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1、第十一章第十一章 圆锥曲线圆锥曲线 第第4节节 求轨迹方程的专题训练求轨迹方程的专题训练 知识梳理知识梳理 1.轨迹轨迹:一个点在空间移动一个点在空间移动,它所通过的全部路径叫做这个点它所通过的全部路径叫做这个点 的轨迹的轨迹. 轨迹轨迹,包含两个方面的问题包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条凡在轨迹上的点都符合给定的条 件件,这叫做轨迹的纯粹性这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不凡不在轨迹上的点都不 符合给定的条件符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨这叫做轨 迹的完备性迹的完备性(也叫做充分性也
2、叫做充分性). 2.轨迹方程轨迹方程:就是与几何轨迹对应的代数描述就是与几何轨迹对应的代数描述. 3.求轨迹方程的步骤求轨迹方程的步骤:建设建设“限限”代化代化(检验检验) 建建(坐标系坐标系); 设设(动点坐标动点坐标); 限限(限制条件限制条件,动点、已知点满足的条件动点、已知点满足的条件); 代代(动点、已知点坐标代入动点、已知点坐标代入); 化化(化简整理化简整理); 检验检验(要注意所求轨迹方程中变量的取值范围要注意所求轨迹方程中变量的取值范围). 4.求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法:常用的有直接法、定义法、相关点法、常用的有直接法、定义法、相关点法、 参数法和交轨法等参数法和交轨
3、法等. 5.求轨迹方程注意事项求轨迹方程注意事项:求轨迹方程时求轨迹方程时,要注意曲线上的点与要注意曲线上的点与 方程的解是一一对应关系方程的解是一一对应关系,正确进行化简与计算是必须具备的基正确进行化简与计算是必须具备的基 本能力本能力;求出轨迹方程后求出轨迹方程后,容易忽略容易忽略x的范围的范围,导致轨迹图形出错导致轨迹图形出错. 检验可从以下两个方面进行检验可从以下两个方面进行:一是方程的化简是否是同解变一是方程的化简是否是同解变 形形;二是是否符合题目的实际意义二是是否符合题目的实际意义. 精选例题精选例题 1.直接法直接法:直接将条件翻译成等式直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点
4、的轨整理化简后即得动点的轨 迹方程迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法. 【解题规律解题规律】 (1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与如距离与 角角)的等量关系的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需我们只需 把这种关系转化为把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程的等式就得到曲线的轨迹方程. (2)直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关 系翻译为代数方程系翻译为代数方程,要注意翻译的等
5、价性要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为通常将步骤简记为 “建设建设限限代化代化(检验检验)”五个步骤五个步骤,但最后的证明可以省略但最后的证明可以省略.如如 果题目给出了直角坐标系则可省去建系这一步果题目给出了直角坐标系则可省去建系这一步.求出曲线的方程求出曲线的方程 后还需注意检验方程的纯粹性和完备性后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 【例例1】 已知动圆已知动圆Q过定点过定点A(2,0)且与且与y轴截得的弦轴截得的弦MN的长为的长为4, 则动圆圆心则动圆圆心Q的轨迹方程为的轨迹方程为 . 2 22 2 2 222 22 ()() () 2 4 ,.2,0 4, 22,() 4 .4 .
6、 yx Q x yQAy MNxAQ MN xxy yxQyx 【答案】 【解析】 设因为动圆 过定点且与 轴 截得的弦的长为所以 所以 整理得所以动圆圆心 的轨迹方程是 【变式变式1-1】 一条线段一条线段AB的长等于的长等于2a,两个端点两个端点A和和B分别在分别在x轴轴 和和y轴上滑动轴上滑动,求求AB中点中点M的轨迹方程的轨迹方程. 22222 ,: 11 ,2, 22 , () . Mx y AOBOMABaa xya xyaMOa 【解析】 设点的坐标为由平面几何的中线定理 在直角三角形中 点的轨迹是以 为圆心为半径的圆周 【例例2】 (2013陕西陕西,文文20)已知动点已知动点
7、M(x,y)到直线到直线l:x=4的距离是的距离是 它到点它到点N(1,0)的距离的的距离的2倍倍.求动点求动点M的轨迹的轨迹C的方程的方程. 【变形变形】 当距离关系常数不是大于当距离关系常数不是大于1,而是小于而是小于1,或等于或等于1时的情时的情 形呢形呢?(对应双曲线对应双曲线,抛物线抛物线). 22222 22 22 ()(),4,1,02, 42 (1),441, 3412,1. |()( 3 ) 4 M x yxN xxyxxy xy xyM 【解析】 点到直线的距离 是到点的距离的 倍 则两边平方可得 化简得所以 动点的轨迹方程为 2.定义法定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某
8、种特殊曲线如果能够确定动点的轨迹满足某种特殊曲线(如直如直 线或圆锥曲线线或圆锥曲线)的定义或特征的定义或特征,则可根据定义先设方程则可根据定义先设方程,再求出该再求出该 曲线的相关参量曲线的相关参量,从而得到动点的轨迹方程从而得到动点的轨迹方程. 【解题规律解题规律】 熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法熟悉一些常见的基本曲线的定义是用定义法 求曲线方程的关键求曲线方程的关键. (1)圆圆:在同一平面内在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合到定点的距离等于定长的点的集合. (2)椭圆椭圆:到两定点的距离之和为常数到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离大于两定点的距离)的的 点的轨
9、迹点的轨迹. (3)双曲线双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的小于两定点的 距离距离)的点的轨迹的点的轨迹. (4)抛物线抛物线:到定点与定直线距离相等的点的轨迹到定点与定直线距离相等的点的轨迹. 【例例3】 已知点已知点F( ,0),直线直线l:x=- ,点点B是是l上的动点上的动点.若过若过B垂直垂直 于于y轴的直线轴的直线l1与线段与线段BF的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点M,则点则点M的轨迹是的轨迹是 ( ) A.双曲线双曲线B.椭圆椭圆C.圆圆D.抛物线抛物线 D ,. ,. MFMB MFl 【答案】 【解析】 由已知得 由抛物线定
10、义知 点的轨迹是以 为焦点 为准线的抛物线 1 4 1 4 【例例4】 (2016新课标新课标卷卷,理理20)设圆设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为的圆心为A, 直线直线l过点过点B(1,0)且与且与x轴不重合轴不重合,l交圆交圆A于于C,D两点两点,过过B作作AC的平的平 行线交行线交AD于点于点E.证明证明|EA|+|EB|为定值为定值,并写出点并写出点E的轨迹方程的轨迹方程. 22 :116, 1,0 ,4, /, ,4. 1,0 ,1,0 ,2,4. :, 24,22, () () () ()() 21 () , Axy AAD BE ACCEBDACADrDC DEBDEBEDE
11、AEBEAEDAD ABABEAEB EAB acac 【解析】 证明 圆 的标准方程为 从而如图 则由得 则则定值 由题设得定值 由椭圆定义可得点 的轨迹是 以 、 为焦点的椭圆 且得所 22 ( 10 . 43 ) xy Ey以点 的轨迹方程为 3.相关点法相关点法(转移代入法转移代入法):当所求动点当所求动点Q是随着另一动点是随着另一动点P(称称 之为相关点之为相关点)而运动而运动.如果相关点如果相关点P所满足某一曲线方程所满足某一曲线方程,这时我这时我 们可以用动点坐标们可以用动点坐标Q(x,y)表示相关点坐标表示相关点坐标P(x0,y0),再把相关点再把相关点 P(x0,y0)代入已
12、知曲线方程代入已知曲线方程,就把相关点所满足的方程转化为所求就把相关点所满足的方程转化为所求 动点的轨迹方程动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或转移代入法这种求轨迹的方法叫做相关点法或转移代入法. 【解题规律解题规律】 “相关点法相关点法”的基本步骤的基本步骤: (1)设点设点:设所求的点设所求的点(被动点被动点)坐标为坐标为(x,y),相关点相关点(主动点主动点)坐坐 标为标为(x0,y0). (2)求关系式求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换代换:将上述关系式代入已知曲线方程将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点便可得到所求动点
13、的轨迹方程的轨迹方程. 0 0 ( , ) . ( , ) xf x y yg x y 【例例5】 (必修必修2课本课本P122例例5)线段线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点 A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动上运动,求求AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. 00 00 00 22 00 222 0 222 , 4,3 , 43 ,24,23, 22 ,1 ()() () ()()4, 14,14, 33 ,24 1234, ()() ()()()( 2 ) 2 Mx yAxy BMAB xy xyxxyy A xyxy Axyx xyxy 【解析】 设点的坐标
14、是点 的坐标是 由于点 的坐标是且点是线段的中点 于是有 在圆上运动 点 的坐标满足方程即 把代入 得化简得 2 22 ()() 1, 33 1, 22 3 3 ,(, 2 )1. 2 Mxy 点的轨迹方程为 它是以为圆心 半径长是 的圆 【例例6】 (2017新课标新课标卷卷,文文20)设设O为坐标原点为坐标原点,动点动点M在椭圆在椭圆C: 上上,过过M作作x轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为N,点点P满足满足 求点求点P的轨迹方程的轨迹方程. 00 000 00 222 2 00 22 , ,0 ,0, 2 2 ,. 2 ,:1,1. 22 ()() ()()( 2 2. ) () P x y
15、 M xy N xNPxxy NMy NPNMxx yy xxy M xyCy Pxy 【解析】 设 则 由得 因为在椭圆上 代入得 点 的轨迹方程 2 2 1 2 x y2.NPNM 4.几何法几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发发 现动点运动规律和动点满足的条件现动点运动规律和动点满足的条件,然后得出动点的轨迹方程然后得出动点的轨迹方程, 这种求轨迹方程的方法叫做几何法这种求轨迹方程的方法叫做几何法. 【解题规律解题规律】 求曲线的轨迹方程时求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件应尽量地利用几何条件 探求轨迹的曲线类型探求轨迹的曲线
16、类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这这 样可以减少运算量样可以减少运算量,提高解题速度与质量提高解题速度与质量. 【例例7】 已知点已知点A(-3,2)、B(1,-4),过过A、B作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线 l1和和l2,求求l1和和l2的交点的交点M的轨迹方程的轨迹方程. 22 22 , ,. 1522 13 1,() ()() 1 ,13, 222 1113. 11()()13. ABMMAB ABAB xy Mxy 【解析】 由平面几何知识可知 当为直角三角形时 点的轨迹是以为直径的圆 此圆的圆心即为的中点半径为 可得方程为 故的轨迹方
17、程为 【例例8】 (2014新课标新课标卷卷,文文20)已知点已知点P(2,2),圆圆C:x2+y2-8y=0,过过 点点P的动直线的动直线l与圆与圆C交于交于A,B两点两点,线段线段AB的中点为的中点为M,O为坐标为坐标 原点原点.求求M的轨迹方程的轨迹方程. 22 22 22 () () ()()() ()()() ( 416, ,0,4 ,4, ,4 ,2,2, 0,24 20, 132. , )() ()()132. Cxy C M x yCMx yMPxy CM MPxxyy xy PCMxy 【解析】 圆 的方程可化为 所以 圆心为半径为 设则 由题设知故 即 由于点 在圆 的内部
18、 所以的轨迹方程是 5.参数法参数法:求轨迹方程有时很难直接找到动点的求轨迹方程有时很难直接找到动点的x、y之间的之间的 关系关系,则可借助中间变量则可借助中间变量(参数参数),使使x、y之间建立起联系之间建立起联系,然后再从然后再从 所求式子中消去参数所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程得出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的这种求轨迹方程的 方法叫做参数法方法叫做参数法. 【解题规律解题规律】 (1)用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型,由于选参灵活由于选参灵活, 技巧性强技巧性强,也是学生较难掌握的一类问题也是学生较难掌握的一类问题. (2)用参数法求解
19、时用参数法求解时,选用什么变量为参数选用什么变量为参数,要看动点随什么量要看动点随什么量 的变化而变化的变化而变化,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量, 如时间如时间,速度速度,距离距离,角度角度,有向线段的数量有向线段的数量,直线的斜率直线的斜率,点的横、点的横、 纵坐标等纵坐标等.也可以没有具体的意义也可以没有具体的意义.常见的参数有常见的参数有:斜率、截距、斜率、截距、 定比、角、点的坐标等定比、角、点的坐标等. (3)选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值 范围的影响范围的影响,要特
20、别注意消参前后保持范围的等价性要特别注意消参前后保持范围的等价性. (4)多参问题中多参问题中,根据方程的观点根据方程的观点,引入引入n个参数个参数,需建立需建立n+1个个 方程方程,才能消参才能消参(特殊情况下特殊情况下,能整体处理时能整体处理时,方程个数可减少方程个数可减少). 【例例9】 过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1,l2,若若l1交交x轴于轴于A 点点,l2交交y轴于轴于B点点,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. 12 2222 ,2 ,0 ,0,2, ,. 1 , 2 1 (2)(4)(2 )(2 ) , 2 ,250, () .
21、 ()()M x yMPAxBy llPAB MPAB xyxy xyM 【解析】设连接则 为直角三角形 由直角三角形的性质 化简 得此即的轨迹方程 【例例10】 (2017新课标新课标卷卷,文文22)在直角坐标系在直角坐标系xOy中中,直线直线l1的的 参数方程为参数方程为(t为参数为参数),直线直线l2的参数方程为的参数方程为 (m为参数为参数).设设l1与与l2的交点为的交点为P,当当k变化时变化时,P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C. 写出写出C的普通方程的普通方程. 1 2 22 22 2 , 2, ,4 . () 4 lyk x lxky kxy Cxy 【解析】 直线 的普通方程为 直
22、线 的普通方程为 消去 得 即 的普通方程为 2xt ykt 2xm m y k 6.交轨法交轨法:求两曲线的交点轨迹时求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数可由方程直接消去参数,或或 者先引入参数来建立这些动曲线的联系者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨然后消去参数来得到轨 迹方程迹方程,这种方法称之交轨法这种方法称之交轨法. 【解题规律解题规律】 用交轨法求交点的轨迹方程时用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求不一定非要求 出交点坐标出交点坐标,只要能消去参数只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即得到交点的两个坐标间的关系即 可可.交轨法实际上是参数法中的一
23、种特殊情况交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况. 【例例11】 (新课标卷新课标卷)已知两点已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线以及一条直线l:y=x, 设长为设长为 的线段的线段AB在直线在直线l上移动上移动,求直线求直线PA和和QB交点交点M的轨的轨 迹方程迹方程. 22 22 , 2 , ,1,1 ,:222 , 2 1 :21 .,2 () ()()()() (280. 1 21, 2280 ) , . PAQBM x yAB t A t tB ttPAyxt t t QByx ttxyxy t ttPAQB Mxyxy 【解析】 和的交点随 、 的移动而变化 故可设则直线
24、的方程 直线的方程消去 得 当或时与的交点坐标也满足上式 所以点的轨迹方程是 2 【例例12】 如图如图,垂直于垂直于x轴的直线交双曲线轴的直线交双曲线 于于M、N两两 点点,A1、A2为双曲线的左、右顶点为双曲线的左、右顶点,求直线求直线A1M与与A2N的交点的交点P的的 轨迹方程轨迹方程,并指出轨迹的形状并指出轨迹的形状. 22 22 1 xy ab 111112 1 1 111 1 2 111 2 222 1 22 1 2222 2222 11 11 222 ()()()()(),0 ,0 , :, :, , () () ( 1,(), ) P x yM x yN xyAaA a yyx
25、a AMyxa yxaxa yyxa A Nyxa yxaxa y yxa xa xybb yaxy aba 【解析】 设及又 则直线的方程是即 直线的方程是即 得 又代入得 22 2 22 22 , 1,. ,; , () . xa a xy P ab abPa abP 化简得此即点 的轨迹方程 当时 点 的轨迹是以原点为圆心、 为半径的圆 当时 点 的轨迹是椭圆 专题训练专题训练 1.(选修选修1-1P41例题例题6)点点M(x,y)与定点与定点F(4,0)的距离和它到直线的距离和它到直线 l:x= 的距离的比是常数的距离的比是常数 ,求求M的轨迹的轨迹. 22 22 22 22 ,(4)
26、, 2525 :,. 44 |4 , 5 (4)4 . 25 5 | 4 ,925225.1. 25 ( 9 ) | ,10 6. | | M x yMFxy dMl xdMNx MF MPM d xy x xy xy M 【解析】 点则 设 是点到直线的距离 如图 根据题意得 点的轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方 并化简 得即 所以 点的轨迹是长轴、短轴长分别为、的椭圆 25 4 4 5 【探究探究1】 若当这个比例常数不是小于若当这个比例常数不是小于1,而是大于而是大于1,或等于或等于1时时 的情形的情形,M的轨迹是什么图形的轨迹是什么图形? :1,1,1, ,.M 答案 当这个比例常
27、数不是小于 而是大于 或等于 则的轨迹对应是双曲线 抛物线 【探究探究2】 若点若点M(x,y)与定点与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线l:x= 的距离比是常数的距离比是常数e= ,则点则点M的轨迹是什么图形的轨迹是什么图形?当这个比例常数当这个比例常数 不是小于不是小于1,而是大于而是大于1,或等于或等于1时的情形呢时的情形呢? 2 2 :. ,0,:; ,0 ,: :. 1,1,1, () () ,. M a F cl xF c a FcFlx c M 答案的轨迹是椭圆 其中定点是焦点 定直线相应于 的准线 由椭圆的对称性 另一焦点相应于的准线 当这个比例常数不是小于
28、而是大于 或等于 时 的轨迹对应是双曲线 抛物线 2 a c c a 2.(2009新课标卷新课标卷,文文)已知椭圆已知椭圆C的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系xOy的原点的原点, 焦点在焦点在x轴上轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和和1. (1)求椭圆求椭圆C的方程的方程; 22 1, , 1 ,4,3,1. ) 1 ( 767 a c ac xy acC ac 【解析】 设椭圆长半轴长及半焦距长分别为 由已知得解得所以椭圆 的方程为 2.(2009新课标卷新课标卷,文文)已知椭圆已知椭圆C的中心为直角坐标系的中心为直角坐标系xOy的原点的原点,
29、 焦点在焦点在x轴上轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和和1. (2)若若P为椭圆为椭圆C的动点的动点,M为过为过P且垂直于且垂直于x轴的直线上的点轴的直线上的点, =e(e为椭圆为椭圆C的离心率的离心率),求点求点M的轨迹方程的轨迹方程,并说明轨迹是并说明轨迹是 什么曲线什么曲线. 22 2 1 1 22 222 2 22 11 ( )()() ( | 2, )() ,4,4 | 3 ,916, 4 1127 ,9112, 16 4 7 ( 44 ,. 3 ) () xyOP M x y P x yxee OMxy exyx x P x yCyy M
30、yxx 设其中由已知得 而故 由点在椭圆 上得代入式并化简得 点的轨迹方程为轨迹是两条平行于 轴的线段 | | OP OM 22222 222 , :, 11 2, () , 22 , . Mx y AOB OMABaaxya xya Ma xya 【解析】 设点的坐标为 由平面几何的中线定理 在直角三角形中 点的轨迹是以原点为圆心以 为半径的圆 其轨迹方程是 3.(必修必修2课本课本P124B组组2)长为长为2a的线段的两个端点在的线段的两个端点在x轴和轴和y 轴上移动轴上移动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程. 4.已知动圆已知动圆G经过点经过点F(1,0)并且与直线并且
31、与直线l:x=-1相切相切,求动圆圆心求动圆圆心G 的轨迹方程的轨迹方程. 2 , ,12, 2 4 . G p Flp Gyx 【解析】 由抛物线的定义知动圆圆心 的轨迹为抛物线 为焦点 直线 为准线 且得 动圆圆心 的轨迹方程为 5.已知已知ABC中中,A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c,若若a,c,b 依次构成等差数列依次构成等差数列,且且acb,|AB|=2,求顶点求顶点C的轨迹方程的轨迹方程. 22 () ,. , , ,2,24, ,. , 2, 1, 3, 10,2 . 43 ABxAB a c bcabCACBAB CBCAC acb xy Cxx 【解析】如图以直线
32、为 轴 线段的中点为原点建立直角坐标系 由题意构成等差数列即 又的轨迹为椭圆的左半部分 在此椭圆中 故 的轨迹方程为且 6.如图如图,从双曲线从双曲线C:x2-y2=1上一点上一点Q引直线引直线l:x+y=2的垂线的垂线,垂足为垂足为 N,求线段求线段QN的中点的中点P的轨迹方程的轨迹方程. 1111 11 1 11 1 1 1 22 22 ()()() ()() ,2,2. ,222. 1,0. 32 2 ., 32 2 3232 1, 22 :222210,. P x y Q x yNxxyy Nlxxyy yy PNlxyyx xx xy x QC yx y xyyx xyxyP 【解析
33、】 设则 在直线 上 又得即 联立得又点 在双曲线 上 化简整理得此即动点 的轨迹方程 1 2 1212 22 () ( 1,0 ,1; 1,0 ,3.,. , 42. ,2, 3, 12 . 4 )() ()() ( ( 3 ) ) MMr NNrPx yR PMN PMPNRrrRrr CMN xy x 【解析】 由已知得圆的圆心为半径 圆 的圆心为半径设圆心 为半径为 因为圆 与圆外切并且与圆 内切 所以 由椭圆的定义可知曲线 是以、 为左、右焦点 长半轴长为 短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其轨迹方程为 7.(2013新课标新课标卷卷)已知圆已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆圆N:(x
34、-1)2+y2=9,动圆动圆P与与 圆圆M外切并与圆外切并与圆N内切内切,圆心圆心P的轨迹为曲线的轨迹为曲线C.求求C的方程的方程. 8.一动圆与圆一动圆与圆O:x2+y2=1外切外切,而与圆而与圆C:x2+y2-6x+8=0内切内切,那么动那么动 圆的圆心圆的圆心M的轨迹是的轨迹是( ) A.抛物线抛物线B.圆圆C.椭圆椭圆D.双曲线一支双曲线一支 D |1 ,2, |1 .D. MOR RMOMC MCR 【答案】 【解析】令动圆半径为则有则 满足双曲线定义故选 9.已知圆的方程为已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点过原点O作圆的弦作圆的弦OA,则弦的中点则弦的中点 M的轨迹方程是
35、的轨迹方程是 . 22 22 ()() 11 0 24 ,2 ,2()(, 11 ) ()( 4 ):0 . 2 xyx Mx yAxy xyx 【解析】 令点的坐标为则 的坐标为 代入圆的方程里面得 【答案】 10.点点M到点到点F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线x+5=0的距离小的距离小1,则点则点M的的 轨迹方程是轨迹方程是 . 2 2 16 ,4,04. 4 () ,04.) 16 . ( yx MFx MFx yx 【答案】 【解析】依题意 点到点的距离与它到直线的距离相等 则点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线 故所求轨迹方程为 22 2222 2 2222 2 22 ()
36、| ( ) () ( ,(1)34. 13,(1)34, (1)1, 403 . 23,(1)34, (1)7,) ()() () 124 34 . 4031 (24 Px yxyx xxyxxyx yxx xxyxxyx yxx Pyxxyx 【解析】设点 的坐标为则由题意可得 当时 方程变为 化简得 当时 方程变为 化简得 故所求的点 的轨迹方程是或4(3.)x 11.已知动点已知动点P到定点到定点F(1,0)和直线和直线x=3的距离之和等于的距离之和等于4,求点求点P的轨的轨 迹方程迹方程. 12.(2013陕西陕西,理理20)已知动圆过定点已知动圆过定点A(4,0),且在且在y轴上截得
37、的弦轴上截得的弦MN 的长为的长为8.求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹C的方程的方程. 111 111 2222 11 22222 2 111 2 , , 4 ,(4) ()| | () ( , (4)4 ,80 . ,0,08 , 8 . ) O x yO AO M OyOO HMNMNHHMN O MxO Axy xyxyx x OyOOOyx Cyx 【解析】如图 设动圆圆心为由题意 得 当不在 轴上时 过作交于则是的中点 又 化简得 又当在 轴上时与 重合 点的坐标为也满足方程 动圆圆心的轨迹 的方程为 1212 1212 11 2221 12 222 |()() | | , . 4,
38、2,02,0 ., ,1; ,2.3. ,3. 37 ,2,. 2 | 4 | OOOOOx OOOOMr MOMOr MOMOrMOMO MOO acbca M 【解析】如图所示 以的中点 为原点所在直线为 轴建立 平面直角坐标系 由得、设动圆的半径为 则由动圆与圆 内切 有 由动圆与圆外切 有 点的轨迹是以、为焦点 实轴长为 的双曲线的左支 点的轨迹方程 22 443 1. 97 () 2 xy x 为 13.已知两个定圆已知两个定圆O1和和O2,它们的半径分别是它们的半径分别是1和和2,且且|O1O2|=4.动圆动圆M 与圆与圆O1内切内切,又与圆又与圆O2外切外切,建立适当的坐标系建立
39、适当的坐标系,求动圆圆心求动圆圆心M的轨的轨 迹方程迹方程. 2222 1 165034, 3,0 ( )() (). xyxxy C 【解析】 由得 圆的圆心坐标为 14.(2015广东广东)已知过原点的动直线已知过原点的动直线l与圆与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不相交于不 同的两点同的两点A,B. (1)求圆求圆C1的圆心坐标的圆心坐标; 1 1 1 22 2, , 0 , 33 1 ( ) ,1, 3 39 5 3 () 4 ( 3 () 2 ). OMABC M C MAB M x yMABC MAB lAB yyy MABkkk xxx yy kk xx ABMxyx 设则
40、点为弦中点由垂径定理即 由已知 过原点的动直线 与圆相交于不同的两点 、 且点为弦中点 可得又 即 线段的中点的轨迹的方程为 14.(2015广东广东)已知过原点的动直线已知过原点的动直线l与圆与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不相交于不 同的两点同的两点A,B. (2)求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹C的方程的方程. 1 1 111 2 ,0 , 111| ,. 2222 11| 2,0,1. 222 ,. 2 ,1 . 1 ,11 . () | | 2 |() () () () ABFPQF ABDE baFDba b ABxD x ab SxS ab xxx ABE x y y ABxkkx abx ab yyxx ABx a 【解析】 设直线与 轴的交点为 则 由题设可得所以舍去 设满足条件的中点为 当与 轴不垂直时 由可得 而所以 当与 轴垂 2 ,.,1.EDyx直时与 重合所以 所求轨迹方程为 15.(2016新课标新课标卷卷,文文20)已知抛物线已知抛物线C:y2=2x的焦点为的焦点为F,平行于平行于x 轴的两条直线轴的两条直线l1,l2分别交分别交C于于A,B两点两点,交交C的准线于的准线于P,Q两点两点. 若若PQF的面积是的面积是ABF的面积的两倍的面积的两倍,求求AB中点的轨迹方程中点的轨迹方程.