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1、核心素养提升练六十八核心素养提升练六十八 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若离散型随机变量 X 的分布列为 X01 P 则 X 的数学期望 E(X)等于 ( ) A.2 B.2 或 C. D.1 【解析】 选 C.由题意,+=1,a0,所以 a=1,所以 E(X)=0+1=. 2.已知 X 的分布列为 X-101 P 则在下列式子中E(X)=-;D(X)=;P(X=0)=,正确的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 【解析】选 C.由 E(X)=(-1)+0+1=-,知正确;由 D(X)= + +
2、=,知不正确;由分布列知正确. 3.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1. 6 元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如表所示的分布: X200300400500 P0.200.350.300.15 若购进这种鲜花 500 束,则利润的均值为 ( ) A.706 元B.690 元 C.754 元D.720 元 【解析】选 A.由分布列可以得到 E(X)=2000.2+3000.35+4000.3+5000.15=340, 所以利润是(3405+1601.6)-5002.5=706(元). 4.已知 X 是离散型随机
3、变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则 D(2X-1)= ( ) A.B.C.D. 【解析】选 B.因为 X 是离散型随机变量, P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=, 所以由已知得 1+a=,解得 a=2, 所以 D(X)= 1- 2 + 2- 2 =, 所以 D(2X-1)=22D(X)=4=. 【变式备选】已知离散型随机变量 的概率分布如下: 012 P0.33k4k 随机变量 =2+1,则 的数学期望为 ( ) A.1.1 B.3.2 C.11k D.22k+1 【解析】选 B.由 0.3+3k+4k=1 得 k=0.1, 所以 E()=00.3+10.3+20.4
4、=1.1, E()=2E()+1=21.1+1=3.2. 5.如果 XB(20,p),当 p=且 P(X=k)取得最大值时,k 的值为( ) A.9B.10C.11D.12 【解析】选 B.当 p=时,P(X=k)=,显然当 k=10 时,P(X=k)取得最大值. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数, 则 D(X)=_. 【解析】因为 XB,所以 D(X)=3=. 答案: 【变式备选】设随机变量 XB(8,p),且 D(X)=1.28,则概率 p 的值是_. 【解析】由 D(X)=8p(1-p)=
5、1.28, 所以 p=0.2 或 p=0.8. 答案:0.2 或 0.8 7.设随机变量 的分布列如下表所示: 012 Pabc 其中 a,b,c 成等差数列,若随机变量 的均值为,则 的方差为_. 【 解 析 】 由 题 意 有 a+b+c=1,2b=a+c,b+2c=,解 得 a=,b=,c=,则 其 方 差 为 D()= +=. 答案: 8.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为 0.005,保险公司开办一年期万元以 上家庭财产保险,交保险费 100 元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿 a 元(a1 000), 为确保保险公司有可能获益,则 a 的取值范围是_. 【解题
6、指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解. 【解析】X 表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为: X100100-a P0.9950.005 E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于 0,解得 a20 000,所以 a(1 000,20 000). 答案:(1 000,20 000) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为 “三 位递增数” (如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所
7、有的 “三位递增数” 中随机抽取 1 个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积 不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X). 【解析】(1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为=84,随机变量 X 可能的取值为 0,-1,1,因此 P(X=0)=,P(X=-1)=, P(X=1)=1
8、-=, 所以 X 的分布列为 X0-11 P 则 E(X)=0+(-1)+1=. 10.某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条 公路,且运费由厂商承担.若厂商恰能在约定日期(月日)将牛奶送到,则城市乙的销售商一 次性支付给牛奶厂20万元;若在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元; 若在约定日期后送到,每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元.为保证牛奶新鲜度,汽车只 能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中的一条公路运送牛奶,已知下表内的信息: 统计 信息 汽车行 驶路线 在不堵车的情况下 到达城市乙所需时 间(天) 在堵车的情况下到
9、达 城市乙所需时间(天) 堵车 的 概率 运费 (万元) 公路 1231.6 公路 2140.8 (1)记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为 (单位:万元),求 的分布列和均 值 E(). (2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多? (注:毛收入=销售商支付给牛奶厂的费用-运费) 【解析】(1)若汽车走公路 1, 不堵车时牛奶厂获得的毛收入 =20-1.6=18.4(万元); 堵车时牛奶厂获得的毛收入 =20-1.6-1=17.4(万元), 所以汽车走公路 1 时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为: 18.417.4 P E()=18.4+17.4=18.3(万元).
10、 (2)设汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入为 ,则 不堵车时牛奶厂获得的毛收入 =20-0.8+1=20.2(万元); 堵车时牛奶厂获得的毛收入 =20-0.8-2=17.2(万元). 所以汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为 20.217.2 P E()=20.2+17.2=18.7(万元). 因为 E()E(), 所以选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多. 【变式备选】有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两 建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下: X8910 P0.20.60.2 Y8
11、910 P0.40.20.4 其中 X 和 Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料, 越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料. 【解析】E(X)=80.2+90.6+100.2=9, D(X)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4; E(Y)=80.4+90.2+100.4=9, D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8. 由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料 相对稳定,应选甲厂的材料. (20 分钟 40
12、分) 1.(5 分)某运动员投篮命中率为 0.6,他重复投篮 5 次,若他命中一次得 10 分,没命中不得分; 命中次数为 X,得分为 Y,则 E(X),D(Y)分别为 ( ) A.0.6,60 B.3,12 C.3,120D.3,1.2 【解析】选C.XB(5,0.6),Y=10X,所以E(X)=50.6=3, D(X)=50.60.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120. 2.(5 分)有 10 件产品,其中 3 件是次品,从这 10 件产品中任取两件,用 表示取到次品的件数, 则 E()等于 ( ) A. B. C. D.1 【解析】选 A. 服从超几何分布 P(=x)=(x=0,
13、1,2), 则 P(=0)=, P(=1)=,P(=2)=. 故 E()=0+1+2=. 3.(5 分)已知 X 是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且 x1x2,若 E(X)=, D(X)=,则 x1+x2=_. 【解析】由题意得,E(X)=x1+x2=, D(X)=+=, 由得 x1+x2=3. 答案:3 4.(12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生 活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非 低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数分组低碳族的人数占本组的频率
14、 第一组25,30)1200.6 第二组30,35)195p 第三组35,40)1000.5 第四组40,45)a0.4 第五组45,50)300.3 第六组50,55150.3 (1)补全频率分布直方图,并求 n,a,p 的值. (2)从40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动,其 中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在40,45)岁的人数为 X,求 X 的分布列和均值 E(X). 【解析】 (1)因为第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3, 所以高为=0.06. 频率分布直方图补全如下: 因
15、为第一组的人数为=200, 频率为 0.045=0.2,所以 n=1 000. 第二组的频率为 0.065=0.3,故第二组的人数为 1 0000.3=300,因此 p=0.65. 由题意可知,第四组的频率为 0.035=0.15,故第四组的人数为 1 000 0.15=150, 因此 a=1500.4=60. (2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 6030=21, 所以采用分层抽样法抽取 18 人,40,45)岁中有 12 人,45,50)岁中有 6 人. 可知随机变量 X 服从超几何分布, 所以 P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)
16、=, P(X=3)=. 所以随机变量 X 的分布列为: X0123 P 所以 E(X)=0+1+2+3=2. 【变式备选】(2018山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务 宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如 图所示,其中年龄分组区间是20,25),25,30), 30,35),35,40),40,45. (1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中,年龄在35,40)岁的人数. (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动, 再从这 2
17、0 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中 “年龄低于 35 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及均值. 【解析】(1)因为小矩形的面积等于频率,所以除35,40)外的频率和为 0.70,所以 x= =0.06. 故 500 名志愿者中,年龄在35,40)岁的人数为 0.065500=150(人). (2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄 “低于 35 岁” 的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=. 故 X 的分布
18、列为 X0123 P 所以 E(X)=0+1+2+3=. 5.(13 分)自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调 整,使得“要不要再生一个” “生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避 不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户 有生育二孩能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周)1415161718 有生育意愿家庭数48162026 (1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概 率分别为多少? (2)假设从
19、5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单 位情况自主选择. 求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率. 如果用 表示两种方案休假周数和.求随机变量 的分布列及期望. 【解析】(1)由表中信息可知,当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 P1=; 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2=. (2)设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A, 由已知从 5 种不同安排方案中,随机地抽取 2 种方案选 法共有=10(种), 其和不低于 32 周的选法有(14,18),(15,17),(15,18),(16,17),(16,18),(17,18),共 6 种, 由古典概型概率计算公式得 P(A)= . 由题知随机变量 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. P(=29)=0.1,P(=30)=0.1,P(=31)=0.2,P(=32)=0.2,P(=33)= =0.2,P(=34)=0.1,P(=35)=0.1, 因而 的分布列为 29303132333435 P0.10.10.20.20.20.10.1 所以 E()=290.1+300.1+310.2+320.2+330.2+340.1+350.1=32.