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1、第二章第二章 不等式不等式 第第4节节 基本不等式基本不等式 知识梳理知识梳理 1.基本不等式基本不等式: (其中其中a,bR+) (1)基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件:a,bR+ . (2)等号成立的条件等号成立的条件:当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立. 2abab 2 2. .常用的不等式常用的不等式: : 22 22 2 12,R ;22( )()( )() ( )( )() 2 ( )() ,R; 3;4; 2 52R. abab a bababa b ab a ab ab a a ba bb b 其中 其中 3.常见的变形形式常见的变形形式: 11 1,R,. 1
2、111 ()() ():2224.() ababm a b ab aba b ab ababbab a 若或求的最小值 利用 4 4. .重要推论重要推论: : 22 2 (0,0) 11 22 abab abab ab 5 5. .常用模型常用模型: : 222 () (1)(0,0,0,0); (2)2(0,0,0). xyxy abxy abab b axab abx x 精选例题精选例题 【例例1】 (1)已知已知x0,求求的最小值的最小值; 99 10,22 36, 99 ,3, ( 6. )xxx xx xxx xx 【解析】 当且仅当即时有最小值 9 x x (2)已知已知x1,
3、求求 的最小值的最小值. 1 1 x x 21,10, 111 112 (1) ()13, 111 11 1,2,3. 11 ( )xx xxx xxx xxx xx 当且仅当即时取得最小值 【例【例2】 已知已知x0,y0,且且x+y=1,求求 的最小值的最小值. ()()() 0,01, 14141444 5 4 52549, 4 1214 ,9. 33 1 xyxy yxyx xyxy xyxyxxyyxy yx xy yx xyxy xy xy 【解析】 且 当且仅当即时取等号的最小值为 14 xy 专题训练专题训练 1.若若x0,则则 的最小值为的最小值为 ( ) A.2 B.3 C
4、. D.4 D 444 0,24, 2.D. xxxx xxx x 【答案】 【解析】 因为所以当且仅当 即时等号成立选 4 x x 2 2 2.已知已知x-1,则函数则函数 的最小值为的最小值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 C 11 1,10,11 11 1 2 (1)11, 1 1 1,1,0,. 1 ()xxyxx xx x x xxx x 【答案】 【解析】由于则所以 当且仅当由于即当时 上式取等号 1 1 yx x 22 A 3333,21. 0,0, 212144 2()()4248, 41 ,2. 2 abab ab ab abab ab ababbaba ab ab
5、 ba 【答案】 【解析】由题意可知即 因为 所以 当且仅当即时取 2 21 3.0,0.333, 1 A.8B.4C.1D. 4 () ab ab ab 设若是与的等比中项 则的最小值为 C 12121 22 ,0,0.22, 2 22,2 2)C( ababab ababa bab abbaab 【答案】 【解析】 当且仅当时取等号的最小值为故选 12 4., A. 2B.2C.2 2D 4 () . a babab ab 若实数满足则的最小值为 5.(2015福建福建,文文5)若直线若直线 (a0,b0)过点过点(1,1),则则a+b的最的最 小值等于小值等于( ) A.2B.3C.4D
6、.5 C 1111 1,2, 0,0,22,4, ,2. ()() ba abab ababab bab a abab aba b ba ab ab 【答案】 【解析】由已知得则 因为所以故 当即时取等号 1 xy ab C 0,0,22,222 , 11 22 2,2 ,1,. 22 1 ,. 2 xyxyxyxy xy xyxyxy xy 【答案】 【解析】因为所以 即当且仅当即时 等号成立 所以有最大值 且最大值为 6.已知已知x0,y0,且且x+2y=2,则则xy( ) A.有最大值为有最大值为1 B.有最小值为有最小值为1 C.有最大值为有最大值为D.有最小值为有最小值为 1 2 1
7、 2 7.(2012浙江浙江)若正数若正数x,y满足满足x+3y=5xy,则则3x+4y的最小值是的最小值是( ) 2428 A.B.C.5D.6 55 C 13 35,5, ( 1131 31213113 342365. 555 )( 55 () xyxy yx xy xy yxyx 【答案】 【解析】 22 A 1 111 112 1111 1 12, (1) 1,10,10,2 1 ( )()() () ()24, 1 1 ( ) (,2,. (1) 4 ) ( ). xx f xxx xxxx x x xxxf x xx x f x 【答案】 【解析】 因为所以所以 当且仅当即时 等号
8、成立 故有最小值 8.已知函数已知函数 ,则则 ( ) A.f(x)有最小值有最小值4 B.f(x)有最小值有最小值-4 C.f(x)有最大值有最大值4 D.f(x)有最大值有最大值-4 2 ( )(1) 1 x f xx x 9.(2013福建福建,文文)若若2x+2y=1,则则x+y的取值范围是的取值范围是( ) A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-2 2 D 1222 222 2, 1 22 ,2. 4 xyxyx y x y xy 【答案】 【解析】 故 2 9 2 2(3 ()() 2 )9 4322 2322, 22 3 232 ,. 4 3339 0,4320. 4222 ()()() xx yxxxx xxx yxxx 【答案】 【解析】 当且仅当即时 等号成立 函数的最大值为 10.设设00,y0,且且 ,求求x+y的最小值的最小值. 1010 1999 ()()216, . 4,12 19 1 9 ,16. xyxy xy yxyx xyxyxy xy yx xy 【解析】 当且仅当时取到最小值 解得时 取到最小值为 19 1 xy 16.已知已知x0,求求 的最大值的最大值. 2 2 222 0,1, 1 11 2 12 ,1,1. 1 x x x x x x x x xx xx 【解析】 当且仅当即时取等号的最大值为 2 2 1 x y x