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1、第八章第八章 立体几何立体几何 测试测试 一、选择题一、选择题 1.(2016浙江浙江)已知互相垂直的平面已知互相垂直的平面,交于直线交于直线l,若直线若直线m,n满足满足 m,n,则则( ) A.mlB.mnC.nlD.mn 【答案答案】C 【解析解析】 A项项,已知已知,且且=l,m,若若m,那么那么ml,故故A项错误项错误; B项项,若若ml,且已知且已知n,那么那么nl,mn,故故B项错误项错误; C项项,因为因为n,l,所以所以nl,故故C项正确项正确; D项项,若若m,且且ml,那么那么mn,故故D项错误项错误;故选故选C. 2.(2015福建福建)若若l,m是两条不同的直线是两条
2、不同的直线,m垂直于平面垂直于平面,则则“lm” 是是“l”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案答案】 B 【解析解析】 因为因为lm,m,所以所以l或或l.故充分性不成立故充分性不成立. 若若l,m,一定有一定有lm.故必要性成立故必要性成立.选选B. 2 A , . 1 14 22595 . 2 ()S 【答案】 【解析】由三视图可知 该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥 且圆锥的高是圆柱高的一半故该几何体的表面积 3.(2018兰州诊断考试兰州诊断考试)某几何体的三视
3、图如图所示某几何体的三视图如图所示,则该几何体则该几何体 的表面积为的表面积为( ) A.(95)B.(92 5) C.(105)D.(102 5) 4.如图如图,在三棱锥在三棱锥D-ABC中中,若若AB=CB,AD=CD,E是是AC的中点的中点,则则 下列命题中正确的是下列命题中正确的是( ) A.平面平面ABC平面平面ABD B.平面平面ABD平面平面BCD C.平面平面ABC平面平面BDE,且平面且平面ACD平面平面BDE D.平面平面ABC平面平面ACD,且平面且平面ACD平面平面BDE 【答案答案】 C 【解析解析】 因为因为AB=CB,且且E是是AC的中点的中点,所以所以BEAC,
4、 同理同理,DEAC,由于由于DEBE=E,于是于是AC平面平面BDE. 因为因为AC平面平面ABC,所以平面所以平面ABC平面平面BDE.又又AC平面平面ACD, 所以平面所以平面ACD平面平面BDE.故选故选C. 5.(2013新课标新课标卷卷)已知已知m,n为异面直线为异面直线,m平面平面,n平面平面,直直 线线l满足满足lm,ln,l ,l ,则则( ) A.且且l B.且且l C.与与相交相交,且交线垂直于且交线垂直于l D.与与相交相交,且交线平行于且交线平行于l 【答案答案】 D 【解析解析】 若若,则则mn,这与这与m,n为异面直线矛盾为异面直线矛盾,所以所以A不正确不正确.
5、将已知条件转化到正方体中将已知条件转化到正方体中,易知易知与与不一定垂直不一定垂直,但但与与的交的交 线一定平行于线一定平行于l,从而排除从而排除B,C,故选故选D. 6.(2012四川四川)下列命题正确的是下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平则这两个平 面平行面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的则这条直线与这两个平面的 交线平行交线平行 D.
6、若两个平面都垂直于第三个平面若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行则这两个平面平行 【答案答案】 C 【解析解析】 对于选项对于选项A,这两条直线可以相交或为异这两条直线可以相交或为异 面直线面直线,A错误错误;对于选项对于选项B,这两个平面可以相交这两个平面可以相交,B错误错误;对对 于选项于选项D,这两个平面还可能相交这两个平面还可能相交,D错误错误;而由线面平行的性质而由线面平行的性质 定理可证定理可证C正确正确.故选故选C. 7.圆柱的底面积为圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面那么圆柱的侧面 积是积是( ) A.4SB.2SC.SD.
7、 S 2 A , 22 , 4 ,A. S rS S S S 【答案】 【解析】由得圆柱的底面半径是 故侧面展开图的边长为 所以圆柱的侧面积是故选 2 3 3 8.(2016全国全国)如图如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条互相垂直的半径每个圆中两条互相垂直的半径,若该几何体的体积是若该几何体的体积是 ,则它则它 的表面积是的表面积是( ) A.17 B.18 C.20 D.28 3 22 A 1 , 8 7428 ,2, 833 73 417,A. 84 rrr Srr 【答案】 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉后剩下的几何体
8、 设球的半径为 故所以 表面积选 28 3 9.(2016新课标新课标卷卷)平面平面过正方体过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的顶点A, 平面平面CB1D1,平面平面ABCD=m,平面平面ABB1A1=n,则则m,n所成角的所成角的 正弦值为正弦值为( ) 11 111 1111 A ,. , ,. ,.60 , 3 ,. 2 BDAP AFEQAEnAFm AFEAFFEAEFAE mn 【答案】 【解析】 解答本题的关键是找到平面如图所示 在正方体的一侧补上一个与其完全一样的正方体 则平面即为平面直线即为直线直线即为直线 在中所以 即为直线 与 所成的角 其正弦值为 3231 A.B
9、.C.D. 2233 10.(2018广州模拟广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形其中四边形 ABCD为正方形为正方形,E,F分别为分别为PA,PD的中点的中点,在此几何体中在此几何体中,给出下面给出下面 四个结论四个结论: 直线直线BE与直线与直线CF异面异面;直线直线BE与直线与直线AF异面异面; 直线直线EF平面平面PBC;平面平面BCE平面平面PAD. 其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 【答案答案】 B 【解析解析】 画出该几何体画出该几何体,如图所示如图所示, 因为因为E,F分别是分别是PA,PD的中点
10、的中点,所以所以EFAD,所以所以EFBC,直直 线线BE与直线与直线CF是共面直线是共面直线,故不正确故不正确; 直线直线BE与直线与直线AF满足异面直线的定义满足异面直线的定义,故正确故正确; 由由E,F分别是分别是PA,PD的中点的中点,可知可知EFAD,所以所以EFBC,因为因为 EF 平面平面PBC,BC平面平面PBC,所以直线所以直线EF平面平面PBC,故正故正 确确; 因为因为BE与与PA的关系不能确定的关系不能确定,所以不能判定平面所以不能判定平面BCE平面平面 PAD,故不正确故不正确. 所以正确结论的个数是所以正确结论的个数是2. 二、填空题二、填空题 11.(2016新课
11、标新课标卷卷),是两个平面是两个平面,m,n是两条直线是两条直线,有下列四个有下列四个 命题命题: 如果如果mn,m,n,那么那么. 如果如果m,n,那么那么mn. 如果如果,m,那么那么m. 如果如果mn,那么那么m与与所成的角和所成的角和n与与所成的角相等所成的角相等. 其中正确的命题有其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号填写所有正确命题的编号) 【答案答案】 【解析解析】 若若mn,m,n,则则与与可能平行或相交可能平行或相交,故错故错 误误;显然成立显然成立;若若,m,则则m与与无公共点无公共点,因而因而m,故故 正确正确;由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知正确由线面
12、角的定义、等角定理及面面平行的性质可知正确. 12.如图如图,平面平面平面平面,PAB所在的平面与所在的平面与,分别交于分别交于CD,AB, 若若PC=2,CA=3,CD=1,则则AB= . 5 2 /,/, 5 15 . 22 PCCD CD AB PAAB PA CD AB PC 【答案】 【解析】 平面平面则 13.球球O半径为半径为R=13,球面上有三点球面上有三点A,B,C,AB= ,AC=BC=12, 则四面体则四面体OABC的体积是的体积是( ) 2222 A ,12 3,12, 12 3 30 ,120 .224.12. sin120 13125. 1 12 12 sin120
13、36 3, 2 1 36 3 560 3.A. 3 ABC O ABC ABCrABABBC ABCrr OABCdRr S V 【答案】 【解析】 设外接圆半径为 由 得所以解得 则 到平面的距离 又 所以故选 12 3 A.60 3B.50 3C.60 6D.50 6 14.(2012四川四川)如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是棱分别是棱 CD,CC1的中点的中点,则异面直线则异面直线A1M与与DN所成的角的大小是所成的角的大小是 . 11 11 2222 1 22222222 1111 11 90 , /., ,.4. 11 (4 2)341,425,
14、 22 442 () 6, 90 , CNKMKMKCDN MK DNAMKAMDN AC AM AKMKDN AMA AAMAMMKAK AMKAMDN 【答案】 【解析】如图 取的中点连接则为的中位线 所以所以为异面直线与所成的角 或补角 连接设正方体棱长为 则 即异面直线与所成的角的大90 . 小是 三、解答题三、解答题 15.如图如图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,A1A平面平面ABC,ACB=90,M 是是AB的中点的中点,AC=CB=CC1=2. (1)求证求证:平面平面A1CM平面平面ABB1A1; 【解析解析】 (1) 证明证明:由由A1A平面平面ABC,CM平面平面AB
15、C,则则A1ACM. 由由AC=CB,M是是AB的中点的中点,则则ABCM. 又又A1AAB=A,则则CM平面平面ABB1A1, 又又CM平面平面A1CM,所以平面所以平面A1CM平面平面ABB1A1. 15.如图如图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,A1A平面平面ABC,ACB=90,M 是是AB的中点的中点,AC=CB=CC1=2. (2)求点求点M到平面到平面A1CB1的距离的距离. 1111 11111111 11 11 11 1111 11 - 11 ( ) ( ) 2, 22 2, 2 3,2 2.1, 11 , 33 2 3 ,. 3 ACBA MB C A MBA MBM
16、ACBACB A MB ACB MACBh ACCBABMC SSCMABB A VMC SVh S MC S MACBh S 设点到平面的距离为 由题意可知 由可知平面得 所以 点到平面的距离 16.如图如图(1),在直角梯形在直角梯形ABCD中中,ADBC,ABBC,BDDC, 点点E 是是BC边的中点边的中点, 将将ABD沿沿BD折起折起,使平面使平面ABD平面平面BCD,连连 接接AE,AC,DE,得到如图得到如图(2)所示的几何体所示的几何体. (1)求证求证:AB平面平面ADC; (1)证明证明:因为平面因为平面ABD平面平面BCD,平面平面ABD平面平面BCD=BD, 又又BDD
17、C,所以所以DC平面平面ABD. 因为因为AB平面平面ABD,所以所以DCAB, 又因为折叠前后均有又因为折叠前后均有ADAB,DCAD=D, 所以所以AB平面平面ADC. 16.如图如图(1),在直角梯形在直角梯形ABCD中中,ADBC,ABBC,BDDC, 点点E 是是BC边的中点边的中点, 将将ABD沿沿BD折起折起,使平面使平面ABD平面平面BCD,连连 接接AE,AC,DE,得到如图得到如图(2)所示的几何体所示的几何体. (2)若若AD=1,AC与其在平面与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为内的正投影所成角的正切值为 求点求点B到平面到平面ADE的距离的距离. 6, 21,
18、. , ( )( ) tan6,1,6. DCABDACABDAD CADACABD CD CADADCD AD 由知平面所以在平面内的正投影为 即为与其在平面内的正投影所成角 依题意因为所以 2 2 22 0 ,1, 6 ,2,2,3,3. 1 1 , 33 , 2222 1312 1( )( ). 2222 13 ,. 33 () ADE ABCDABD ABDC ABx xBDxABDDCB ADBD x xABBDBC x ABADC ABAC EBC BCBC AEDE S DCABDVCD S BA 设则因为所以 即解得故 由于平面为的中点 由平面几何知识得同理 所以 因为平面所以 设点 到平面 , 1136 , 3262 6 . 2 ADEBADEABDEABCD DEd d SVVVd BADE 的距离为 则所以 即点 到平面的距离为