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1、第七章 解析几何 第1讲 直线的方程 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置 的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种 形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的 关系. 1.直线的倾斜角 0 0，) (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正 方向与直线 l 向上方向之间所成的角，叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_. (2)倾斜角的取值范围是_. 2.直线的斜率 (1)定义：当90时，一条直线的倾斜角的
2、正切值叫做这 条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan .当 90时，直线没有斜率. (2)经过两点的直线的斜率公式： 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式 为_. 名称方程适用范围 点斜式yy1k(xx1)不含垂直于 x 轴的直线 斜截式_不含垂直于 x 轴的直线 两点式不含垂直于坐标轴的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 一般式 AxByC0(A，B 不同时为零) 平面直角坐标系内的直线 都适用 3.直线方程的五种形式 ykxb xx1 yy1 5.线段的中点坐标公式 A.30 C.150 B.60 D.120 )直线 l
3、的方程为( A.3x4y140 C.4x3y140 B.3x4y140 D.4x3y140 C A 3.已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程 为()B A.4x2y5 C.x2y5 B.4x2y5 D.x2y5 是() ABCD 等于_. B 考点 1 直线的方程 考向 1 倾斜角和斜率 点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_. 图 D45 图 D46 (3)经过点 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，2)， B(2,1) 的线段总有公共点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围为 _. 图 D47 考向 2 截距 例 2：(1)求过点 A(
4、4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值 相等的直线 l 的方程. (2)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程. (3)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程. (4)求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 3 倍， 求直线 l 的方程. (5)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的 方程. 所以|a|b|. 4b2aab.即 4(12a)2aa(12a). a214a480.解得 a6 或 a8. 直线 l 的方程为 xy60 或 x2y80. 【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距
5、 相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m0)”等条件时，可 采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况. 考向 3 直线的方程 例 3：直线 l1：3xy10，直线l2过点(1,0)，且l2的倾 斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为( ) A.y6x1B.y6(x1) 解析：方法一，设直线 l1 的倾斜角为，由 tan 3，可求 方法二，由l2过点(1,0)，排除A选项，由l1的斜率k131 知，其倾斜角大于 45，从而直线 l2 的倾斜角大于 90，斜率 为负值，排除 B，C 选项.故选 D. 答案：D 【规律方
6、法】题中直线l2 的倾斜角是l1 的倾斜角的2 倍， 不要理解为l2 的斜率为l1 的斜率的2 倍，应该设直线l1 的倾斜 角为，由tan 3，可求出直线l2 的斜率ktan 2. 考点 2 直线方程的综合应用 例 4：过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交 于 A，B 两点，求： (1)AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程； (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程； (3)求|PA |PB|的最小值及此时直线 l 的方程. 解：(1)方法一，设直线 l 的方程为 y1k(x2)， 故|PA |PB|的最小值为 4，此时，直线 l
7、 的方程为 xy3 0. 【互动探究】 1.已知直线 x2y2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点， 若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_. 思想与方法 直线中的函数与方程思想 例题：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角 形的面积为 S. (1)当 S3 时，这样的直线 l 有多少条？ (2)当 S4 时，这样的直线 l 有多少条？ (3)当 S5 时，这样的直线 l 有多少条？ (4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围； (5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围； (6)若这样的直线 l 有且只有
8、4 条，求 S 的取值范围. 前一个方程0 有两个不相等的解，后一个方程0 有两 个不相等的解，所以这样的直线 l 共有 4 条. (4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，则 即a22Sa4S0或a22Sa4S0. 后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解， 所以如果这样的直线有且只有 2 条，那么前一个方程必须 有0 恒成立，肯定有两个不相等的解， 所以如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须 有0， 即(2S)244S0.故 S4. (6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，则 即a22Sa4S0或a22Sa4S0. 后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解， 所以如果这样
9、的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须 有0，即(2S)244S0.故 S 的取值范围为(4，). 【规律方法】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的 面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方 想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性. 【互动探究】 2.过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直 )线共有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 解析：设过点 P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的斜率为 k，则有直线的方程为 y3k(x2)，即 kx y2k30.它与坐标轴的交点分别为M(0,2k3)， 故满足条件的直线有 3 条. 答案：C