浙江专版020届高考数学一轮复习单元检测六平面向量与复数单元检测含解析0.pdf

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1、单元检测六 平面向量与复数单元检测六 平面向量与复数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 第卷(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1若复数z满足 iz34i，则|z|等于( ) A1B2C.D55 答案 D 解析 因为z(34i)i43i， 34i i 所以|z|5.4232 2若z1(1i)2，z21i，则等于( ) z1 z2 A1iB1iC1iD1i 答案 B 解析 z1(1i)22i，z21i， 1i. z1 z2 2i 1i 2i1i 1i1i 22i 2 3设平面向量m

2、 m(1,2)，n n(2，b)，若m mn n，则|m mn n|等于( ) A.B.C.D351025 答案 A 解析 由m mn n，m m(1,2)，n n(2，b)，得b4， 故n n(2，4)，所以m mn n(1，2)， 故|m mn n|，故选 A.5 4.如图所示，向量a a，b b，c c，点A，B，C在一条直线上，且4，则( )OA OB OC AC CB Ac ca ab bBc ca ab b 1 2 3 2 3 2 1 2 Cc ca a2b bDc ca ab b 1 3 4 3 答案 D 解析 c c ()b ba a.故选 D.OB BC OB 1 3AB O

3、B 1 3 OB OA 4 3OB 1 3OA 4 3 1 3 5设向量a a(x，1)，b b(1，)，且a ab b，则向量a ab b与b b的夹角为( )33 A.B.C.D. 6 3 2 3 5 6 答案 D 解析 因为a ab b， 所以x0， 解得x， 所以a a(， 1)，a ab b(0,4)， 则 cosa a3333 b b，b b，所以向量a ab b与b b的夹角为，故选 D.3 a a 3 b b b b |a a 3 b b|b b| 4 3 4 2 3 2 3 5 6 6已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a2019，且A，B，C三点共线(O为该直OB OA

4、 OC 线外一点)，则S2019等于( ) A2019B2020C.D1010 2019 2 答案 C 解析 A，B，C三点共线， 且a1a2019， 则a1a20191， 所以S2019(a1a2019)OB OA OC 2019 2 ，故选 C. 2019 2 7.如图，在ABC中，ABAC3，cosBAC ，2，则的值为( ) 1 3 DC BD AD BC A2B2C3D3 答案 B 解析 ()AD BC AC CD BC (AC 2 3CB ) BC AC 2 3AB AC BC () ( 2 3AB 1 3AC ) AC AB |2 |2 2 3 AB 1 3AB AC 1 3 A

5、C 6132，故选 B. 8(2018嘉兴期末)对任意两个非零向量a a，b b，下列说法中正确的是( ) A(a ab b)2(a ab b)2 B(a ab b)2a a2b b2 C(a ab b)24|a a|b b| D(a ab b)2(a ab b)24a ab b 答案 D 解析 因为(a ab b)2(a ab b)24a ab b， 与 0 的大小关系不确定， 所以 A 错误 ； (a ab b)2a a2b b2 2a ab b，与 0 的大小关系不确定，所以 B 错误；(a ab b)24|a a|b b|a a|2|b b|2 2|a a|b b|cos4|a a|b

6、 b|2|a a|b b|(cos1)， 而 2|a a|b b|(cos1)0， 所以 C 错误 ； (a a b b)2 (a ab b)2 4a ab b 2(|a a|2 |b b|2 2a ab b) 2(a ab b)20， 所 以 (a ab b)2 (a a b b)24a ab b，故选 D. 9.如图，在等腰梯形ABCD中，已知DCAB，ADC120，AB4，CD2，动点E和F分 别在线段BC和DC上，且，则的最小值是( )BE 1 2BC DF DC AE BF A413B41366 C4D46 13 2 6 13 2 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD中，AB4，CD2

7、，ADC120，易得ADBC2. 由动点E和F分别在线段BC和DC上得， Error!所以 0， 1 2 m me e20，可知m m 与e e1的夹角为锐角或同向共线， 由m me e22. 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分把答案填在题 中横线上) 11已知复数zi2017i2018，则z的共轭复数 _，_.z | z3 z2| 答案 i1 10 2 解析 因为zi2017i2018i1，所以 i1.z 因为， z3 z2 i2 i1 13i 2 所以. | z3 z2| 19 2 10 2 12 已知点O

8、为ABC内一点， 且满足40 0.设OBC与ABC的面积分别为S1，S2，OA OB OC 则_. S1 S2 答案 1 6 解析 设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD4OC，因为点O为ABC内一点，且 满足40 0， 所以0 0， 则点O是ABD的重心， 则E，O，C，D共线，ODOEOA OB OC OA OB OD 21，所以OCOE12，则CEOE32，则S1SBCESABC，所以 . 1 3 1 6 S1 S2 1 6 13在ABC中，AB6，AC5，A120，动点P在以C为圆心，2 为半径的圆上，则PA 的最小值是_PB 答案 16 解析 设AB的中点为M， 则 22

9、PA PB 1 2PA PB 1 2PA PB 2229， PM MA PM 所以要求的最小值，即求|的最小值，PA PB PM 显然当点P为线段MC与圆的交点时， |取得最小值，最小值为|2.PM MC 在AMC中，由余弦定理得|23252235cos12049，MC 所以|7，所以|的最小值为 5，MC PM 则的最小值为 16.PA PB 14 在ABC中，AB3AC， CAB120， 以A为圆心，AC长为半径作圆弧， 交AB于点D，M 为圆弧CD上任一点，xy，则 3xy的取值范围为_，xy的最大值为AM AB AC _ 答案 1,2 1 3 解析 如图，连接CD交AM于点N， 设，则

10、1,2AM AN xy3xy，AM AB AC AD AC ，AN 3x AD y AC 由C，N，D三点共线，得1， 3x y 3xy1,2 43xy(3xy)24，xy ， 1 3 当且仅当Error!即Error!时取等号，(xy)max . 1 3 15 在平面中， 已知向量a a，b b的夹角为， |a ab b|6， 向量c ca a，c cb b的夹角为， |c ca a|2 3 2 3 ，则a a与c c的夹角为_；a ac c的最大值为_3 答案 1812 6 3 解析 设a a，b b，c c，OA OB OC 则a ab b，c ca a，c cb b，BA AC BC

11、知AOB，ACB. 3 2 3 当点O，C在AB两侧时，由题可得O，A，C，B四点共圆， 在ABC中，BA6，AC2，ACB，3 2 3 由正弦定理得， BA sinACB AC sinCBA 则 sinCBA ，即CBA， 1 2 6 则CBACOA，可得a a与c c的夹角为. 6 6 因为|c ca a|2，3 所以 12c c2a a22a ac c2|a a|c c|2a ac c， 又由a ac c|a a|c c|cos得|a a|c c|a ac c， 6 2 3 所以 12a ac c2a ac c， 4 3 所以a ac c1812. 6 3 2 3 3 当点O，C在AB同

12、侧时，可得点A，B，O在以C为圆心，AC为半径的圆上，则当点O，C，A 在同一直线上，即OA为圆C的直径时，a ac c取得最大值，OA OC (a ac c)max|4224.OA OC 33 综上所述，a ac c的最大值为 1812，此时a a与c c的夹角为.3 6 16 已知定点A，B满足|2， 动点P与动点M满足|4，(1)(R R)，AB PB AM AB AP 且|，则的取值范围是_； 若动点C也满足|4，则的取值MA MP AP AM CB AC AM 范围是_ 答案 2,18 6,18 解析 因为(1)(R R)，11，AM AB AP 所以根据三点共线知，点M在直线PB上

13、， 又|，MA MP 记PA的中点为D，连接MD，如图， 则MDAP，()0 2， AP AM AP AD DM AP AD 1 2AP 因为|4，所以点P在以B为圆心，4 为半径的圆上，PB 则|2,6，则 22,18 AP AP AM 1 2AP 由于|4，MA MB MP MB 所以点M在以A，B为焦点， 长轴长为 4 的椭圆上，以直线AB为x轴， 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则椭圆方程为1， x2 4 y2 3 点C在圆(x1)2y216 上，A(1,0)， 设M(2cos，sin)，C(4cos1,4sin)，3 则(4cos2,4sin)，AC (2cos1，s

14、in)，AM 3 (8cos4)cos4sinsin4cos2AC AM 3 sin()4cos28cos 4 24 3sin2 (4cos8)sin()4cos2， 最大值是(4cos8)4cos28cos1018， 最小值是(4cos8)4cos26， 所以6,18AC AM 17已知平面向量a a，b b，c c，其中a a，b b的夹角为，若|a a|b b|sin2，c ca ab b( 为实数)，则c c(c ca a)a a2的最小值是_ 答案 2 3 解析 方法一 令a a，b b，c c，OA OB OC 则BOA，并记|a a|a，|b b|b，OA OB 线段OA的中点为

15、M，则|a a|b b|sinabsin2. 由c ca ab b知，c cb ba a，即BCOA， c c(c ca a)a a2()a2OC OC OA a2a2OC AC CO CA ()2()2a2 1 4 CO CA CO CA 2 a2a2|2a2.CM 1 4 CM 3 4 又|sinBOAbsin，CM OB 所以c c(c ca a)a a2|2a2b2sin2a2CM 3 4 3 4 2absin2.b2sin23 4a 2 33 当且仅当b2sin2a2时取到最小值 3 4 方法二 令a a，b b，c c，OA OB OC BOA，|a a|a，|b b|b，OA O

16、B 由|a a|b b|sinabsin2，得bsin . 2 a 设O(0,0)，A(a,0)，B， (m， 2 a) 则a a(a，0)，b b， (m， 2 a) 令c ca ab b， (ma， 2 a) (x， 2 a) 则c c(c ca a)a a2a2 (x， 2 a) (xa， 2 a) x2axa2 4 a2 2 a2a2 (x a 2) 1 4 4 a2 2 a2022， (x a 2) 3 4 4 a2 3 4a 2 4 a2 3 当且仅当Error!时取到最小值 三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18(14 分)(2

17、018杭州萧山区第一中学月考)已知复数z. 1i225i 3i (1)求|z|； (2)若z(za)bi，求实数a，b的值 解 (1)z3i， 2i102i 3i 10 3i 103i 10 |z|.10 (2)(3i)(3ia)(3i)2(3i)a 83a(a6)ibi， Error!得Error! 19(15 分)(2019湖州调研)已知平面向量a a，b b满足|a a|1，|3a a2b b|，且a a，b b的13 夹角为 60. (1)求|b b|的值； (2)求 2a ab b和a a2b b夹角的余弦值 解 (1)由已知得|3a a2b b|294|b b|212a ab b

18、94|b b|212|b b|cos6013， 即 2|b b|23|b b|20，解得|b b|2. (2)|2a ab b|2，444 2cos60 |a a2b b|.1164 2cos6013 又(2a ab b)(a a2b b)2852cos605. 所以 2a ab b和a a2b b夹角的余弦值为. 2 a ab ba a2b b |2a ab b|a a2b b| 5 2 13 5 13 26 20(15 分)如图，在OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足.AP PB (1)若 ，用向量，表示； 1 2 OA OB OP (2)若|4，|3，且AOB60，

19、求取值范围OA OB OP AB 解 (1)， ()，AP 1 2PB OP OA 1 2 OB OP ，即. 3 2OP OA 1 2OB OP 2 3OA 1 3OB (2)|cos606，(0)，OA OB OA OB AP PB ()，(1)，OP OA OB OP OP OA OB .OP 1 1OA 1OB ，AB OB OA ()OP AB ( 1 1 OA 1 OB ) OB OA 22 1 1OA 1OB ( 1 1 1)OA OB 3. 16966 1 310 1 13 1 0，3(10,3) 13 1 的取值范围是(10,3)OP AB 21.(15 分)(2018温州测

20、试)设AD是半径为 5 的半圆O的直径(如图)，B，C是半圆上两点， 已知ABBC.10 (1)求 cosAOC的值； (2)求的值DC DB 解 (1)如图，连接OB， 由余弦定理得 cosAOB . 252510 2 5 5 4 5 由ABBC知AOC2AOB， 则 cosAOCcos2AOB2cos2AOB1. 7 25 (2)方法一 由题意可知ADCAOB， ADBBDC，则|8.DC 又在 RtADB中，sinADB， 10 10 可得 cosADB，|3， 3 10 DB 10 所以 cosBDC， 3 10 故8372.DC DB 10 3 10 方法二 ()()DC DB OC

21、 OD OB OD ()()OC OA OB OA 2 OC OA OC OB OB OA OA |cosAOC|cosCOBOC OA OC OB |cosAOB25OB OA 720202572. 方法三 如图建立平面直角坐标系， 由(1)知，B，C的坐标分别为B(4,3)，C， ( 7 5， 24 5) 又D(5,0)， 则，(9,3)，可得72.DC ( 32 5 ，24 5) DB DC DB 22.(15 分)如图，在ABC中，.AM 3 4AB 1 4AC (1)求ABM与ABC的面积之比； (2)若N为AB中点，与交于点P，且xy(x，yR R)，求xy的值AM CN AP A

22、B AC 解 (1)在ABC中，AM 3 4AB 1 4AC 43，3()，AM AB AC AM AB AC AM 即 3，即点M是线段BC靠近B点的四等分点故ABM与ABC的面积之比为 .BM MC 1 4 (2)因为，AM 3 4AB 1 4AC AM AP xy(x，yR R)，所以x3y, AP AB AC 因为N为AB的中点， 所以xyy，NP AP AN AB AC 1 2AB (x 1 2)AB AC xyx(y1)，CP AP AC AB AC AC AB AC 因为，所以(y1)xy，NP CP (x 1 2) 即 2xy1，又x3y， 所以x ，y ，所以xy . 3 7 1 7 4 7