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1、2000 年全国高中数学联合竞赛试卷年全国高中数学联合竞赛试卷 （10 月 15 日上午 8:009:40） 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1设全集是实数，若 A=x|0，B=x|10=10x，则 ARB 是( )x2 x22 (A)2 (B)1 (C)x|x2 (D) 2设 sin0，cos0，且 sin cos，则 的取值范围是( ) 3 3 3 (A)(2k+，2k+ )， kZ (B)( + ，+ )，k Z 6 3 2k 3 6 2k 3 3 (C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+ )(2k+，2k+)，k Z 5 6 4 3 5 6 3已知点
2、A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形， 则ABC 的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 3 3 3 3 2 33 4给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二 次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( ) 5 3 4 5 (A) (B) (C) (D) 34 170 34 85 1 20 1 30 6设
3、 =cos +isin ，则以，3，7，9为根的方程是( ) 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1arcsin(sin2000)=_ 2设 an是(3)n的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，)，则(+)=_.xlim n 32 a2 33 a3 3n an 3等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是_. 4在椭圆+=1 (ab0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率 x
4、2 a2 y2 b2 是，则ABF=_. 51 2 5一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体积是_. 6如果：(1)a，b，c，d 都属于1，2，3，4； (2)ab，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_ _ abcd 三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 1设 Sn=1+2+3+n，nN*，求 f(n)=的最大值 Sn (n + 32)Sn + 1 2若函数 f(x)= x2+在区间a，b上的最小值为 2a，最大值为 2b，求a，b 1 2 13 2 3已知 C0：x2+y2=1 和
5、 C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1上任意 x2 a2 y2 a2 一点 P，均存在以 P 为顶点，与 C0外切，与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论 2000 年全国高中数学联赛二试题 （10 月 15 日上午 1000-1200） 一 （本题满分 50 分） 如图， 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、 F， 满足BAE=CAF， 作 FMAB， FNAC（M、 N 是垂足） ，延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等 二 （本题满分 50 分） 设数列a n和b n 满足 a0=
6、1，a1=4，a2=49，且 n=0，1，2， an + 1=7an+ 6bn3， bn + 1=8an+ 7bn4) 证明 a n（n=0，1，2，）是完全平方数 三 （本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等， 都是 3 k次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值 A B C D EF M N 2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 1设全集是实数，若 A=x|0，B=x|10=10x，则 ARB 是( )x2 x22 (A)2 (B)1 (C)x|x2
7、 (D) 解：A=2，B=2，1，故选 D 2设 sin0，cos0，且 sin cos，则 的取值范围是( ) 3 3 3 (A)(2k+，2k+ )， kZ (B)( + ，+ )，kZ 6 3 2k 3 6 2k 3 3 (C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+ )(2k+，2k+)，kZ 5 6 4 3 5 6 解：满足 sin0，cos0 的 的范围是(2k+ ，2k+)，于是 的取值范围是(+，+ )， 2 3 2k 3 6 2k 3 3 满足 sin cos 的 的取值范围为(2k+，2k+)故所求范围是(2k+，2k+ )(2k+，2k+)， 3 3 3 4 5
8、 4 4 3 5 6 kZ选 D 3已知点 A 为双曲线 x2y2=1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，ABC 是等边三角形， 则ABC 的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 3 3 3 3 2 33 解：A(1，0)，AB 方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得 B(2，)， 3 3 3 S=3选 C3 4给定正数 p，q，a，b，c，其中 pq，若 p，a，q 是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程 bx22ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 解：a2=pq，b+c=p+q
9、b=，c=； 2p + q 3 p + 2q 3 =a2bc=pq (2p+q)(p+2q)= (pq)2|b|，从而 f(a)是最小值f(b)= b2+=2a0与 a0 矛盾故舍 1 2 13 2 39 32 0ab此时，最大值为 f(a)=2b，最小值为 f(b)=2a G A D C B E O H b2+=2a a2+=2b相减得 a+b=4解得 a=1，b=3 1 2 13 2 1 2 13 2 a，b=1，3或2，17 13 4 3已知 C0：x2+y2=1 和 C1：+=1 (ab0)试问：当且仅当 a，b 满足什么条件时，对 C1上任意 x2 a2 y2 a2 一点 P，均存在
10、以 P 为顶点，与 C0外切，与 C1内接的平行四边形？并证明你的结论 解：设 PQRS 是与 C0外切且与 C1内接的平行四边形易知圆的 外切平行四边形是菱形即 PQRS 是菱形于是 OPOQ 设 P(r1cos， r1sin)， Q(r2cos(+90)， r2sin(+90)， 则在直角三角 形 POQ 中有 r12+r22=r12r22(利用POQ 的面积)即 + =1 1 r21 1 r22 但+=1，即 =+， r21cos2 a2 r22sin2 b2 1 r21 cos2 a2 sin2 b2 同理， =+，相加得+=1 1 r22 sin2 a2 cos2 b2 1 a2 1
11、 b2 反之， 若+=1 成立， 则对于椭圆上任一点 P(r1cos， r1sin)， 取 1 a2 1 b2 椭圆上点 Q(r2cos(+90)， r2sin(+90)， 则 =+， ， =+， ，于是 + =+=1，此时 PQ 1 r21 cos2 a2 sin2 b2 1 r22 sin2 a2 cos2 b2 1 r21 1 r22 1 a2 1 b2 与 C0相切即存在满足条件的平行四边形 故证 第二试 一 （本题满分 50 分） 如图， 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、 F， 满足BAE=CAF， 作 FMAB， FNAC（M、 N 是垂足） ，延长 AE 交三角形
12、 ABC 的外接圆于 D证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等 证明 ： 连 MN， 则由 FMAM， FNAN 知 A、M、F、N 四点共圆， 且该圆的 直径为AF 又AMN=AFN， 但FAN=MAD，故 MAD+AMN=FAN+AFN=90 MN AD， 且 由 正 弦 定 理 知 ， MN=AFsinA SAMDN= ADMN= ADAFsinA 1 2 1 2 连 BD，由ADB=ACF，DAB=CAF，得ABDAFC ADAB=ACAF，即 ADAF=ABAC SAMDN= ADAFsinA= ABACsinA=SABC 1 2 1 2 二 （本题满分 50 分） 设
13、数列a n和b n 满足 a0=1，a1=4，a2=49，且 n=0，1，2， an + 1=7an+ 6bn3， bn + 1=8an+ 7bn4) 证明 a n（n=0，1，2，）是完全平方数 证明 7：7an+1=49an+42bn21， 6：6bn+1=48an+42bn24 两式相减得，6bn+17an+1=an3，即 6bn=7anan13 代入：an+1=14anan16故 an+1 =14(an )(an1 ) 1 2 1 2 1 2 其特征方程为 x214x+1=0，特征方程的解为 x=743 故 an=(7+4)n+(74)n+ ,现 a0=1，a1=4，a2=49解得 =
14、 33 1 2 1 4 an= (7+4)n+ (74)n+ = (2+)2n+ (2)2n+ 1 4 3 1 4 3 1 2 1 4 3 1 4 3 1 2 A B C D E M N F = (2+)n+ (2)n2 1 2 3 1 2 3 由于 (2+)n+ (2)n是整数，故知 an是整数的平方即为完全平方数 1 2 3 1 2 3 三 （本题满分 50 分） 有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n2 个人之间通电话的次数相等， 都是 3 k次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值 解 ： 由条件知，统计各 n2 人组的通话次数都是 3k次，共有C=C个
15、 n2 人组，若某两人通话 1 n2 n 2 n 次，而此二人共参加了C= C个 n2 人组，即每次通话都被重复计算了C次即总通话次数应为 n4 n2 2 n2 2 n2 3k次 n(n1) (n2)(n3) 由于(n1，n2)=1，故 n2|n3k 若 n2|n，故 n2|2，易得 n=4，(n=3 舍去)此时 k=0 由 n2|3k，n=3m+2，(m 为自然数，且 mk)，此时 3k =3k=3m+4+3km，即 3m1|6 n(n1) (n2)(n3) (3m+ 2)(3m+ 1) 3m(3m1) 6 3m1 m=0，1当 m=0 时，n=3(舍去)，当 m=1 时，n=5 又 ： n=4 时，每两个人通话次数一样，可为 1 次(任何两人都通话 1 次)； 当 n=5 时，任何两人都通话 1 次均满足要求 n=0，5