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1、命题与证明,第2章,命 题,2.2.1,引入,三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.,我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：,不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形.,像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出 明确规定的语句叫做这个概念的定义.,把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式.,你能说说“代数式”的定义吗？,请根据代数式的定义判断下列式子是不是代数式.,是,是,不是,不是,注意： 定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.,在三角形中， 一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.,含有未知数的等式
2、叫做方程,（1）三角形的内角和等于180； （2）如果| a | = 3， 那么a = 3； （3）1月份有31天； （4）作一条线段等于已知线段； （5）一个锐角与一个钝角互补吗？,下列语句中哪些对事情做出了判断？,一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题. 如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题，（4），（5）就不是命题.,下列命题的叙述方式有什么共同点？,1. 如果a=b且b=c，那么a=c,2.如果两个角的和等于90， 那么这两个角互为余角,它们的叙述方式都是“如果，那么”,在“如果，那么”形式的命题中，“如果”连结的部分是条件，“那么”连结的部分是结论,有的命题表
3、面上看不具有“如果，那么”的形式，但是可以写成这种形式.,例 找出命题的条件和结论，并改写成“如果,那么”的形式：,举 例,同角的余角相等.,如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等,改写：,条件：两个角是同一个角的余角，,结论：这两个角相等,1.下列命题的条件是什么？结论是什么？,（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果ab，bc，那么ac； （3）能被2整除的数是偶数.,(1)条件：两个角相等；结论：它们是对顶角. (2)条件: ab，bc，结论:ac. (3)改写：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数. 条件：一个数能被2整除， 结论：这个数是偶数.,在上述命题中，命题
4、(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题，其中的一个叫作原命题，另一个叫逆命题. 上述命题（1）和（2）就是互逆命题.,（1）同位角相等，两直线平行；,（2）两直线平行，同位角相等,下列命题哪些正确？哪些错误？,（1），（2）（3）是错的， （4）是正确的.,（1） 每一个月都有31天； （2） 如果a是有理数， 那么a是整数. （3） 同位角相等； （4） 同角的补角相等.,我们把正确的命题称为真命题，,把错误的命题称为假命题,判断下列命题是真命题还是假命题 (1)相等的角是对顶角 (2)内错角相等 (3)大于90度的角是平角 (4)如果ab，bc，那么ac
5、,真命题,假命题,假命题,假命题,举 例,1、同旁内角互补，两直线平行.,2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.,逆命题：两直线平行，同旁内角互补.,真,逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.,假,3、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.,逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的 个位数字是5.,假,说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.,像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.,像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而
6、判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.,判断下列命题为真命题是根据什么呢？,是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断,从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.,对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？,数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。,有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样
7、的真命题叫做定理。,古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.,欧几里得,欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫原本.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系,（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.),举例：1 本书中常用的基本事实：,过两点有且只有一条直线.,（2）,两点之间，线段
8、最短.,（1）,（3）,经过直线外一点，有且只有一条直线 与已知直线平行.,举例： 2. 定理：,同角或等角的补角相等.,（2）余角的性质：,同角或等角的余角相等.,（4）垂线的性质：,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；,（1）补角的性质：,（3）对顶角的性质：,对顶角相等,垂线段最短.,内错角相等，两直线平行.,（5）平行线的判定定理：,定理也可以作为判断其他命题真假的依据, 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的 推论.,例如， “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”,举 例,平行线的性质定理 两条直线被第三条直线所
9、截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等,平行线的基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行,上述这两个定理是不是互逆的命题？,如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理.,例如，平行线的基本事实是平行线的性质定理的逆定理,下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来,两条直线被第三条直线所截，如果这两直线 平行，那么内错角相等；,答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么这两条直线平行；,理解什么叫“定义”？,1. 命题都是由条件和结论两部分组成,证明,3. 说明一个命题是真命题的方法：,举反例,2. 说明一个命题是假命题的方法：,结论,“如果那么”,条件,下列四个命题中是真命题的有（ ）. 同位角相等；相等的角是对顶角；直角三角形两锐角互余；三个内角相等的三角形是等边三角形. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,C, 题相等的角并不一定是对顶角；, 题正确；, 题正确.,结 束,