以APPF，所以SAPF |PF|AP| 31 .AP PF 1 2 1 2 3 2 2(2019黄冈质检)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切 x2 a2 y2 b2 线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( ) A. B.23 C2 D. 5 解析：选 A 连接OM.由题意知OM
7、PF，且|FM|PM|，|OP|OF|， OFP45，|OM|OF|sin 45，即ac， 2 2 e .故选 A. c a 2 3(2019银川模拟)已知双曲线1(0a1)的离心率为，则a的值为 x2 a2 y2 1a2 2 ( ) A. B. 1 2 2 2 C. D. 1 3 3 3 解析：选 B c2a21a21，c1，又 ，a，故选 B. c a 2 2 2 4 (2019辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线C：1(a0，b x2 a2 y2 b2 0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若AFO的面积为 1，5 则双曲线C的方程为( ) A1
8、By21 x2 2 y2 8 x2 4 C1Dx21 x2 4 y2 16 y2 4 解析 ： 选 D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|b，|OA|a，所以ab2， 又双曲线C的离心率为， 所以 ， 即b24a2， 解得a21，b24， 所以双曲线C51b 2 a2 5 的方程为x21，故选 D. y2 4 5(2019黄山一诊)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线x2y10 x2 a2 y2 b2 垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点， 若|F1A|2|F2A|， 则 cosAF2F1等于( ) A. B. 3 2 5 4 C. D. 5 5 1 4 解析 ： 选
9、 C 因为双曲线的一条渐近线与直线x2y10 垂直， 所以b2a.又|F1A| 2|F2A|， 且|F1A|F2A|2a， 所以|F2A|2a， |F1A|4a， 而c25a2， 得 2c2a， 所以 cos5 AF2F1，故选 C. |F1F2|2|F2A|2|F1A|2 2|F1F2|F2A| 20a24a216a2 2 2 5a 2a 5 5 6 (2019天津和平一模)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 ， 过右焦点F x2 a2 y2 b2 3 2 作渐近线的垂线，垂足为M.若FOM的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为5 ( ) Ax21 B.1 4y2 5 x2 2 2y
10、2 5 C.1 D.1 x2 4 y2 5 x2 16 y2 20 解析：选 C 由题意可知e ，可得 ， c a 3 2 b a 5 2 取一条渐近线为yx， b a 可得F到渐近线yx的距离db， b a bc a2b2 在 RtFOM中，由勾股定理可得|OM|a，|OF|2|MF|2c2b2 由题意可得ab，联立Error!解得Error! 1 2 5 所以双曲线的方程为1.故选 C. x2 4 y2 5 7(2019湘中名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点且垂直于x轴的直 x2 a2 y2 b2 线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB| |CD|，则双
11、曲线 3 5 离心率的取值范围为( ) A. B. 5 3，) 5 4，) C. D. (1， 5 3(1， 5 4 解析：选 B 将xc代入1 得y， x2 a2 y2 b2 b2 a 不妨取A，B，所以|AB|. (c， b2 a)(c， b2 a) 2b2 a 将xc代入双曲线的渐近线方程yx，得y， b a bc a 不妨取C，D，所以|CD|. (c， bc a)(c， bc a) 2bc a 因为|AB| |CD|，所以 ， 3 5 2b2 a 3 5 2bc a 即bc，则b2c2，即c2a2c2， 3 5 9 25 9 25 即c2a2，所以e2，所以e . 16 25 25
12、16 5 4 8(2019桂林模拟)若双曲线1(a0，b0)上存在一点P满足以|OP|为边长 x2 a2 y2 b2 的正方形的面积等于 2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. (1， 5 2(1， 7 2 C. D. 5 2 ，) 7 2 ，) 解析：选 C 由条件得|OP|22ab.又P为双曲线上一点，|OP|a，2aba2， 2ba.又c2a2b2a2a2，e .双曲线离心率的取值范围是. a2 4 5 4 c a 5 2 5 2 ，) 9(2019惠州调研)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21 的左、右 焦点，P为双曲线左支上任一点，
13、过点F1作F1PF2的平分线的垂线， 垂足为H， 则|OH|( ) A1B2 C4 D1 2 解析 ： 选A 如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为F1PF2的平分线及PH F1Q，可知 |PF1|PQ|，根据双曲线的定义， 得|PF2|PF1|2， 从而|QF2| 2，在F1QF2中， 易知OH为中位线，故|OH|1.故选 A. 10(2019郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b x2 a2 y2 b2 0)的左、 右焦点，P是C上一点， 若|PF1|PF2|6a， 且PF1F2的最小内角的大小为 30， 则双曲线C的渐近线方程是( ) Axy0 Bxy022 Cx2y0D2
14、xy0 解析：选 B 假设点P在双曲线的右支上， 则Error! |PF1|4a，|PF2|2a. |F1F2|2c2a，PF1F2最短的边是PF2， PF1F2的最小内角为PF1F2. 在PF1F2中，由余弦定理得 4a216a24c224a2ccos 30， c22ac3a20，3 e22e30，e， ，33 c a 3 c23a2，a2b23a2，b22a2， ，双曲线的渐近线方程为xy0，故选 B. b a 22 11(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a x2 a2 y2 9 3 5 _. 解析：双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又 x2
15、 a2 y2 9 3 a 双曲线的一条渐近线方程为yx，a5. 3 5 答案：5 12(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右 x2 a2 y2 b2 支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线 的渐近线方程为_ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知 |AF|y1 ，|BF|y2 ，|OF| ， p 2 p 2 p 2 由|AF|BF|y1 y2 y1y2p4|OF|2p，得y1y2p. p 2 p 2 联立Error!消去x，得a2y22pb2ya2b20， 所以y1y2，所以p， 2p
16、b2 a2 2pb2 a2 即 ，故 ， b2 a2 1 2 b a 2 2 所以双曲线的渐近线方程为yx. 2 2 答案：yx 2 2 13(2019成都毕业班摸底测试)已知双曲线1(a0)和抛物线y28x有相同 x2 a2 y2 2 的焦点，则双曲线的离心率为_ 解析 ： 易知抛物线y28x的焦点为(2,0)， 所以双曲线1 的焦点为(2,0)， 则a22 x2 a2 y2 2 22，即a，所以双曲线的离心率e .2 c a 2 2 2 答案： 2 14(2019南昌调研)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作 x2 a2 y2 b2 圆(xa)2y2的切线，若该切线恰好与C
17、的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为 c2 16 _ 解析 ： 不妨取与切线垂直的渐近线方程为yx，由题意可知该切线方程为y (x b a a b c)，即axbyac0.又圆(xa)2y2的圆心为(a,0)，半径为 ，则圆心到切线的距 c2 16 c 4 离d ，又e ，则e24e40，解得e2. |a2ac| a2b2 aca2 c c 4 c a 答案：2 15(2019西安铁一中模拟)已知点F1，F2分别是双曲线C：x21(b0)的左、右 y2 b2 焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，MF1F230. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作
18、该双曲线两条渐近线的垂线， 垂足分别为P1，P2， 求PP1 的值PP2 解：(1)由题易知F2(，0)，可设M(，y1)1b21b2 因为点M在双曲线C上且在x轴上方，所以 1b21，得y1b2，所以|F2M|b2. y2 1 b2 在 RtMF2F1中， MF1F230， |MF2|b2， 所以|MF1|2b2.由双曲线的定义可知， |MF1| |MF2|b22，故双曲线C的方程为x21. y2 2 (2)易知两条渐近线方程分别为l1：xy0，l2：xy0.22 设双曲线C上的点P(x0，y0)，两条渐近线的夹角为， 不妨设P1在l1上，P2在l2上， 则点P到两条渐近线的距离分别为|PP
19、1|，|PP2|. | 2 x0y0| 3 | 2 x0y0| 3 因为P(x0，y0)在双曲线x21 上， y2 2 所以 2xy2， 2 02 0 又易知 cos ， 1 3 所以cos .PP1 PP2 | 2 x0y0| 3 | 2 x0y0| 3 |2x2 0y2 0| 3 1 3 2 9 16(2019湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c,0) x2 a2 y2 b2 (1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程； (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的 切线，斜率为，求双曲线的离心率3 解：(1)因为双曲线的
20、渐近线方程为yx，所以ab， b a 所以c2a2b22a24，所以a2b22， 所以双曲线的方程为1. x2 2 y2 2 (2)设点A的坐标为(x0，y0)， 所以直线AO的斜率满足()1， y0 x0 3 所以x0y0，3 依题意，圆的方程为x2y2c2， 将代入圆的方程得 3yyc2，即y0c， 2 02 0 1 2 所以x0c，所以点A的坐标为， 3 2( 3 2 c，1 2c) 代入双曲线方程得1， 3 4c 2 a2 1 4c 2 b2 即b2c2a2c2a2b2， 3 4 1 4 又因为a2b2c2， 所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40， 3 4 所以 3 48240， ( c a)( c a) 所以(3e22)(e22)0， 因为e1，所以e，2 所以双曲线的离心率为.2