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1、第第4章章 三角函数三角函数 第第6节节 解三角形解三角形 知识梳理知识梳理 1.正弦定理正弦定理: (R为三角形外接圆半径为三角形外接圆半径). 变形变形1(边化角边化角):a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; 变形变形2(角化边角化边): 推论推论:a b c=sinA sinB sinC. 2 sinsinsin abc R ABC sin,sin,sin; 222 abc ABC RRR 2.余弦定理余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 变形变形: b2=a2+c2-2accosB 变形变形: c2=a2+b2-2abcosC 变形变形: 222 cos 2 b
2、ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 abc C ab 3.解三角形中的射影定理的应用解三角形中的射影定理的应用: a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA. 4.面积公式面积公式: 111 sinsinsin 222 ABC SabCacBbcA 5.内角和公式内角和公式:A+B+C=,常用结论常用结论: (1)sinA=sin(B+C),sinB=sin(A+C),sinC=sin(A+B); (2)cosA=-cos(B+C),cosB=-cos(A+C),cosC=-cos(A+B). 6.互余的两角关系
3、互余的两角关系:若若A+B= ,则则sinA=cosB,或或cosA=sinB. 2 精选例题精选例题 【例例1】 (1)在在ABC中中,已知已知a=20,A=60,B=45,则则b= . (2)在在ABC中中,已知已知a=3,b=5,c=7,则最大的角的大小是则最大的角的大小是 . 2 20 sin20 sin4520 6 2 1,. sinsinsinsin6033 2 ( ) abaB b ABA 【解析】 222 2, 9254912 cos,0,. 22 3 52 ) 3 (ca cbC abc CCC ab 是最大的角 且又 【例例2】 在在ABC中中,BC= ,AC=1, (1)
4、若若B=30,求角求角A; (2)若若AB=2,求求ABC的面积的面积. sin2sin302 1,sin, sinsin12 ,0180 ,451 ) 35 ( . ACBCBCB A BAAC BCACABAA 【解析】 又即且或 2 222 22 2 1 42 2cos0180 , 2422 1 214 sin1 cos1 (), 44 11 ( 147 sin2 1. 2244 ) ABC BCACAB CC BCAC CC SBCACC 且 【例例3】 ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c.已知已知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求求tanC与角
5、与角B. 2 sin,2 sin,3 cos2 cos , 6 sincos4 sincos ,3tan2tan. 11 tan, ( tan, 32 tantan tantan 180tan1, tantan1 0180 ,13 ) 5 . () aRA cRCaCcA RACRCAAC AC AC BACAC AC CB 【解析】 故 又因为所以 且所以 1 3 专题训练专题训练 1.在在ABC中中,若若A=60,B=45,BC= .则则AC=( ) B 3 2 ,2 3. sinsinsin60sin45 B. abb b AB 【答案】 【解析】由正弦定理得解得 选 3 A.4 3B.
6、2 3C. 3D. 2 3 2 2.在在ABC中中,若若a=4,b=5,cosC= ,则则S ABC= ( ) A.6 B.8 C.12 D.16 A 43 cos,sin, 55 113 sin4 56. 225 ABC CC SabC 【答案】 【解析】因为所以 所以 4 5 B 34 , sinsinsinsin 11 sinsin sin,sin,B.()() 34 ac ACAC CABABA 【答案】 【解析】因为即 又所以故选 3.(2018宝鸡质量检测宝鸡质量检测(一一)在在ABC中中,角角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为 a,b,c.若若sin(A+B)= ,a=3,c
7、=4,则则sinA=( ) 1 3 2131 A.B.C.D. 3446 2 C 2 21 coscos2,cossin, 33 26,3, sin 9,C. cbAaBCC c RR C ABCR 【答案】 【解析】 由得 再由正弦定理可得 所以的外接圆面积为故选 4.(2018合肥质量检测合肥质量检测)已知已知ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为 a,b,c,若若cosC= ,bcosA+acosB=2,则则ABC的外接圆面积为的外接圆面积为( ) A.4B.8C.9D.36 2 2 3 5.钝角三角形钝角三角形ABC的面积是的面积是 ,AB=1,BC= ,则则AC=( )
8、 A.5B.C.2D.1 B 1112 sin12sinsin 2222 3 , 44 :,1, 4 3 ,5. ) 4 ( ABC SAB BCBBB BB BAC BAC 【答案】 【解析】 或 由余弦定理得时舍去 三角形等腰 时 1 2 2 5 6.在在ABC中中,B= ,BC边上的高等于边上的高等于 BC,则则sinA=( ) 22 D ,3,2, 4 53 5, sinsinsin sin 4 3 10 sin. 10 BCADBCADBDCAD ACBCADAD ACADDCAD BAA A 【答案】 【解析】设边上的高为得又 则由得 31053 10 A.B.C.D. 10105
9、10 4 1 3 7.在在ABC中中,已知已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则则A=( ) 2222 22 () C ,2cos21 cos, 21 sin,sincoscos0,ta1 4 )n(. bcabcbcAbA abAAAAAA 【答案】 【解析】 又则且得 3 A.B.C.D. 4346 8.设设ABC的内角的内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c,若若 bcosC+ccosB=asinA,则则ABC的形状为的形状为( ) A.锐角三角形锐角三角形B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形D.不确定不确定 22 2 B , sincoscossins
10、in,sinsin, sinsinsin,sin1,B. 2 () () BCBCABCA BCAAAA 【答案】 【解析】依据题设条件的特点由正弦定理得 有 从而解得所以故选 9.(2018南昌南昌)在在ABC中中,角角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c, cos2A=sinA,bc=2,则则ABC的面积为的面积为( ) 2 ( A 1 cos2sin,1 2sinsin,sin, ) 2 1111 2,sin2.A. 2222 AAAAA bcABCSbcA 【答案】 【解析】 由得解得负值舍去 由可得的面积故选 11 A.B.C.1D.2 24 B sinsinsincos
11、0, sinsinsinsincos0, sincoscossinsinsinsincos0, sinsincos0.sin0,sincos0, 3 tan1,0, , 4 2 sin s () () () () in BACC ACACAC ACACACAC CAACAA AAA cA C a 【答案】 【解析】 因为 所以 所以 整理得因为所以 所以因为所以 由正弦定理得 2 1 2 ,0,. 2246 CC 又所以 10.(2017新课标新课标卷卷)ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c.已已 知知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c= ,则则
12、C=( ) 2 A.B.C.D. 12643 22222 19 2 2cos322 3 2 cos19, 3 19. abcbcA a 【答案】 【解析】 由余弦定理 所以 11.在在ABC中中,若若A= ,b=3,c=2,则则a= . 2 3 12.在在ABC中中,若若a=1,b= ,A+C=2B,则则sinA= . 1 2 2 ,3180 ,60 , 131 ,sin. sinsinsinsin602 ACBABCBB ab A ABA 【答案】 【解析】 所以 由正弦定理得解得 3 13.在在ABC中中,a,b,c分别为角分别为角A,B,C所对的边所对的边,A= ,b2sinC=4 si
13、nB, 则则ABC的面积为的面积为 . 22 2 sin4 2sin,4 2 ,4 2, 112 sin4 22. 222 ABC bCBb cbbc SbcA 【答案】 【解析】因为所以所以 4 2 222 2 3 3 sinsin4 sinsin sinsinsinsin4sinsinsin, 13 2sinsin4sinsinsin,sin,cos. 22 8838 3 cos0, 22223 12 3 sin. 23 ABC bCcBaBC BCCBABC CBABCAA bca Abc bcbcbc SbcA 【答案】 【解析】 由 得到 所以解得所以 因为取解得 所以 14.(2018新课标新课标卷卷)ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,已知已知 bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则则ABC的面积为的面积为 . 15.设设ABC的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且a=2,cosC= , 3sinA=2sinB,则则c= . 222222 4 3 3sin2sin,32 ,3. 2 123 cos,4. 242 2 3 ABabba abcc Cc ab 【答案】 【解析】 由及正弦定理 得所以 由余弦定理得解得 1 4