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1、第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多， 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外， 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等 一、公式法(立方和、立方差公式)一、公式法(立方和、立方差公式) 3322 ()()abab aabb 3322 ()()abab aabb 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 运用这两个公式，可以
2、把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 【例 1】【例 1】因式分解： (1) (2) 3 8x 3 0.12527b 解：解：(1) . 3332 82(2)(42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb . 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 说明：说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里 333 8(2)a bab 逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号()n nn aba b 【例 2】【例 2】因式分解： (1) (2
3、) 34 381a bb 76 aab 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()(). a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 7666224224 2222222 2222 ()()() ()() ()()()(). aaba aba abaa bb a ababa b a ab ab aabbaabb 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是
4、二项式和三项式而对于四项以上的多 项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处mambnanb 理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组 【例 3】【例 3】把分解因式2105axaybybx 解：解：.21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例 4】【例 4】把分解因式 2222 ()()ab cdabcd 解：解： 22222222 ()()a
5、b cdabcdabcabda cdb cd 2222 ()()abca cdb cdabd .()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 【例 5】【例 5】把分解因式 222 2428xxyyz 解：解： 222222 24282(24)xxyyzxxyyz . 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 三、十字相乘法三、十字相乘法 1型的因式分解1型的因式分解 2 ()xpq xpq (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 . 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq
6、xpxp xq 因此，. 2 ()()()xpq xpqxp xq 【例 6】【例 6】因式分解： (1) (2) 2 76xx 2 1336xx 解：解：(1) 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2). 2 1336(4)(9)xxxx 【例 7】【例 7】因式分解： (1) (2) 22 6xxyy 222 ()8()12xxxx 解：解：(1) . 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) . 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx 2一般二次三项式型的因式分解 2 axbxc 大家知道， 2 112
7、212122 112 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到： 2 12122 1121122 ()()()a a xa ca c xc ca xca xc 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜a 12 a ac 1 2 c c 1212 ,a a c c 11 22 ac ac 线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成 122 1 a ca c 2 axbxc 1122 ()()a xca xc 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 【例 8】【例 8】因式分解： (1) (2) 2 12
8、52xx 22 568xxyy 解：解：(1) . 2 1252(32)(41)xxxx 32 4 1 (2) . 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 【例【例 9】因式分解： (1) (2) 22 (2 )7(2 )8xxxxaaxxx5152 2 分析：分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较 多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合. 解：解：(1)原式.)82)(12( 22 xxxx)4)(2() 1( 2 xxx (2)原式. )5()152( 2 aaxxx)5()5)(3(xaxx
9、)3)(5(axx 四、配方法四、配方法 【例 10】【例 10】因式分解 (1) （2） 2 616xx 22 44xxyy 解：解：(1). 222 616(3)5xxx(8)(2)xx (2) 22222 44(44)8xxyyxxyyy . 22 (2 )8(22 2 )(22 2 )xyyxyy xyy 说明：说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用 平方差公式分解 五、拆(添)项法五、拆(添)项法 【例 11】【例 11】因式分解 32 34xx 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx . 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 说明：说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止