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1、第六章第六章 导数导数 1.(2018广州一模广州一模)已知函数已知函数f(x)=alnx+xb(a0). 当当b=2时时,讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性. 第第3节节 导数综合解答题导数综合解答题 2 2 ( )() ( )( ) 0,. 2 2,ln,2. 0,0,0,. 0,0, 2 0,0,0,; 22 ,0, ( )( )() ( ) ( )( )() (,)( )( 22 ) f x axa bf xaxxfxx xx afxf x a afxx aa xfxf x aa xfxf x 【解析】 函数的定义域为 当时所以 当时所以函数在上单调递增 当时 令解得 当时所以函
2、数在上单调递减 当时所以函数在上单调递. ,2,0,0,; 2,0, 0,. 2 ( )( ( 2 ) ( )() baf x ba aa f x 增 综上所述 当时 函数在上单调递增 当时 函数在上单调递减 在上单调递增 2.(2018烟台烟台)已知函数已知函数f(x)=lnx+ax2+(2+a)x(aR). 讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性. ( )()() ( )()( )() 1(21)(1) 220 , 0,00,0,; 1 ( )( ) ( )()( 1 0,0,0,0, 11 0,),. xax fxaxax xx afxf x afxxfxx aa f x aa 【解析
3、】 当时在上恒成立在上单调递增 当时 令解得令解得 此时在递增 在递减 3.(2018深圳模拟深圳模拟)设函数设函数f(x)=ex-1-alnx,其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数. 若若a=1,求求f(x)的单调区间的单调区间. 1 1 11 ( )()( )() ( )()( )()() ( ) e1 1,eln0 ,0 . e10 ,1 e0 , ( )( ) () 0, 0,10, 0,1,0,0, 1,0, ( )( )( ) ()( )( )0 ) . ( ,( x x xx x af xx xfxx x t xxxt xxx xt xt xt xt xfxf x xt x
4、fxf x f x 【解析】 若则 令则 当时即单调递增 又 当时单调递减 当时单调递增 的0,1(),1,.()单调递减区间为单调递增区间为 4.(2018天一大联考天一大联考)已知函数已知函数f(x)=4alnx-ax-1. 若若a0,讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性. 4(4) , 0,0,4,4,; 0,0,4 ( ) ( )()() ( )()(,4.), aax fxa xx af x af x 【解析】 依题意 若则函数在上单调递增 在上单调递减 若则函数在上单调递减 在上单调递增 5.(2017广州模拟广州模拟)已知函数已知函数f(x)=lnx+ (a0). 若函数若函
5、数f(x)有零点有零点,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 22 min ( )() ( )( ) ()( )()( ) ln0,. 1 ln,. 0,0,0;,0. 0,. ,ln1. 1 ln10,0,1l ( )()() ( n10, e ) ( )( ) a f xx x aaxa f xxfx xxxx axafxxafx f xaa xaf xa aafaaf x 【解析】函数的定义域为 由得 因为则时时 所以函数在上单调递减 在上单调递增 当时 当即时 又则函数 0( . e 1 ,.a 有零点 所以实数 的取值范围为 a x 2 2 ( )() ( )()( )() ( )(
6、) ( )( ) 442 :20 , 0,00,0,. 22 2 ()() 442 0,20 , 2 ( )()( 2 0,0;0,. 22 0,.) mx fxmxx xx mfxxf x m xx mx mm mfxmxx xxx fxxfxx mm f x mm 【解析】由题知 当时在时恒成立在上是增函数 当时 令得令得 在上为增函数 在上为减函数 6.(2018惠州模拟惠州模拟)已知函数已知函数f(x)=4lnx-mx2+1(mR). 讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性. :e12 . 0,0,e10,0; 0,e10 ( )() ()( ,0. 0,0,10,0; 0,e10,
7、0. ,0,0, ) ()( ) ()( ) ()( ) ( )()(.) mx mx mx mx mx fxmx mxfx xfx mxefx xfx f x 【解析】 证明 若则当时 当时 若则当时 当时 所以在单调递减 在单调递增 7.(2015新课标新课标卷卷)设函数设函数f(x)=emx+x2-mx. 证明证明:f(x)在在(-,0)单调递减单调递减,在在(0,+)单调递增单调递增. 8.(2018晋城模拟晋城模拟)已知函数已知函数f(x)= ax2+(a-1)x+(1-2a)lnx(a0). 若若x=2是函数的极值点是函数的极值点,求求a的值及函数的值及函数f(x)的极值的极值.
8、1 2 2 2 ( )()() ( )()() ( ) 1 11 2ln , 2 1 2 10 , 1 211 221() ( )( ) ( )( ) ( )( 20, 224 131131(1)(2) ln , 8424424 012,0, 12,0, f xaxaxax a fxaxax x a faaaa xx f xxxx fxx xx xxfxf x xfxf x 【解析】 由已知解得 此时 当和时是增函数 当时) ( ) ( ) , 12. 135 1, 848 1311 2ln2ln2 1. 2222 ( ) ( ) f xxx f xf f 是减函数 所以函数在和处分别取得极大
9、值和极小值 故函数的极大值为 极小值为 9.(2018广东七校联考广东七校联考)已知函数已知函数f(x)=lnx,h(x)=ax(aR). 函数函数f(x)与与h(x)的图象无公共点的图象无公共点,试求实数试求实数a的取值范围的取值范围. 2 max ( )( )() ( ) ln ,0,. ln1 ln ,( ),0,e. 1 e,e, e ln1 0, e 1 ,. e ( ) ( ) () () x f xh xa x xx t xt xt xx xx xtt x aa x a 【解析】 函数与无公共点 等价于方程在无解 令则令得 因为是唯一的极大值点 故 故要使方程在无解 当且仅当 故
10、实数 的取值范围为 x(0,e)e(e,+) t(x)+0- t(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减 10.(2018马鞍山马鞍山)已知函数已知函数f(x)=lnx-ax2+x,aR. 讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性. 2 2 2 12 1212 22 ( )( ) ( )()( )() ( ) ( )( 21 ln, ) :,0, 0,00,0,; 0, 181181 0,210, 44 1 0,0, 2 00,0,( )() axx f xxaxxfxx x afxf x a aa fxaxxxx aa x xxx a fxxxfxxx 【解析】 由得 当时在上恒成
11、立 函数在上单调递增 当时 令则得 令得令得 ( )() , 181181 0,. 4 ) 4 ( aa f x aa 在上单调递增 在上单调递减 ,; 1 e211 e2. 0,2 e , ( )()()()() ( )()( ) ()( )()( . 0,) ( )()( 1,0;1,0. ,1,1,. 1e,2,0 ) ( )( ) xx x fxxa xxa af xxf x axfxxfx f x ffabb 【解析】 求导 根据导函数的符号来确定 主要要根据导函数零点来分类 设则只有一个零点 设则当时当时 所以在上单调递减 在上单调递增 又取 满足且 22 ( )()()( l )
12、( ) n, 2 3 210,. 22 a b a f bba ba bbf x 则故存在两个零点 11.(2016新课标新课标卷卷,理理21)已知函数已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点有两个零点. 求求a的取值范围的取值范围. 1e0,0,01ln2. e ,ln21, 2 1,0,1,. e ,ln21, 2 1,ln2,0;ln2, ( )( )() () ()( )( )() () ()( )( ()( ) ( )( 0. 1,)ln2,ln2)(),() fafxxxa aa xfxf x aa xafxxafx f xaa 设由得或 若则 故当时因此在上单调
13、递增 若则 故当时当时 因此在单调递减 在. 1,0,. , ( )( ) (0,. ) xf xf x a 单调递增 又当时所以不存在两个零点 综上 的取值范围为 12.(2018南平模拟南平模拟)已知函数已知函数f(x)=lnx-(a+1)x,其中其中aR. 试讨论函数试讨论函数f(x)的单调性及最值的单调性及最值. ( )() ()( )()() ( )( )()( ) ( )( )() ( ) 11 (1) ln10:10 ; 1,0,0, ; 11 1,0,0,0, 11 11 ( )( 1 ,0, 1 ) ( 11 ax f xxax xfxax xx afxf xf x axfx
14、f x aa xfxf xx aaa f x 【解析】 由得 当时在单调递增没有最大值 也没有最小值 若当时在单调递增 当时在单调递减 所以当时 11 ln1ln11,. 11 )()()( )faf x aa 取到最大值没有最小值 ( )() ( ) ln0,0,ln0. 11 ln ,10,0 , 0,0,0, 10,1,0,; 1 0,0,. ( )( )() ( )( )() ( )( ) ( ) f xx axaxxaxax ax g xaxaxgg xax xx ag xg x gxg x ag xx a 【解析】因为所以 令则 当时在上单调递减 时不符合 当时 令得 13.(20
15、17新课标新课标卷卷,21)已知函数已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且且f(x)0.求求a. min ( )( )() ( )( )() ( )()( )( ) ( )()( )( ) ( ) 1 0,0,0,; 1 ,0,0,. 111 01,1,1,10,; 111 ( 1,1,1,10,; 1 1,10,0.,)( )( )1 xg xg x a xg xg x a ag xgg aaa ag xgg aaa ag xggg xa a 当时在上单调递减 当时在上单调递增 若即则在上单调递减不符合 若即则在上单调递增不符合 若则综上. 2 2(21)1(21)(1) 0 . 0,
16、0,0,; 11 0,0,. 22 ( )() ( )( )() ( )()() axaxaxx fxx xx afxf x af x aa 【解析】 当时则在单调递增 当时 则在上单调递增 在上单调递减 14.(2017新课标新课标卷卷,21)已知函数已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. 讨论讨论f(x)的单调性的单调性. 15.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (1)若若a=3,求求f(x)的单调区间的单调区间; 322 1 13,333,63. 3 032 332 3. ,32 332 3,0; ( )( )( ) ( )
17、()( 32 3,32 3,0. ,32 3 , 3 )( ) ()( ) ( )() () ( 2 3, 32 3,32 3.) af xxxxfxxx fxxx xfx xfx f x 【解析】 当时 令解得或 当时 当时 故在单调递增 在单调递减 1 3 15.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)= x3-a(x2+x+1). (2)证明证明:f(x)只有一个零点只有一个零点. 3 2 2 3 22 22 222 ( )( ) (23) ( )( ) (1) ( ) 2:10,030. 1 3 ,0, 1 00,. ,. 1111 316260,310, 3 ( )()
18、( )( ) ( 66 )() 3 ( x xxf xa xx x g xag x xx xg xg x g xxx x xf x faaaaa x f f 证明 由于所以等价于 设则 仅当时所以在单调递增 故至多有一个零点 从而至多有一个零点 又 故.,(.)( )xf x有一个零点综上只有一个零点 1 3 16.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=aex-lnx-1. (1)设设x=2是是f(x)的极值点的极值点.求求a,并求并求f(x)的单调区间的单调区间; 2 22 1 10,e. 1 , 20,. 2e 111 eln1,e. 2e2e 02,0;2,0. 0,2,
19、 ( ) ( )()( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )(2)(),. x xx f xfxa x fa f xxfx x xfxxfx f x 【解析】 的定义域为 由题设知所以 从而 当时当时 所以在单调递减 在单调递增 16.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=aex-lnx-1. (2)证明证明:当当a 时时,f(x)0. ( )( ) ( )( ) ( ) 1e 2:,ln1. ee ee1 ln1, ( )( ) ( )( . ee 01,0;1,0.1. 1 0,10.,0. e )( ) x xx af xx g xxg x x xg xxg xxg x xg xgaf x 证明 当时 设则 当时当时所以是的最小值点 故当时因此 当时 1 e