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1、1993 年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1若 M=(x，y)| |tany|+sin2x=0，N=(x，y)|x2+y22，则 MN 的元素个数是（ ） (A)4 (B)5 (C)8 (D)9 2已知 f(x)=asinx+b+4(a，b 为实数)，且 f(lglog310)=5，则 f(lglg3)的值是（ ） 3 x (A)5 (B)3 (C)3 (D)随 a，b 取不同值而取不同值 3集合 A，B 的并集 AB=a1，a2，a3，当 AB 时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B) 对的个数是（ ） （A）8 （B）9 （
2、C）26 （D）27 4 若直线 x= 被曲线 C:(xarcsina)(xarccosa)+(yarcsina)(y+arccosa)=0 所截的弦长为 d， 当 a 变化时 d 4 的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 4 3 2 5 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边长分别为 a， b， c， 若 ca 等于 AC 边上的高 h， 则 sin+cos CA 2 C + A 2 的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)1 1 2 1 3 6设 m，n 为非零实数，i 为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|zmi|=n 与|z+ni|zmi|=m 在同一复平面 内
3、的图形(F1，F2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 1 二次方程(1i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i 为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为 _ 2实数 x，y 满足 4x25xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=_ 1 Smax 1 Smin 3若 zC，arg(z24)= ，arg(z2+4)= ，则 z 的值是_. 5 6 3 4整数的末两位数是_. 1093 1031+ 3 5设任意实数 x0x1x2x30，要使 log 1993+log 1993+log 1993klog 1993 恒成立，则 k 的最大值 x0 x1 x1
4、x2 x2 x3 x0 x3 x y F1 F2 x y F1 F2 O o F1 F2 F1 F2 x x y o o y (A)(B)(C)(D) 是_. 6三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数， 有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看 是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片 三、 （本题满分 20 分） 三棱锥 SABC 中，侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，M 为三角形 ABC 的重心，D 为 AB 的中点，作 与 SC 平行的直线 D
5、P证明：(1)DP 与 SM 相交；(2)设 DP 与 SM 的交点为 D，则 D为三棱锥 SABC 的 外接球球心 四、 （本题满分 20 分） 设 00，故选 A CA 2 C + A 2 CA 2 C + A 2 6设 m，n 为非零实数，i 为虚数单位，zC，则方程|z+ni|+|zmi|=n 与|z+ni|zmi|m 在同一复平 面内的图形(F1，F2为焦点)是( ) x y F1 F2 x y F1 F2 O o F1 F2 F1 F2 x x y o o y (A)(B)(C)(D) 解：方程为椭圆，为双曲线的一支二者的焦点均为(ni，mi)，由n0，故否定 A， 由于 n 为椭
6、圆的长轴，而 C 中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定 C 由 B 与 D 知，椭圆的两个个焦点都在 y 轴负半轴上，由 n 为长轴，知|OF1|=n，于是 mx1x2x30，要使 log 1993+log 1993+log 1993klog 1993 恒成立，则 k 的最大值 x0 x1 x1 x2 x2 x3 x0 x3 是_. 解：显然 1，从而 log 19930即+ x0 x3 x0 x3 1 lgx0lgx1 1 lgx1lgx2 1 lgx2lgx3 k lgx0lgx3 就是(lgx0lgx1)+(lgx1lgx2)+(lgx2lgx3)( +)
7、k 1 lgx0lgx1 1 lgx1lgx2 1 lgx2lgx3 其中 lgx0lgx10，lgx1lgx20，lgx2lgx30，由 Cauchy 不等式，知 k9即 k 的最大值为 9 6三位数(100，101，999)共 900 个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数， 有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如 198 倒过来看是 861；有的卡片则不然，如 531 倒过来看 是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片 解：首位与末位各可选择 1，6，8，9，有 4 种选择，十位还可选 0，有 5 种选择，共有 454=80 种选择 但两端为 1，8，中
8、间为 0，1，8 时，或两端为 9、6，中间为 0，1，8 时，倒后不变 ； 共有 23+23=12 个，故共有(8012)2=34 个 三、 （本题满分 20 分） 三棱锥 S-ABC 中， 侧棱 SA、 SB、 SC 两两互相垂直， M 为三角形 ABC 的重心， D 为 AB 的中点， 作与 SC 平行的直线 DP证明：(1)DP 与 SM 相交；(2)设 DP 与 SM 的交点为，则为三棱锥 SABC 的外接 D D 球球心 证明： DPSC，故 DP、CS 共面 DC面 DPC， MDC，M面 DPC，SM面 DPC 在面 DPC 内 SM 与 SC 相交，故直线 SM 与 DP 相
9、交 SA、SB、SC 两两互相垂直， SC面 SAB，SCSD DPSC， DPSDDDMCSM， M 为ABC 的重心， DMMC=12 DDSC=12 取 SC 中点 Q，连 DQ则 SQ=DD，平面四边形 DDQS 是矩形 DQSC，由三线合一定理，知 DC=PS 同理，DA= DB= DB= DS即以 D为球心 DS 为半径作球 D则 A、B、C 均在此球上即 D为三 棱锥 SABC 的外接球球心 四、 （本题满分 20 分） 设 00 时，点 M 在O 外，此时，直线 l 与O 相离； 当 k=0 时，点 M 在O 上，此时，直线 l 与O 相 切； P Q R r d A C B MO l m 当 k0 时，aBQbAP0，k=0 时，aBQbAP=0，k0 时，bCRcBQ0，k=0 时，bCRcBQ =0，k0 时，aCRcAP0，k=0 时，aCRcAP =0，k0 时，ABCR+BCAPACBQ0； 当 k=0 时，ABCR+BCAPACBQ=0， 当 k0 时，ABCR+BCAPACBQ0故证 、