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1、14 个填空题专项强化练(六) 解三角形14 个填空题专项强化练(六) 解三角形 A 组题型分类练 题型一 正弦定理和余弦定理 1 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a4，b5，c6， 则_. sin 2A sin C 解析：由正弦定理得 ， sin A sin C a c 由余弦定理得 cos A， b2c2a2 2bc a4，b5，c6， 2cos A sin 2A sin C 2sin Acos A sin C sin A sin C 2 1. 4 6 526242 2 5 6 答案：1 2在锐角ABC中，AB3，AC4.若ABC的面积为 3，则BC的长是_3 解析 ：
2、 因为SABCABACsin A，所以 3 34sin A，所以 sin A，因为 1 2 3 1 2 3 2 ABC是锐角三角形， 所以A60， 由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos A， 解得BC .13 答案： 13 3已知在ABC中，A120，AB，角B的平分线BD，则BC_.23 解析：在ABD中，由正弦定理得， AB sinADB BD sin A sinADB，ADB45， ABsin A BD 2 2 ABD15，ABC30，ACB30， ACAB.在ABC中，由余弦定理得2 BC .AB2AC22ABACcos A6 答案： 6 4在斜三角形ABC中，a，b，c分
3、别是角A，B，C所对的边，若， 1 tan A 1 tan B 1 tan C 则的最大值为_ ab c2 解析：由可得， 1 tan A 1 tan B 1 tan C ， cos A sin A cos B sin B cos C sin C 即， sin Bcos Acos Bsin A sin Asin B cos C sin C ， sinBA sin Asin B cos C sin C 即， sin C sin Asin B cos C sin C sin2Csin Asin Bcos C. 根据正弦定理及余弦定理可得， c2ab，整理得a2b23c2. a2b2c2 2ab ，
4、 ab c2 ab a2b2 3 3ab a2b2 3ab 2ab 3 2 当且仅当ab时等号成立 答案：3 2 临门一脚 1正弦定理的应用： (1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角； (2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角 2利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3要注意运用abABsin Asin B对所求角的限制，控制解的个数 4对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在 实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化
5、，如果边是二次 式，一般用余弦定理 5 对 “锐角三角形” 的概念要充分应用， 必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形， 防止角范围的扩大 题型二 解三角形的实际应用 1.如图， 设A、B两点在河的两岸， 一测量者在A的同侧， 选定一点C， 测出AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105，则A、B两点的距 离为_m. 解析：B180ACBCAB30， 由正弦定理得，AB 50(m) ACsinACB sin B 50 2 2 1 2 2 答案：50 2 2.如图， 两座相距 60 m 的建筑物AB、CD的高度分别为 20 m、 50 m，BD为水平面，则从建筑 物AB的顶端A看建筑物C
6、D的张角CAD的大小是_ 解析：AD26022024 000， AC26023024 500. 在CAD中，由余弦定理得 cosCAD， AD2AC2CD2 2ADAC 2 2 CAD45. 答案：45 3.如图， 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C是该 小区的一个出入口， 且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了 2 分钟，从D沿着DC走到C用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径 为_米 解析 ： 依题意得OD100 米，CD150 米，连接OC，易知ODC180AOB60， 因 此 由 余 弦 定 理 有OC2OD2CD2
7、 2ODCDcosODC， 即OC2 1002 1502 2100150 17 500， 1 2 OC50(米)7 答案：50 7 临门一脚 1理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等 2测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究 3 几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、 角或者建立坐标系)， 构建函数来研究，不要忽视定义域的研究 B 组高考提速练 1 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a，b1，c2， 则A等于_3 解析：cos A ， b2c2a2 2bc 143 2 1 2 1 2 又0a，所以BA，所以A. b si
8、n B asin B b 2 2 2 2 1 2 6 答案： 6 7在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a2c23b，且 sin B8cos Asin C，则边b_. 解析 ： 由 sin B8cos Asin C及正、 余弦定理， 知b8c， 整理得a2b2 b2c2a2 2bc 3 4 c2，与a2c23b联立解得b4. 答案：4 8.如图， 从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 67，30，此时气球的高度是 46 m，则河流的宽度BC约等于 _m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92， cos 670.39， sin 370.60， co
9、s 370.80， 3 1.73) 解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足在 RtACD中，AC92，在ABC中，由正 弦定理，得BCsinBACsin 370.6060(m) AC sinABC 92 sin 67 92 0.92 答案：60 9在ABC中，已知AB，C，则的最大值为_3 3 CA CB 解析 ： 因为AB，C， 设角A，B，C所对的边为a，b，c， 所以由余弦定理得3a2b23 3 2abcosa2b2abab， 当且仅当ab时等号成立， 又abcos Cab， 3 3CA CB 1 2 所以当ab时，()max .3CA CB 3 2 答案：3 2 10 在ABC中， 内
10、角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若ABC的面积为S， 且 2S(ab)2 c2，则 tan C_. 解析 ： 因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，由面积公式与余弦定理，得absin C 2abcos C 2ab， 即sin C 2cos C 2， 所 以 (sin C 2cos C)2 4， 4，所以4，解得 tan C 或 tan C sin2C4sin Ccos C4cos2C sin2Ccos2C tan2C4tan C4 tan2C1 4 3 0(舍去) 答案：4 3 11在锐角三角形ABC中，A2B，B，C的对边长分别是b，c，则的取值范围是 b bc _ 解析：A2B
11、，所以B.在ABC中，sin Csin(AB)sin 2 2 6 4 3B， 由正弦定理可得 b bc sin B sin Bsin C sin B sin2BBsin2BB sin B 2sin 2Bcos B .又cos B，所以的取值范围是. 1 4cos2B 2 2 3 2 b bc( 1 3， 1 2) 答案：(1 3， 1 2) 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，bc1，ABC的面 积为，则_.3AB AC 解析 ： 以BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴， 建立如图所示的平面直 角坐标系，因为a2，所以B(1,0)，C(1,0)， 设A(x，y)， 又A
12、CAB1BC， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支上 又ABC的面积为 ，所以 2yA，即yA，又双曲线方程为1，代入可得xA，3 1 2 33 x2 1 4 y2 3 4 5 2 所以 13.AB AC (1 5 2 ， 3) (1 5 2 ， 3) 5 4 13 4 答案：13 4 13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsin A，3 则C_. 解析 ： 因为a23b23c22bcsin Ab2c22bccos A，所以sin Acos 3 b2c2 bc 3 A2sin. (A 6) 又 22(当且仅当bc时取等号)， 2sin2， 当且仅
13、当A b2c2 bc b c c b b c c b(A 6) 时取等号，故2sin2，所以bc，A，故C. 2 3 b2c2 bc(A 6) 2 3 6 答案： 6 14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满 足b2a2ac，则的取值范围是_ 1 tan A 1 tan B 解析：由余弦定理得b2a2(a2c22accos B)(b2c22bccos A)a2b2 2c(bcos Aacos B)， 即b2a2c(bcos Aacos B)acbcos Aacos Basin(BA) sin AB2A.又ABC为锐角三角形，所以B.则 3 2 1 tan A 1 tan B sinBA sin Asin B . 1 sin B(1， 2 3 3) 答案：(1， 2 3 3)