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1、第第4章章 三角函数三角函数 第第4节节 三角函数的性质三角函数的性质 知识梳理知识梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 2 函函 数数 y=sinx,xRy=cosx,xRy=tanx,x +k,kZ 图图 象象 函函 数数 y=sinx,xR y=cosx,xRy=tanx,x +k,kZ 单单 调调 性性 在在2k- ,2k+ (kZ)单调递增单调递增; 在在2k+ ,2k+ (kZ)单调递减单调递减 在在2k,2k+(kZ) 单调递减单调递减; 在在2k+,2k+2 (kZ)单调递增单调递增 在在(k- ,k+ )(kZ) 单调单调递增
2、递增 最最 值值 在在x=2k- (kZ) 取得取得最小值最小值-1; 在在x=2k+ (kZ) 取得最大值取得最大值1 在在x=2k(kZ)取得取得 最大值最大值1; 在在x=2k+(kZ)取取 得最小值得最小值-1 无最大、最小值无最大、最小值 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 函函 数数 y=sinx,xRy=cosx,xRy=tanx,x +k,kZ 奇奇 偶偶 性性 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数 对对 称称 性性 关于点关于点(k,0)(kZ) 中心对称中心对称 关于点关于点(k+ ,0) (kZ)中心对称中心对称 关于点关于点(k,0)中心对称中心对称 关于关于x=
3、+k(kZ) 轴对称轴对称 关于关于x=k(kZ)轴轴 对称对称 无对称轴无对称轴 周周 期期 22 2 2 2 精选例题精选例题 【例例1】 (2017新课标新课标卷卷)设函数设函数f(x)=cos(x+ ),则下列结论错误则下列结论错误 的是的是( ) A.f(x)的一个周期为的一个周期为-2 B.y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x= 对称对称 C.f(x+)的一个零点为的一个零点为x= D.f(x)在在( ,)单调递减单调递减 1 2 12 :2sin2sin2 2sin 2.() 6 yxyx yx 横坐标缩短为原来的 倍 向左平移个单位 另解的图象的图象 的图象 3 8 3
4、6 2 【例例2】 若函数若函数 最小正周期是最小正周期是. (1)求求f(x)单调增区间、对称轴单调增区间、对称轴; (2)求求f(x)的最小值及对应的最小值及对应x的值的值. 4 C sin2sin 2co ()s2. 4 yxyxx 向左平移 个单位 【答案】 【解析】 的图象的图象 22 3 ( )sin3sincos2cos 2 f xxxxx 专题训练专题训练 1.下列函数中同时满足下列条件的是下列函数中同时满足下列条件的是( ) 在在(0, )上是增函数上是增函数;以以2为周期为周期;是奇函数是奇函数. A.y=2sin2x B.y=cosx C.y=-tanx D.y=tan
5、D 4 52 2,2, 3612 55 2sin 2,0sin0, () ( )()()( )() 63 ,. 23 AT T f xxf x 【答案】 【解析】由图象知周期故 则将点代入的解析式得 又 2 x 2 2.函数函数f(x)=sin(2x+ )图象的一条对称轴的是图象的一条对称轴的是( ) 4 B sins)n. 4 (iyxyx 向右平移 个单位 【答案】 【解析】 的图象的图象 4 35 A.B.C.D. 8888 xxxx 3.若函数若函数f(x)=2sin2x-1(xR),则则f(x)是是( ) A.最小正周期为最小正周期为 的奇函数的奇函数 B.最小正周期为最小正周期为的
6、奇函数的奇函数 C.最小正周期为最小正周期为2的偶函数的偶函数 D.最小正周期为最小正周期为的偶函数的偶函数 2 12 1 2 6 1 2 12 11 2 D :cossin, 2 1 ,sin 2, 22 () () , 12 2 sin 2sin 2, 1223 D. ()() CyxxC yx yxxC 【答案】 【解析】易知把曲线上的各点的横坐标 缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到函数的图象 再把所得函数的图象向左平移个单位长度 可得函数的图象 即曲线 故选 2 3 A 1 sinsin 323 ()() ()() 11 sinsin. 23326 yxyx yxx 横坐标伸长为原来的
7、倍 向左平移 个单位 【答案】 【解析】的图象的图象 的图象 4.(2018新课标新课标卷卷)若若f(x)=cosx-sinx在在0,a是减函数是减函数,则则a的最大的最大 值是值是( ) 3 A.B.C.D. 424 5.函数函数f(x)=sinxcosx+ cos2x的最小正周期和振幅分别是的最小正周期和振幅分别是( ) A.,2B.,1C.2,1D.2,2 4 D , 2sin 22sin 22sin() ()( 2. 6463 ) T yxyxx 个单位向右平移 【答案】 【解析】 3 2 6.函数函数y=cos2(x+ )的单调递增区间的单调递增区间( ) A.(k,k+ ),kZB
8、.(k+ ,k+),kZ C.(2k,2k+),kZD.(2k,2k+2),kZ 6 A cos 2cos 2, 36 cos2 () ( co ) ()s 2. 3 yxx yxyx 向左平移 个单位 【答案】 【解析】 2 2 2 7.已知函数已知函数f(x)=sinx-cosx,0,且图象上相邻两个最高点的距且图象上相邻两个最高点的距 离为离为,则下列说法正确的是则下列说法正确的是( ) A.=1B.f(x)是奇函数是奇函数 C.f(x)是偶函数是偶函数D.f(x)的最大值是的最大值是 A cos1(, A. )yx 【答案】 【解析】变换后的三角函数为 结合四个选项可得 选项正确 2
9、8.设函数设函数 ,则则( ) A.f(x)在在(0, )单调递增单调递增,其图象关于直线其图象关于直线x= 对称对称 B.f(x)在在(0, )单调递增单调递增,其图象关于直线其图象关于直线x= 对称对称 C.f(x)在在(0, )单调递减单调递减,其图象关于直线其图象关于直线x= 对称对称 D.f(x)在在(0, )单调递减单调递减,其图象关于直线其图象关于直线x= 对称对称 ( )sin(2)cos(2) 44 f xxx 2 A 3 :0,0sin,B,D. 32 ,sin0 ( )( 0,A.( 6 ) ) 6 xf xf 【答案】 【解析】 特殊值法时结合所给图象排除 时故 对 2
10、 2 2 4 2 2 4 9.已知已知0,0,点点 和和是函数是函数y=sin(x+)图象的两图象的两 个相邻的对称中心个相邻的对称中心,则则的值是的值是( ) 3 C coscoscos, 33 ()() 2 ,0,Z,1,6. 3 yxyxx kkk 向右平移 【答案】 【解析】 又时取最小值 (,0) 5 234 A.B.C.D. 5555 6 (,0) 5 10.函数函数f(x)=cos2x+6cos( -x)的最大值为的最大值为 ( ) A.4B.5C.6D.7 2 3 C coscoscos, 33 ()() 2 ,0,Z,1,6. 3 yxyxx kkk 向右平移 【答案】 【解
11、析】 又时取最小值 A ,2, () 36 326 () 6 2,2, 2, 2sin 2,A. AT yx 【答案】 【解析】 由题图可知所以 由五点作图法可知所以 所以函数的解析式为故选 11.(2018佛山模拟佛山模拟)已知已知x0= 是函数是函数f(x)=sin(2x+)的一个极大值的一个极大值 点点,则则f(x)的一个单调递减区间是的一个单调递减区间是( ) 2 52 A.(,)B.(,)C.(, )D.(,) 633623 3 12.(2018烟台检测烟台检测)若函数若函数f(x)=cos(2x+- )(0)是奇函数是奇函数,则则 = . 2sin 2 6 22 2,2,2si (
12、 )() ( )() ()( n 2, ,2sin1,0,. 6326 )() f xx Af xx T f x 【答案】 【解析】由题意知则 将点代入的解析式得又 3 13.函数函数 的单调递增区间是的单调递增区间是 . sin 2 6 52 ,2. 41264 1 ( )() ( )(),sin 21,2 Z . 6632 0,sin 2. 26 () ()( )() 6 f xx T T fkk f xx 【答案】 【解析】 由题意可知所以所以 又因为所以所以 又所以所以 sin3cosyxx 2sin 2 3 7 2,2, 41234 773 2sin 2,2,2, 12122 ( )() ( )()( ,2sin 2. 33 ) ( )() f xx T AT f xx f xx 【答案】 【解析】 由题图可知所以故 因此将代入上式 得到 所以故 14.若若0,函数函数f(x)=sin(x+)-2sincosx是偶函数是偶函数,则则的值是的值是 . 15.设当设当x=时时,函数函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值取得最大值,则则cos= . () ( ) 2sin 3 6 22 ,3. 233 1 01,sin,0, 226 2( )()()sin 3. 6 x T TT f f xx 【答案】 【解析】 由已知得又 又 经检验满足题意