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1、3.3.1函数的单调性与导数,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系：,如果f(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增;,那么y=f(x)在这个区间内单调递减,如果f(x)0,复习引入：,在某个区间（a,b)内,2.用导证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1) 求函数f(x)的定义域；(2)求f(x) (3)确认f(x)在(a,b)内的符号；（4）作出结论。,例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,(A),(B),(C),
2、(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,（1）,（2）,（3）,（4）,一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓”.,通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。,练习,3.讨论二次函数 的单调区间.,解:,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是,由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地,
3、函数的递减区间是,练习,4.求证: 函数 在 内是减函数.,解:,由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.,函数单调性与导数的关系,1.如果在区间(a,b)内f(x)0(f(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数） ,那么f(x)0(f(x)0）在区间(a,b)内恒成立。,题型：根据函数的单调性求参数的取值范围,函数在（0，1上单调递增,注： 在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增（递减）； 但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证,本题用到一个重要的转化：,练习： 已知函数f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。,解：f(x)=ax+3x-x+1在R上是减函数，,f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立，,a0且=36+12a0，,a -3,例3：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。,求函数 的单调区间。,变1：求函数 的单调区间。,理解训练：,解：,的单调递增区间为,单调递减区间为,变3：求函数 的单调区间。,解:,解:,高,考,试,(04年全国理),B,练习,尝,作业 P98 2,