《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练十三3.1变化率与导数导数的计算理含解析新人教A版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练十三3.1变化率与导数导数的计算理含解析新人教A版.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、核心素养提升练十三核心素养提升练十三 变化率与导数、导数的计算 变化率与导数、导数的计算 (25 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设函数 f(x)可导,则等于( ) A.f(1) B.3f(1) C.f(1) D.f(3) 【解析】选 A.=f(1). 2.曲线 y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是 ( ) A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0 【解析】选 C.因为 y=sin x+ex,所以 y=ex+cos x, 所以在 x=0 处的切线斜率 k=f(0)=1+1=2, 所以 y=sin x+e
2、x在点(0,1)处的切线方程为: y-1=2x, 即 2x-y+1=0, 3.函数 f(x)=x-g(x)的图象在点 x=2 处的切线方程是 y=-x-1,则 g(2)+g(2)= ( ) A.7 B.4 C.0 D.- 4 【解析】选 A.因为 f(x)=x-g(x),所以 f(x)=1-g(x),又由题意知 f(2)=-3, f(2)=-1, 所以 g(2)+g(2)=2-f(2)+1-f(2)=7. 4.直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切时,a=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【解析】选 D.设切点 P(x0,y0),则 y0=x0+1,且 y0=ln(x0+a
3、),又因为切线方程 y=x+1 的斜率为 1, 即 y=1,所以 x0+a=1, 所以 y0=0,x0=-1,所以 a=2. 5.下列曲线中,在 x=1 处切线的倾斜角为的是 ( ) A.y=x2-B.y=xln x C.y=sin(x) D.y=x3-2x2 【解析】选 D.在 x=1 处切线的倾斜角为,即切线的斜率为 tan=-1. 对于 A,y=x2-的导数为 y=2x+,可得在 x=1 处切线的斜率为 5; 对于 B,y=xln x 的导数为 y=1+ln x,可得在 x=1 处切线的斜率为 1; 对于 C,y=sin(x)的导数为 y=cos(x),可得在 x=1 处切线的斜率为 c
4、os =-; 对于 D,y=x3-2x2的导数为 y=3x2-4x,可得在 x=1 处切线的斜率为 3-4=-1. 6.若一质点按规律 s=8+t2运动,则在一小段时间2,2.1内的平均速度是 ( ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1 【解析】选 B.= =4.1. 7.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,按顺序与各 容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象相对应的一项是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 C.以第二个容器为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增加 得慢,以后高度增加得越来越快,反映在图象
5、上,符合上述变化情况.而第三个容器在开始时 高度增加快,后来时高度增加慢,图象适合上述变化情况. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.如图,y=f(x)是可导函数,直线l是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,令 g(x)=,则 g(4)=_. 【解析】由题图知,切线过(0,3),(4,5),所以直线l的斜率为=, 由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率,所以 f(4)=,f(4)=5. 由 g(x)=,得 g(x)= 故 g(4)=-. 答案:- 9.已 知 函 数 f(x)=aln(x+1)-x2,若 在 区 间 (0,1)内 任 取 两 个 实 数 p,q,且 p q,
6、不 等 式 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为_. 【 解 析 】的 几 何 意 义 表 示 为 点 (p+1,f(p+1)与 点 (q+1,f(q+1)两点间的斜率, p,q(0,1),所以 p+1,q+1(1,2). 所以1 恒成立表示函数 f(x)的曲线在区间(1,2)内的斜率恒 大于 1,即函数 f(x)的导数在区间(1,2)内恒大于 1. 所以 f(x)=-2x1 在区间(1,2)内恒成立,所以 a(1+2x)(x+1)=2x2+3x+1 恒成立, 当 x(1,2)时,(2x2+3x+1)max=15,所以 a15. 答案:15,+) 10.已知曲线 y=(1-x)xn(nN*)在
7、 x=处的切线为l,直线l在 y 轴上的截距为 bn,则数列bn 的通项公式为_. 【解析】因为曲线 y=(1-x)xn(nN*), 所以 y=-xn+n(1-x)xn-1 =xn-1(n-nx-x), 所以 y=(n-1), 因为当 x=时,y=, 所以切线l的方程为 y-= (n-1),当 x=0 时,直线l在 y 轴上的截距为 bn=(2-n). 答案:bn=(2-n) (20 分钟 40 分) 1.(5 分)已知 k,bR,设直线l:y=kx+b 是曲线 y=ex+x 的一条切线,则( ) A.k1 且 b1 D.k1 且 b1 【解析】选 C.y=ex+x 的导数为:y=ex+11,
8、可知 k1; 直线l:y=kx+b 在 y 轴上的截距为 b,曲线 y=ex+x,x=0 时,ymin=1,可知 b1. 2.(5 分)曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 ( ) A. B.2 C.3 D.0 【解析】 选 A.y=ln(2x-1)的导函数为 y=,设与曲线 y=ln(2x-1)相切且与直线 2x- y+3=0 平行的直线方程为:2x-y+m=0, 设切点为(x0,y0),所以=2,解得 x0=1, 所以 y0=ln(2x0-1)=ln 1=0, 所以切点为(1,0), 所以切点(1,0)到直线 2x-y+3=0 的距离为=. 即曲线 y=l
9、n(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是. 3.(5 分)已知函数 f(x)=x- 存在单调递减区间,且 y=f(x)的图象在 x=0 处的切线l与曲线 y=ex相切,符合情况的切线l( ) A.有 3 条B.有 2 条 C.有 1 条D.不存在 【解析】选 D.函数 f(x)=x-的导数为 f(x)=1-, 依题意可知,f(x)0 不符合题意; a0 时,f(x)aln a 符合题意,则 a0. 易知,曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线l的方程为 y=x-1. 假设切线l与曲线 y=ex相切,设切点为(x0,y0), 即有=1-=x0-1, 消去 a 得=x0-1,设
10、h(x)=exx-ex-1, 则 h(x)=xex,令 h(x)0,则 x0, 所以 h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增, 当 x-时,h(x)-1,当 x+时,h(x)+, 所以 h(x)在(0,+)有唯一解,则1, 而 a0 时,1-1 矛盾,所以符合情况的切线不存在. 4.(12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=1 处取得极值,且在 x=0 处的切线的斜率为-3. (1)求 f(x)的解析式. (2)若过点 A(2,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c, 依题意 又 f(0)
11、=-3,所以 c=-3, 所以 a=1,所以 f(x)=x3-3x. (2)设切点为(x0,-3x0), 因为 f(x)=3x2-3,所以 f(x0)=3-3, 所以切线方程为 y-(-3x0)=(3-3)(x-x0), 又切线过点 A(2,m), 所以 m-(-3x0)=(3-3)(2-x0), 所以 m=-2+6-6, 令 g(x)=-2x3+6x2-6, 则 g(x)=-6x2+12x=-6x(x-2), 由 g(x)=0 得 x=0 或 x=2,g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2, 画出草图知,当-60 时,y=, 所以 y=,所以 x=3 时,y=, 所以曲线 C 在点 A(3,)处的切线方程为 y-=(x-3),即 x-y-1=0. (2)设l:y=kx,M(x,y),则 将 y=kx 代入 y2=2x-4,可得 k2x2-2x+4=0, 所以=4-16k20,所以4, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=, 所以 y1+y2=,所以 x=,y=, 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y2=x(x4).