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1、1983 年全国高中数学联赛 第一试 1选择题(本题满分 32 分，每题答对者得 4 分，答错者得 0 分，不答得 1 分) 设 p、q 是自然数，条件甲：p3q3是偶数；条件乙：p+q 是偶数那么 A甲是乙的充分而非必要条件 B甲是乙的必要而非充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 x=+的值是属于区间 1 log 1 2 1 3 1 log 1 5 1 3 A(2，1) B(1，2) C(3，2) D(2，3) 已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 及高 AD 的长都是整数，那么，sinA 和 cosA 中 A一个是有理数，另一个是无理数 B两个都是有理数
2、 C两个都是无理数 D是有理数还是无理数要根据 BC 和 AD 的数值来确定 已知 M=(x，y)|yx2，N=(x，y)|x2+(ya)21那么，使 MN=N 成立的充要条件是 Aa1 Ba=1 Ca1 D0R+r BlR+r C R+r BlR+r C 135，cosB=60，矛盾故 cosA= 4 5 12 13 4 5 5 13 4 5 cosC=cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB= + = 5 13 4 5 3 5 12 13 16 65 三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形，共有 个 解 ： 设另两边为 x， y， 且 xy 则得 xy11， x+y11， 在
3、直角坐标系内作直线 y=x， y=11， x=11， x+y=11， 则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数 (含 y=11， y=x 上的整点， 不含 x+y=11 上的整点) 共有 1224=36 个即填 36 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样两个多面体的内切球 半径之比是一个既约分数 ，那么积 mn 是 m n 解 ： 此六面体可看成是由两个正四面体粘成 每个正四面体 的高 h1=a， 于是， 利用体积可得 Sh1=3Sr1， r1=a 6 3 6 9 同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的 高 h2=a，又可得 a2h2=4
4、a2r2，r2=a 2 2 3 4 6 6 = ， mn=6 r1 r2 2 3 第二试 1(本题满分 8 分)求证：arc sinx+arc cosx= ，其中 x1，1 2 证明：由于 x1，1，故 arcsinx 与 arccosx 有意义， sin( arccosx)=cos(arccosx)=x，由于 arccosx0， arccosx ， 2 2 2 2 故根据反正弦定义，有 arcsinx= arccosx故证 2 2 (本题满分 16 分)函数 f(x)在0， 1上有定义， f(0)=f(1) 如果对于任意不同的 x1， x20， 1， 都有|f(x1) f(x2)| ，则 x
5、2x1 ,于是 1(x2x1)0)， 则 AMMC=r 由 SABD=3SABC，SBCD=4SABC，即 SABDSBCD =34 从而 AEECAC=347 SACDSABC=61，故 DEEB=61，DBBE=71 AMAC=r(r+1)，即 AM=AC，AE= AC， r r + 1 3 7 EM=( )AC=ACMC=AC， r r + 1 3 7 4r3 7(r + 1) 1 r + 1 EMMC=由 Menelaus 定理，知=1，代入得 4r3 7 CN ND DB BE EM MC r7=1， 即 4r23r1=0， 这个方程有惟一的正根 r=1 故 CNND=1， 就是 N
6、 为 CN 中点， M 4r3 7 为 AC 中点 4. (本题满分 16 分)在在六条棱长分别为 2，3，3，4，5，5 的所有四面体中，最大体积是多少？证明你 的结论 解：边长为 2 的三角形，其余两边可能是： 3，3； 3，4； 4，5； 5，5 按这几条棱的组合情况，以 2 为公共棱的两个 侧面可能是： ，； ，； ， 先考虑较特殊的情况：由于 32+42=52，即图 中 AD平面 BCD， V1= 24=； 1 3 1 2 3212 8 3 2 情况：由于此情况的底面与情况相同，但 AC 不与底垂直，故高0 时，F( )，当 B 8 2 5 8 22 若 A0， 则当 h()， 当 h()0 时， 由于 h(x)是一次函数， 当 A0 时 h(x)递增， h()h( 5 8 5 8 2 5 8 9 8 )0，此时 F()；当 Ah()0，此时 F( )故此时 M 5 8 9 8 2 8 5 8 8 22 若 A=B=0，显然有 M= 2 从而 M 的最小值为，这个最小值在 A=B=0 时取得2