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1、核心素养提升练十七核心素养提升练十七 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 (25 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.设 f(x)=若 f(f(1)=1,则 a=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选 D.f(1)=0,又 f(x)=x+3t2dt=x+a3,x0,则 f(f(1)=f(0)=0+a3=1,解得 a=1. 2.曲线 y=x2+2x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.C.D. 【解析】选 A.由 可得或 所以曲线 y=x2+2x 与直线 y=x 所围成的封闭
2、图形的面积如图阴影部分为 (x-2x-x2)dx=. 3.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S10=dx,则 a5+a6= ( ) A.B.12C.6D. 【解析】选 D.S10=dx= dx+=+1-=1= =5(a5+a6),得 a5+a6=. 4.函数 f(x)=的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A.B.2C.3D.4 【解析】选 D.由题意,函数 f(x)=的图象与 x 轴所围成的封 闭图形的面积为三角形面积加上一曲边梯形面积为22+2cos xdx =2+2sin x=2+2=4. 5.等比数列an中 a3=9,前 3 项和为 S3=3x2dx,则公比 q
3、的值是( ) A.1 B.- C.1 或- D.-1 或- 【解析】选 C.S3=3x2dx=x3=33=27, 即前三项和为 S3=27, 因为 a3=9, 所以即 所以=,即 2q2-q-1=0, 解得 q=1 或 q=-. 6.如图,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,曲线段 DE 所在的曲线方程为 xy=1,现向该正方形内 抛掷 1 枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x- ln x)=3-2ln 2, 所以豆子落在阴影部分的概率为. 7.若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)d
4、x=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数, 给出三组函数f(x)=sinx,g(x)=cosx; f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)= ,g(x)=x,其中为区间-1,1上的正交函数 的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 B.函数 f(x),g(x)满足f(x)g(x) dx=0,则 y=f(x)g(x)为奇函数,对于 ,f(x)=sinx,g(x)=cosx,所以 f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,为奇函数,所以 f(x),g(x)在区间-1,1上是一组正交函数; 对于,f(x)=x+1,g(x)=x-1,则 f(x)g(x)=
5、(x+1)(x-1)=x2-1,为偶函数,所以 f(x),g(x)在区间 -1,1上不是一组正交函数; 对于:f(x)=g(x)=x, 则 f(x)g(x)= ,为偶函数, 所以 f(x),g(x)在区间-1,1上不是一组正交函数. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2018昆明模拟)计算dx=_. 【解析】dx=dx =+ln. 答案:+ln 9.已知 m=(cos x-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为_. 【解析】m=(cos x-x+3sin 2x)dx =2, 所以=, 所以 Tr+1=x6-r =,由 6-r=0 得 r=4,因此常数项为=. 答案: 1
6、0.已知直线 AB:x+y-6=0 与抛物线 y=x2及 x 轴正半轴围成的图形为 ,若从 RtAOB 区域内 任取一点 M(x,y),则点 M 取自图形 的概率为_. 【解析】由定积分可求得阴影部分图形 的面积为 S=x2dx+(6-x)dx=x3+(6x-x2)=,又 RtAOB 的面积为66 =18, 所以 P=. 答案: (20 分钟 40 分) 1.(5 分)若 S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则 S1,S2,S3的大小关系为( ) A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S2S3S1D.S3S2S1 【解析】选 B.因为 S1=x2dx=x3 =23-=, S2=dx=l
7、n x=ln 2, S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1), 因为 ln 2ln e=1 且e(e-1), 所以 ln 2e(e-1),即 S2S1S3 2.(5 分)直线 x=1,x=e 与曲线 y=,y=围成的面积是( ) A.(2-5) B.(2-1) C.(2-2) D.2-5 【解析】选 A.如图所示,由直线 x=1,x=e 与曲线 y=,y=围成的阴影部分面积是 3.(5 分)由曲线 y=x2和直线 x=0,x=1,y=t2(t 为常数且 t(0,1)所围成的图形(阴影部分)的 面积的最小值为( ) A.B.C.D. 【解析】选 A.由得 x=t. 故 S=(t2-x2)dx
8、+(x2-t2)dx =+ =t3-t2+, 令 S=4t2-2t=0,因为 0t1,所以 t=, 易知当 t=时,Smin=. 4.(12 分)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式. (2)若直线 x=-t(0t1)把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. 【解析】 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a0),则 f(x)=2ax+b,由已知 f(x)=2x+2,得 a=1,b=2,所以 f(x)=x2+2x+c. 又方程 x2+2x+c=0 有两个相等的实数根, 所以 =4
9、-4c=0,即 c=1.故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意得(x2+2x+1)dx=(x2+2x+1)dx, 所以=, 整理得 2t3-6t2+6t-1=0,即 2(t-1)3+1=0,所以 t=1-. 5.(13 分)已知曲线 C1:y2=2x 与 C2:y=x2在第一象限内的交点为 P. (1)求 P 处与曲线 C2相切的直线方程. (2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积 S. 【解析】(1)曲线 C1:y2=2x 与 C2:y=x2在第一象限内交点为 P(2,2).C2:y=x2的导数 y=x, y|x=2=2, 而切点的坐标为(2,2), 所以曲线 C2:y=x2在 P 处的切线方程为 y-2=2(x-2),即 2x-y-2=0. (2)由曲线 C1:y2=2x 与 C2:y=x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2), 所以两条曲线所围图形的面积 S=dx=.